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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 單元測(cè)試卷
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.每小題中只有一項(xiàng)符合題目要求)
1.已知等差數(shù)列{an}中,a2=5,a4=11,則前10項(xiàng)和S10=( )
A.55 B.155
C.350 D.400
答案 B
解析 由解得∴S10=10a1+d=155.
2.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足3an+1+an=0,a2=-,則{an}的前10項(xiàng)和等于( )
A.-6(1-3-10) B.(1-3-10)
C.3(1-3-10) D.3(1+3-10)
答案 C
解析 由3an+1+an=0,a2=-,得a1=4,=-.∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列.S10==3(1-3-10).
3.在等差數(shù)列{an}中,首項(xiàng)a1=0,公差d≠0,若ak=a1+a2+a3+…+a7,則k=( )
A.22 B.23
C.24 D.25
答案 A
解析 因?yàn)閍n=(n-1)d,由題知(k-1)d=d+2d+…+6d=21d,所以k=22,故選A.
4.設(shè)數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列,它的前n項(xiàng)和為Sn,且S1,S2,S4成等比數(shù)列,則等于( )
A.3 B.4
C.6 D.7
答案 D
解析 ∵數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列,設(shè)公差為d.∴S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d.又∵S1,S2,S4,成等比數(shù)列,∴S=S1S4,可得d=2a1或d=0(舍去).∴a4=a1+3d=7a1.∴=7.故選D.
5.設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無(wú)窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則下列命題錯(cuò)誤的是( )
A.若d<0,則數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng)
B.若數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng),則d<0
C.若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列,則對(duì)任意n∈N*,均有Sn>0
D.若對(duì)任意n∈N*,均有Sn>0,則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列
答案 C
解析 因?yàn)镾n=na1+n(n-1)d=n2+(a1-)n,所以Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),當(dāng)d<0時(shí),Sn有最大值,即數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng),故A項(xiàng)命題正確.若{Sn}有最大項(xiàng),即對(duì)于n∈N*,Sn有最大值,故二次函數(shù)圖像的開(kāi)口要向下,即d<0,故B項(xiàng)命題正確.而若a1<0,d>0,則數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列,此時(shí)S1<0,故C項(xiàng)命題錯(cuò)誤.若對(duì)于任意的n∈N*,均有Sn>0,則a1=S1>0,且n+a1->0對(duì)于n∈N*恒成立,∴>0,即命題D項(xiàng)正確.故選C項(xiàng).
6.在10到2 000之間,形如2n(n∈N*)的各數(shù)之和為( )
A.1 008 B.2 040
C.2 032 D.2 016
答案 C
解析 S=24+25+…+210==(27-1)24=2 032.
7.設(shè)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(n+1)=(n∈N*),且f(1)=2,則f(20)=( )
A.95 B.97
C.105 D.192
答案 B
解析 ∵f(n+1)=f(n)+,∴
累加,得f(20)=f(1)+(++…+)=f(1)+=97.
8.現(xiàn)有200根相同的鋼管,把它們堆成三角形垛,要使剩余的鋼管盡可能少,那么剩余的鋼管為( )
A.9根 B.10根
C.19根 D.29根
答案 B
解析 設(shè)堆成x層,得1+2+3+…+x≤200,即求使得x(x+1)≤400成立的最大正整數(shù)x,應(yīng)為19.∴200-=10.
9.已知等比數(shù)列{an}的公比q<0,其前n項(xiàng)的和為Sn,則a9S8與a8S9的大小關(guān)系是( )
A.a(chǎn)9S8>a8S9 B.a(chǎn)9S8
0,q<0,所以-aq7>0,即a9S8>a8S9,故選A.
10.若在等差數(shù)列{an}中的a1,a4 025是函數(shù)f(x)=x3-4x2+6x-1的極值點(diǎn),則log2a2 013=( )
A.2 B.3
C.4 D.5
答案 A
解析 由題意得f′(x)=x2-8x+6.∵a1,a4 025是函數(shù)f(x)=x3-4x2+6x-1的極值點(diǎn),∴a1,a4 025是方程x2-8x+6=0的兩實(shí)數(shù)根,則a1+a4 025=8.而{an}為等差數(shù)列,∴a1+a4 025=8=2a2 013=8,即a2 013=4,從而log2a2 013=2.
11.(xx衡水調(diào)研)已知數(shù)列{an},{bn}滿(mǎn)足a1=1,a2=2,b1=2,且對(duì)任意的正整數(shù)i,j,k,l,當(dāng)i+j=k+l時(shí),都有ai+bj=ak+bl,則(ai+bi)(注:i=a1+a2+…+an)的值為( )
A.2 012 B.2 013
C.2 014 D.2 015
答案 D
解析 由條件可得a1=1,b1=2;a2=2,b2=3;a3=3,b3=4;…;a2 013=2 013,b2 013=2 014.
∴(ai+bi)=[(1+2 014)2 013]=2 015.
12.某化工廠(chǎng)打算投入一條新的生產(chǎn)線(xiàn),但需要經(jīng)環(huán)保部門(mén)審批同意方可投入生產(chǎn).已知該生產(chǎn)線(xiàn)連續(xù)生產(chǎn)n年的產(chǎn)量為f(n)=n(n+1)(2n+1)噸,但如果年產(chǎn)量超過(guò)150噸,將會(huì)給環(huán)境造成危害.為保護(hù)環(huán)境,環(huán)保部門(mén)應(yīng)給該廠(chǎng)這條生產(chǎn)線(xiàn)擬定最長(zhǎng)的生產(chǎn)期限是( )
A.5年 B.6年
C.7年 D.8年
答案 C
解析 由題意可知第一年的產(chǎn)量為a1=123=3;以后各年的產(chǎn)量分別為an=f(n)-f(n-1)=n(n+1)(2n+1)-(n-1)n(2n-1)=3n2.
令3n2≤150,∴1≤n≤5.
又∵n∈N*,∴1≤n≤7,即生產(chǎn)期限最長(zhǎng)為7年.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在題中橫線(xiàn)上)
13.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S9=72,則a2+a4+a9=________.
答案 24
解析 ∵{an}是等差數(shù)列,由S9=72,得9a5=72,a5=8.
∴a2+a4+a9=(a2+a9)+a4=(a5+a6)+a4=3a5=24.
14.若m,n,m+n成等差數(shù)列,m,n,mn成等比數(shù)列,則橢圓+=1的離心率為_(kāi)_______.
答案
解析 由題意知2n=m+m+n,
∴n=2m.又n2=mmn,∴n=m2,∴m2=2m.
∴m=2,∴n=4,∴a2=4,b2=2,c2=2.
∴e==.
15.若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且=5,則=________.
答案 17
解析 數(shù)列{an}為等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì),設(shè)S2=t,S4-S2=4t,S6-S4=16t,S8-S6=64t,∴S2=t,S4=5t,S6=21t,S8=85t,∴==17.
16.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=0,a2=1,an+2=3an+1-2an,則{an}的前n項(xiàng)和Sn=________.
答案 2n-n-1
解析 由an+2=3an+1-2an,得an+2-an+1=2(an+1-an),a2-a1=1,∴數(shù)列{an+1-an}為等比數(shù)列,an+1-an=(a2-a1)2n-1=2n-1,即a2-a1=1,a3-a2=2,…,an-an-1=2n-2.再由累加法得an-a1=1+2+22+…+2n-2=2n-1-1,an=2n-1-1,∴Sn=-n=2n-n-1.
三、解答題(本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
17.(本小題滿(mǎn)分10分)
在等差數(shù)列{an}中,a3+a4=15,a2a5=54,公差d<0.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最大值及相應(yīng)的n值.
答案 (1)an=11-n (2)n=10或11時(shí),Sn最大值為55
解析 (1)∵{an}為等差數(shù)列,∴a2+a5=a3+a4.
∴解得(因d<0,舍去)或
∴∴an=11-n.
(2)∵a1=10,an=11-n,∴Sn==-n2+n.
又∵-<0,對(duì)稱(chēng)軸為n=,∴當(dāng)n=10或11時(shí),Sn取最大值,其最大值為55.
18.(本小題滿(mǎn)分12分)
數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,a1=1,點(diǎn)(Sn,an+1)在直線(xiàn)y=2x+1上,n∈N*.
(1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)設(shè)bn=log3an+1,Tn是數(shù)列{}的前n項(xiàng)和,求T2 014的值.
答案 (1)an=3n-1 (2)
解析 (1)由題意得an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2),兩式相減,得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2).
∵a1=1,∴a2=2S1+1=3,∴當(dāng)n≥1時(shí),{an}是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列.
∴an=3n-1.
(2)由(1)得知an=3n-1,bn=log3an+1=n,==-,
T2 014=+…+=(1-)+(-)+…+(-)=.
19.(本小題滿(mǎn)分12分)
在數(shù)列{an}中,a1=1,當(dāng)n≥1時(shí),其前n項(xiàng)的和Sn滿(mǎn)足S=an(Sn-1).
(1)證明:數(shù)列{}是等差數(shù)列;
(2)設(shè)bn=log2,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求滿(mǎn)足Tn≥6的最小正整數(shù)n.
答案 (1)略 (2)n=10
解析 (1)證明:∵S=an(Sn-1),
∴S=(Sn-Sn-1)(Sn-1)(n≥2).
∴SnSn-1=Sn-1-Sn,即-=1.
∴{}是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.
(2)由(1)知Sn=,∴bn=log2,∴Tn=log2(…)=log2≥6.
∴(n+2)(n+1)≥128.
∵n∈N*,∴n≥10.
∴滿(mǎn)足Tn≥6的最小正整數(shù)為10.
20.(本小題滿(mǎn)分12分)
已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,公差d≠0,等比數(shù)列{bn}滿(mǎn)足a1=b1,a2=b2,a5=b3.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{cn}對(duì)任意n∈N*均有++…+=an+1,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.
答案 (1)an=2n-1,bn=3n-1 (2)Sn=3n
解析 (1)由a2=1+d,a5=1+4d,且a1,a2,a5成等比數(shù)列,
得(1+d)2=1+4d.又d≠0,所以d=2.
∴an=1+(n-1)d=2n-1.
又b2=a2=3,∴q=3,bn=3n-1.
(2)∵++…+=an+1,①
∴=a2,∴c1=3.
又++…+=an(n≥2),②
①-②,得=an+1-an=2.
∴cn=2bn=23n-1(n≥2),∴cn=
當(dāng)n=1時(shí),Sn=c1=3,
當(dāng)n≥2時(shí),Sn=c1+c2+…+cn=3+2(31+32+…+3n-1)=3+2=3n,所以Sn=3n.
21.(本小題滿(mǎn)分12分)
祖國(guó)大陸允許臺(tái)灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來(lái),在11個(gè)省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗(yàn)區(qū)和臺(tái)灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園,臺(tái)灣農(nóng)民在那里申辦個(gè)體工商戶(hù)可以享受“綠色通道”的申請(qǐng)、受理、審批一站式服務(wù),某臺(tái)商第一年年初到大陸就創(chuàng)辦了一座120萬(wàn)元的蔬菜加工廠(chǎng)M,M的價(jià)值在使用過(guò)程中逐年減少,從第二年到第六年,每年年初M的價(jià)值比上年年初減少10萬(wàn)元,從第七年開(kāi)始,每年年初M的價(jià)值為上年年初的75%.
(1)求第n年年初M的價(jià)值an的表達(dá)式;
(2)設(shè)An=,若An大于80萬(wàn)元,則M繼續(xù)使用,否則需在第n年年初對(duì)M更新,證明:必須在第九年年初對(duì)M更新.
答案 (1)an= (2)略
思路 (1)根據(jù)題意,當(dāng)n≤6時(shí),數(shù)列{an}是等差數(shù)列,當(dāng)n≥7時(shí),數(shù)列{an}是等比數(shù)列,分別寫(xiě)出其通項(xiàng)公式,然后進(jìn)行合并即可;(2)先對(duì)n進(jìn)行分類(lèi),表示出An,利用數(shù)列的單調(diào)性質(zhì)確定其最小項(xiàng),并與80比較大小,確定n的值.
解析 (1)當(dāng)n≤6時(shí),數(shù)列{an}是首項(xiàng)為120,公差為-10的等差數(shù)列,故an=120-10(n-1)=130-10n.
當(dāng)n≥7時(shí),數(shù)列{an}從a6開(kāi)始的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)以a6=130-60=70為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,故an=70()n-6.
所以第n年初M的價(jià)值an=
(2)設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式,得
當(dāng)1≤n≤6時(shí),Sn=120n-5n(n-1),
An==120-5(n-1)=125-5n≥95>80,
當(dāng)n≥7時(shí),由于S6=570,
故Sn=570+(a7+a8+…+an)=570+704[1-()n-6]=780-210()n-6.
因?yàn)閧an}是遞減數(shù)列,所以{An}是遞減數(shù)列.
因?yàn)锳n==,
A8=≈82.734>80,
A9=≈76.823<80,
所以必須在第九年年初對(duì)M更新.
22.(本小題滿(mǎn)分12分)
設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn滿(mǎn)足S-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*.
(1)求a1的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有++…+<.
答案 (1)2 (2)an=2n (3)略
解析 (1)令n=1代入得a1=2(負(fù)值舍去).
(2)由S-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*,得[Sn-(n2+n)](Sn+3)=0.
又已知各項(xiàng)均為正數(shù),故Sn=n2+n.
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,
當(dāng)n=1時(shí),a1=2也滿(mǎn)足上式,
所以an=2n,n∈N*.
(3)證明:k∈N*,4k2+2k-(3k2 +3k)=k2-k=k(k-1)≥0,
∴4k2+2k≥3k2+3k.
∴==≤
=(-).
∴++…+
≤(-+-+…+-)
=(1-)<.
∴不等式成立.
1.在等比數(shù)列{an}中,若a3a5a7a9a11=243,則的值為( )
A.9 B.1
C.2 D.3
答案 D
解析 由等比數(shù)列性質(zhì)可知a3a5a7a9a11=a=243,所以得a7=3,又==a7,故選D.
2.已知{an}為等差數(shù)列,其公差為-2,且a7是a3與a9的等比中項(xiàng),Sn為{an}的前n項(xiàng)和,n∈N*,則S10的值為( )
A.-110 B.-90
C.90 D.110
答案 D
解析 因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為-2,所以a3=a1-4,a7=a1-12,a9=a1-16.因?yàn)閍7是a3與a9的等比中項(xiàng),所以a=a3a9,即(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),a-24a1+144=a-20a1+64,所以4a1=80,a1=20.于是S10=10a1+d=1020+45(-2)=110.故選D.
3.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1+a5=S5,且a9=20,則S11=( )
A.260 B.220
C.130 D.110
答案 D
解析 ∵S5=5,又∵S5=a1+a5,∴a1+a5=0.∴a3=0,∴S11=11=11=11=110,故選D.
4.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S5=15,S9=18,在等比數(shù)列{bn}中,b3=a3,b5=a5,則b7的值為( )
A. B.
C.2 D.3
答案 B
解析 在等差數(shù)列{an}中,由得a3=3,a5=2.
于是b3=3,b5=2,所以b7==.
5.?dāng)?shù)列{an}是等比數(shù)列且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于( )
A.5 B.10
C.15 D.20
答案 A
解析 由于a2a4=a,a4a6=a,所以a2a4+2a3a5+a4a6=a+2a3a5+a=(a3+a5)2=25.所以a3+a5=5.又an>0,所以a3+a5=5.所以選A.
6.設(shè)a1,a2,…,a50是從-1,0,1這三個(gè)整數(shù)中取值的數(shù)列,若a1+a2+…+a50=9且(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a50+1)2=107,則a1,a2,…,a50當(dāng)中取零的項(xiàng)共有( )
A.11個(gè) B.12個(gè)
C.15個(gè) D.25個(gè)
答案 A
解析 (a1+1)2+(a2+1)2+…+(a50+1)2=a+a+…+a+2(a1+a2+…+a50)+50=107,∴a+a+…+a=39,∴a1,a2,…,a50中取零的項(xiàng)應(yīng)為50-39=11個(gè),故選A.
7.已知數(shù)列-1,a1,a2,-4成等差數(shù)列,-1,b1,b2,b3,-4成等比數(shù)列,則的值為( )
A. B.-
C.或- D.
答案 A
解析 3(a2-a1)=-4-(-1)=-3,a2-a1=-1;b=(-1)(-4)=4,且b2<0,b2=-2.則=.
8.已知{an}是等差數(shù)列,設(shè)Tn=|a1|+|a2|+…+|an|(n∈N*).某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)求Tn的部分算法流程圖(如圖),圖中空白處理框中是用n的表達(dá)式對(duì)Tn賦值,則空白處理框中應(yīng)填入:Tn=________.
答案 n2-9n+40
解析 由流程圖可知該等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=2n-10或an=-2n+10.不妨令an=2n-10,則當(dāng)n≥6時(shí),Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-a5+a6+a7+…+an=20+=n2-9n+40.
9.已知奇函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù),數(shù)列{xn}是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列,滿(mǎn)足f(x8)+f(x9)+f(x10)+f(x11)=0,則x2 013=________.
答案 4 007
解析 因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),在R上是增函數(shù),且數(shù)列{xn}是遞增數(shù)列,所以由f(x8)+f(x9)+f(x10)+f(x11)=0可得x8+x11=x9+x10=0.由數(shù)列{xn}的公差為2,得x1=-17,所以xn=x1+(n-1)d=2n-19.所以x2 013=22 013-19=4 007.
10.已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列,a1=1,且a1,a3,a9成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{2an}的前n項(xiàng)和Sn.
答案 (1)an=n (2)Sn=2n+1-2
解析 (1)由題設(shè)知公差d≠0.
由a1=1,a1,a3,a9成等比數(shù)列,得=,解得d=1,或d=0(舍去).
所以{an}的通項(xiàng)公式an=1+(n-1)1=n.
(2)由(1)知2an=2n,由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式,得Sn=2+22+23+…+2n==2n+1-2.
11.在數(shù)列{an}中,a1=1,an,an+1是方程x2-(2n+1)x+=0的兩個(gè)根,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
答案 Sn=
解析 ∵an,an+1是x2-(2n+1)x+=0的兩根,
∴an+an+1=2n+1,anan+1=.
∴an+1+an+2=2n+3.
∴an+2-an=2.
∴a3-a1=2,
a5-a3=2,
……
a2n-1-a2n-3=2.
∴a2n-1-a1=2(n-1).
∴a2n-1=2n-1,∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an=n.
同理可得當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an=n.
∴an=n.
∴bn===-.
∴Sn=b1+b2+b3+…+bn
=1-+-+-+…+-
=1-=.
12.成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15,并且這三個(gè)數(shù)分別加上2,5,13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3,b4,b5.
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:數(shù)列{Sn+}是等比數(shù)列.
答案 (1)bn=52n-3 (2)略
解析 (1)設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為a-d,a,a+d.
依題意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5.
所以{bn}中的b3,b4,b5依次為7-d,10,18+d.
依題意,有(7-d)(18+d)=100,
解得d=2或d=-13(舍去).
故{bn}的第3項(xiàng)為5,公比為2.
由b3=b122,即5=b122,解得b1=.
所以{bn}是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,其通項(xiàng)公式為bn=2n-1=52n-3.
(2)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn==52n-2-,
即Sn+=52n-2.
所以S1+=,==2.
因此{(lán)Sn+}是以為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列.
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