3.5數列的綜合應用

3.5 3.5 數列的綜合應用數列的綜合應用1. 解答數列應用題的基本步驟(1)審題仔細閱讀材料，認真理解題意.(2)建模將已知條件翻譯成數學（數列）語言，將實際問題轉化成數學問題，弄清該數列的結構和特征.(3)求解求出該問題的數學解.(4)還原將所求結果還原到原實際問題中.2. 數列應用題常見模型(1)等差模型：如果增加（或減少）的量是一個固定量時，該模型是等差模型，增加（或減少）的量就是公差.(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數時，該模型是等比模型，這個固定的數就是公比.（3）分期付款模型：設貸款總額為a，年利率為r,等額還款數為b,分n期還完，則(1).(1)1nnrrbar基礎自測基礎自測1.農民收入由工資性收入和其他收入兩部分構成.2003年該 地區(qū)農民人均收入為3 150元（其中工資性收入為1 800元，其他收入為1 350元），預計該地區(qū)自2004年起的5年內（包括2004年），農民的工資性收入將以每年6%的年增長率增長，其他收入每年增加160元.根據以上數據，2008年該地區(qū)農民人均收入介于 （ ）A.4 200元4 400元 B.4 400元4 600元C.4 600元4 800元 D.4 800元5 000元 解析解析 到2008年農民的工資性收入變?yōu)? 800（1+6%）5 2 409（元）， 其他收入變?yōu)? 350+5160=2 150（元）， 故2008年收入為4 559元.B B2. （2009廣西河池模擬）設f(n)=2+24+27+23n+1 (nN N*)，則f(n)等于（ ）A. B. C. D. 解析解析 本題考查等比數列的前n項和公式等知識.由題意發(fā) 現，f(n)是一個以2為首項，公比q=23=8,項數為n+1的等比 數列的和.由公式可得B2(81)7n12(81)7n22(81)7n32(81)7n111112(1 8)2( )(81).11 87nnnnqf nSq3. 若互不相等的實數a,b,c成等差數列，c,a,b成等比數列， 且a+3b+c=10，則a的值為 （ ） A.4 B.2 C.-2 D.-4 解析解析 由互不相等的實數a,b,c成等差數列，可設a=b- d,c=b+d,由a+3b+c=10,可得b=2,所以a=2-d,c=2+d,又c,a,b 成等比數列可得(2-d)2=2(2+d),解得d=6或d=0（舍去）， 所以a=-4.D4. 設等比數列an的公比為q,前n項和為Sn，若Sn+1,Sn,Sn+2成 等差數列，則公比 （ ） A.q=-2 B.q=1 C.q=-2或q=1 D.q=2或q=-1 解析解析 由題意可得2Sn=Sn+1+Sn+2，當q1時， 解之得q=-2或q=1,當q=1時不成立.A12111(1)(1)(1)2,111nnnaqaqaqqqq即2=q+q25. (2009新鄭模擬新鄭模擬）某種細胞開始有2個，1小時后分裂成4 個并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1個，3小時后分裂 成10個并死去1個，按此規(guī)律，6小時后細胞存活的個 數是 （ ）A.63 B.65 C.67 D.71解析解析 方法一方法一 設n小時后細胞個數為an, 則a1=22-1=3,a2=23-1=5, a3=25-1=9,a4=29-1=17, a5=217-1=33,a6=233-1=65. 方法二方法二 設n小時后細胞個數為an， 則a1=3,an=2an-1-1 (n2), an-1=2(an-1-1). an-1是公比為2的等比數列，a1-1=2. an-1=22n-1=2n，an=2n+1， a6=26+1=65.B 數列an的前n項和記為Sn，a1=1,an+1=2Sn+1 (n1).(1)求an的通項公式； （2）等差數列bn的各項為正，其前n項和為Tn，且 T3=15，又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比數列，求Tn. 【思維啟迪思維啟迪】（1）運用公式 （2）注意等差數列與等比數列之間的相互關系. 解解（1）由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1 (n2),題型一題型一 等差數列與等比數列的綜合應用等差數列與等比數列的綜合應用,11nnnSSSan=1,n2.求an.兩式相減得an+1-an=2an,an+1=3an (n2).又a2=2S1+1=3,a2=3a1.故an是首項為1，公比為3的等比數列，an=3n-1.（2）設bn的公差為d,由T3=15,b1+b2+b3=15,可得b2=5,故可設b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9,由題意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2，解得d1=2,d2=-10.等差數列bn的各項為正，d0,d=2,b1=3, 探究拓展探究拓展 本題重在考查等差數列、等比數列的通項公式與求前n項和的基礎知識和基本運算技能.222) 1(32nnnnnTn （12分）已知f(x)=logax(a0且a1)，設f(a1),f(a2),f(an) (nN*)是首項為4，公差為2的等差數列. (1)設a為常數，求證：an成等比數列； （2）若bn=anf(an),bn的前n項和是Sn,當 時,求Sn.【思維啟迪思維啟迪】利用函數的有關知識得出an的表達式，再 利用表達式解決其他問題. （1）證明證明 f(an)=4+(n-1)2=2n+2, 即logaan=2n+2,2分 可得an=a2n+2. 為定值. 所以an 為等比數列. 題型二題型二 數列與函數的綜合數列與函數的綜合2a222222(1) 221(2)nnnnnnaaaanaaa(2)解解 bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2.當 時，bn=(2n+2) =(n+1)2n+2.7分Sn=223+324+425+(n+1)2n+2 2Sn=224+325+426+n2n+2+(n+1)2n+3-得-Sn=223+24+25+2n+2-(n+1)2n+3=16+2n+3-24-n2n+3-2n+3=-n2n+3.Sn=n2n+3. 12分2a22)2(n3142) 1(21)21 (216nnn探究拓展探究拓展 數列與函數和綜合問題主要有以下兩類：已知函數條件，解決數列問題，此類問題一般利用函數的性質、圖象研究數列問題；已知數列條件，解決函數問題，解決此類問題一般要充分利用數列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形. 假設某市2008年新建住房400萬平方米，其中有250 萬平方米是中低價房,預計在今后的若干年內,該市每年新 建住房面積平均比上一年增長8%.另外每年新建住房中,中 低價房的面積均比上一年增加50萬平方米.那么,到哪一年 底， （1）該市歷年所建中低價房的累計面積（以2008年為累計的第一年）將首次不少于4 750萬平方米？ （2）當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比 例首次大于85%？(參考數據：1.0841.36,1.0851.47, 1.0861.59)題型三題型三 數列的實際應用數列的實際應用【思維啟迪思維啟迪】（1）要求學生會把實際問題轉化為數學問題：(2)an0.85bn,bn=4001.08n-1.解解 （1）設中低價房的面積形成的數列為an，由題意可知an是等差數列，其中a1=250,d=50,則an=250+(n-1)50=50n+200令25n2+225n4 750,即n2+9n-1900,而n是正整數，n10.到2017年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4 750萬平方米.750422525502) 1(2502nnnnnSn2(1)25050250225 ,2nn nSnnn（2）設新建住房面積形成數列bn，由題意可知bn是等比數列，其中b1=400,q=1.08,則bn=400(1.08)n-1.由題意可知an0.85bn,即50n+200400(1.08)n-10.85.當n=5時，a50.85b6,滿足上述不等式的最小正整數n為6.到2013年底，當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.探究拓展探究拓展 解決此類問題的關鍵是如何把實際問題轉化為數學問題，通過反復讀題，列出有關信息，轉化為數列的有關問題，這也是數學實際應用的具體體現.方法與技巧1.深刻理解等差（比）數列的性質，熟悉它們的推導過程是 解題的關鍵.兩類數列性質既有類似的部分，又有區(qū)別，要 在應用中加強記憶.同時，用好性質也會降底解題的運算 量，從而減小差錯.2.等比數列的前n項和公式要分兩種情況:公比等于1和公比不 等于1.最容易忽視公比等于1的情況，要注意這方面的練習.3.在等差數列與等比數列中，經常要根據條件列方程（組） 求解，在解方程組時，仔細體會兩種情形中解方程組的方 法的不同之處.4.數列的滲透力很強，它和函數、方程、三角形、不等式等 知識相互聯(lián)系，優(yōu)化組合，無形中加大了綜合的力度.解決 此類題目，必須對蘊藏在數列概念和方法中的數學思想有 所了解，深刻領悟它在解題中的重大作用，常用的數學思 想方法有：“函數與方程”、“數形結合”、“分類討 論”、“等價轉換”等.5.在現實生活中，人口的增長、產量的增加、成本的降低、 存貸款利息的計算、分期付款問題等，都可以利用數列來 解決，因此要會在實際問題中抽象出數學模型，并用它解 決實際問題.失誤與防范1.數列的應用還包括實際問題,要學會建模,對應哪一類數列, 進而求解.2.在有些情況下，證明數列的不等式要用到放縮法.1.已知數列an、bn滿足：a1=2,b1=1,且 (1)令cn=an+bn，求數列cn的通項公式； （2）求數列an的通項公式及前n項和公式Sn. 解解（1）當n2時， cn=cn-1+2，即cn-cn-1=2 (n2) 數列cn為等差數列，首項c1=a1+b1=3,公差d=2. cn=3+（n-1）2=2n+11111311,44131.44nnnnnnaabbab) 141() 14143(1111nnnnnnnbababac, 211nnba1111311,44(2).13144nnnnnnaabnbab（2）當n時，-得：數列an-bn為等比數列，首項為a1-b1=1，公比 由（1）知：an+bn=2n+1,+得),2)(2111nbabannnn,21q.)21(1nnnba1)21() 12(2nnnannna21)21()212121()21()212()211 (2nnnS211)211 (2122)1 (nnnn.21122nnn-得：數列an-bn為等比數列，首項為a1-b1=1，公比 由（1）知：an+bn=2n+1,+得),2)(2111nbabannnn,21q.)21(1nnnba1)21() 12(2nnnannna21)21()212121()21()212()211 (2nnnS211)211 (2122)1 (nnnn.21122nnn2.已知數列an滿足a1=2,且點(an,an+1)在函數f(x)=x2+2x 的圖象上，其中n=1,2,3,. （1）證明：數列l(wèi)g(1+an)是等比數列； （2）設Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an），求Tn及數列an 的通項. （1）證明證明 由于(an,an+1)在函數f(x)的圖象上， an+1+1=（an+1）2. a1=2，an+11, lg（an+1+1）=2lg（an+1）. 數列l(wèi)g(an+1)是公比為2的等比數列.,221nnnaaa（2）解解 由（1）知lg(an+1)=2n-1lg(1+a1)Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an).3lg3lg2121nn.3112nna012132223333n211 2 222133.nn . 13,31212nnaTn3.某國采用養(yǎng)老儲備金制度.公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老 儲備金，數目為a1，以后每年交納的數目均比上一年增 加d(d0),因此，歷年所交納的儲備金數目a1,a2,是 一個公差為d的等差數列.與此同時，國家給予優(yōu)惠的計息 政策，不僅采用固定利率，而且計算復利.這就是說，如果 固定年利率為r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交納的 儲備金就變?yōu)閍1(1+r)n-1，第二年所交納的儲備金就變?yōu)?a2(1+r)n-2,.以Tn表示到第n年末所累計的儲備金總額. (1)寫出Tn與Tn-1(n2)的遞推關系式； （2）求證：Tn=An+Bn,其中An是一個等比數列， Bn是一個等差數列.(1)解解 我們有Tn=Tn-1(1+r)+an(n2).（2）證明證明 T1=a1,對n2反復使用上述關系式，得Tn=Tn-1(1+r)+an=Tn-2(1+r)2+an-1(1+r)+an=a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+an-1(1+r)+an.在式兩端同乘1+r，得(1+r)Tn=a1(1+r)n+a2（1+r）n-1+an-1(1+r)2+an(1+r).-,得rTn=a1(1+r)n+d(1+r)n-1+(1+r)n-2+(1+r)-an即如果記則 Tn=An+Bn,其中An是以 為首項，以1+r（r0）為公比的等比數列；Bn是以 為首項， 為公差的等差數列.1(1)1(1),nnndrrarar .)1 (2121rdranrdrrdraTnn,)1 (2121nrdrdraBrrdraAnnn)1 (21rrdra12a rddrrrd1.B 2.B 3.C 4.D5.已知等比數列an的各項均為正數,數列bn滿足bn=lnan，b3=18,b6=12,則數列bn前n項和的最大值等于 （ ）A.126 B.130 C.132 D.134解析解析 an是各項不為0的正項等比數列, bn=lnan是等差數列. 又b3=18,b6=12,b1=22,d=-2, (Sn)max=-112+2311=132. ,23)2(2) 1(222nnnnnSnC6.(2008衡水調研衡水調研）設y=f(x）是一次函數,f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比數列,則f(2)+f(4)+f(2n)等于（ ）A.n(n+4)B.n(2n+3)C.2n(2n+3)D.2n(n+4) 解析解析 f(x)是一次函數，且f(0)=1, 設f(x)=kx+1, f(1)=k+1,f(4)=4k+1,f(13)=13k+1. f(1),f(4),f(13)成等比數列， （4k+1）2=(k+1)(13k+1),3k2=6k. k0,k=2,即f(x)=2x+1. f（2），f（4），f（6），f（2n）構成以5為首 項，4為公差的等差數列.).32(2) 145()2()4()2(nnnnnfffB7.11 985 8.4 9019.設等差數列an的首項a1及公差d都為整數,前n項和為Sn. （1）若a11=0,S14=98,求數列an的通項公式； （2）若a16,a110,S1477,求所有可能的數列an的通 項公式. 解解 （1）由S14=98，得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0. 解得 a1=20,d=-2,因此an的通項公式是 an=22-2n,（n=1,2,3,） （2）由 得即解得 又dZ,故d=-1.10a112,a1Z，故a1=11或a1=12.所以，所有可能的數列an的通項公式是an=12-n和an=13-n,（n=1,2,3）.14111770 ,6Saa601011132111adada122020211132111adada,131711d10.（1） （2）證明 由 知對任意正整數n,an都不是 的整數倍. 所以sinan0,從而bn=sinansinan+1sinan+20. 于是 612 nan612 nannnnnnnnnnnaaaaaabbsinsinsinsinsinsinsinsin3213211（n=1,2,3,）. 1sin)sin(nnaa,4165sin2sin6sin1b又 bn是以 為首項，-1為公比的等比數列.11.（1）an=2n (2)存在最大正整數k=5使 恒成 立.12.(2008大慶模擬大慶模擬）已知數列an的前n項和為Sn，且 a1=1,nan+1=(n+2)Sn (nN*). (1)求證：數列 為等比數列；（2）求數列an的通項公式及前n項和Sn；4) 1(1nnb4112kTnnSn（n=1,2,3,） （3）若數列bn滿足： (nN*),求數列bn的通項公式.（1）證明證明 將an+1=Sn+1-Sn代入已知nan+1=(n+2)Sn;整理得 (nN*).又由已知所以數列 是首項為1，公比為2的等比數列.（2）解解 由（1）的結論可得 Sn=n2n-1，當n2時，nSbnbbnnn1,2111nSnSnn211，S111nSn12,nnSnan=Sn-Sn-1=n2n-1-（n-1）2n-2=2n-2（n+1）.由已知，a1=1,又當n=1時，2n-2(n+1)=1,an=(n+1)2n-2 (nN*).(3)解解 由 得由此式可得)(1*1NnnSbnbnnn,2111nnnnbnb,221321nnnnbnb,2121nnnnbnb,2232323bb把以上各等式相加得，2 2212.21bb.22221222332bnbnnn,212121,2111nnnbb(21)()2nnnbn*N返回