本科畢業(yè)設(shè)計(jì)基于matlab的FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

分類號(hào) 編 號(hào) XXXXNorth China Institute Of Water Conservancy And Hydroelectric Power畢 業(yè) 設(shè) 計(jì)題目 基于Matlab的FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) 學(xué) 院 信息工程學(xué)院 專 業(yè) 通信工程 姓 名 學(xué) 號(hào) 指導(dǎo)教師 2011年 5月20日基于Matlab的FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)摘 要在數(shù)字控制系統(tǒng)中輸入信號(hào)中所含的干擾對(duì)系統(tǒng)的性能會(huì)產(chǎn)生很大的影響，因此需要對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行處理，以提取有用信號(hào)。有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)（FIR）濾波器在數(shù)字信號(hào)處理中發(fā)揮著重要作用，采用Matlab軟件對(duì)FIR數(shù)字濾波器進(jìn)行仿真設(shè)計(jì)，簡(jiǎn)化了設(shè)計(jì)中繁瑣的計(jì)算。本文采用窗函數(shù)法，頻率采樣法和優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，通過調(diào)用Matlab函數(shù)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器。繪制對(duì)應(yīng)的幅頻特性曲線。最后用基于Matlab函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器進(jìn)行語(yǔ)音濾波處理，通過濾波前后信號(hào)的頻譜圖和生成的聲音文件的對(duì)比，分析不同濾波器的濾波效果。關(guān)鍵詞：FIR數(shù)字濾波器，仿真，窗函數(shù)法，頻率取樣法，優(yōu)化設(shè)計(jì)方法AbstractIn digital control system, interference, which is mixed in the input signal, has a great effect on performance of the system. Therefore, processing of input signal has to be done to get useful signal. Finite impulse response (FIR) filter plays an important role in the processing of digital signal. Designing the FIR filter by Matlab can simplify the complicated computation in simulation and improve the performance. By using the methods of window function, frequency sampling and optimization techniques, the design of FIR digital filter has been processed in Matlab. In the view of the designed program of Matlab and the figure of the amplitude-frequency characterization. At last, by using the FIR digital filters which have been designed to process the sound signal based on the Matlab function, the filtering effect of different digital filters is analyzed by comparing the signals spectrum viewers and the sound files which have been generated. The experimental results show that the FIR filters designed in this paper are effective.Key words: FIR digital filter, simulation, windowing method, frequency sampling method, optimization techniquesIII目 錄摘要IAbstractII1 數(shù)字濾波器11.1 數(shù)字濾波器簡(jiǎn)介11.2 IIR數(shù)字濾波器11.3 FIR數(shù)字濾波器21.4 IIR與FIR數(shù)字濾波器的比較42 Matlab及電子通信系統(tǒng)仿真簡(jiǎn)介52.1 Matlab簡(jiǎn)介52.1.1 基本功能52.1.2 Matlab的優(yōu)勢(shì)52.2 電子通信系統(tǒng)的仿真簡(jiǎn)介52.2.1 通信與電子系統(tǒng)仿真的概念52.2.2 計(jì)算機(jī)仿真的步驟62.2.3 電子通信系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真的優(yōu)點(diǎn)62.2.4 電子通信系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真的局限性73 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)83.1 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器83.2 頻率取樣法設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器113.3 線性相位FIR濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)134 利用Matlab實(shí)現(xiàn)FIR濾波器設(shè)計(jì)154.1 窗函數(shù)法的Matlab實(shí)現(xiàn)154.2 頻率取樣法的Matlab實(shí)現(xiàn)224.3 優(yōu)化設(shè)計(jì)的Matlab實(shí)現(xiàn)264.4 利用濾波器處理加有噪聲的音頻波形32參考文獻(xiàn)37附錄38附錄一 外文原文及翻譯38外文原文38外文翻譯51附錄二 利用Matlab實(shí)現(xiàn)FIR濾波器設(shè)計(jì)參考程序611 數(shù)字濾波器1.1 數(shù)字濾波器簡(jiǎn)介 數(shù)字濾波器是一個(gè)離散的系統(tǒng)。它可以對(duì)輸入的離散信號(hào)進(jìn)行一系列運(yùn)算處理，從輸入的信號(hào)中獲得所需要的信息。數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)通常表示為 (1-1) 數(shù)字濾波器分為有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器，即FIR數(shù)字濾波器和無限沖激響應(yīng)，即IIR數(shù)字濾波器。從公式的角度來看，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的 始終為零；IIR數(shù)字濾波器至少有一個(gè)非零。實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器的方法一般有兩種：一種是利用計(jì)算機(jī)的程序編譯，從而仿真實(shí)現(xiàn)；另一種是利用硬件來實(shí)現(xiàn)。實(shí)現(xiàn)一個(gè)數(shù)字濾波器一般需要三個(gè)基本的運(yùn)算單元：加法器、延時(shí)器和乘法器。設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器的一般步驟為：（1）按所給要求確定濾波器的性能（2）用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散線性時(shí)不變的系統(tǒng)函數(shù)逼近此性能的要求（3）利用算法來實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)（4）利用計(jì)算機(jī)仿真或硬件來實(shí)現(xiàn)1.2 IIR數(shù)字濾波器 無限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)濾波器，即IIR數(shù)字濾波器具有下面幾個(gè)特點(diǎn)：（1） 系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為無限長(zhǎng)的（2） 系統(tǒng)函數(shù)在有限z平面上有極值點(diǎn)（3） 結(jié)構(gòu)上是遞歸型的IIR濾波器的設(shè)計(jì)就是在給定的技術(shù)指標(biāo)下去確定濾波器的階數(shù)N和系數(shù)，。在已滿足給定的技術(shù)指標(biāo)下，應(yīng)選用階數(shù)盡可能低的濾波器，因?yàn)闉V波器的階數(shù)越低，在實(shí)現(xiàn)時(shí)成本就越低。 在設(shè)計(jì)IIR濾波器時(shí)，最常用的方法是利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。其原因?yàn)椋海?） 模擬濾波器的設(shè)計(jì)技術(shù)相對(duì)成熟，可以廣泛利用（2） 模擬濾波器有大量的參考程序和表格（3） 它的解可以為閉合形式的1.3 FIR數(shù)字濾波器FIR濾波器是指在有限范圍內(nèi)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)hk僅有非零值的濾波器。M階FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為 (1-2) 其中H(z)是的M階多項(xiàng)式，在有限的z平面內(nèi)H(z)有M個(gè)零點(diǎn)，在z平面原點(diǎn)z=0有M個(gè)極點(diǎn). FIR濾波器的頻率響應(yīng)為 (1-3)它的另外一種表示方法為 (1-4)其中和分別為系統(tǒng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)。若系統(tǒng)的相位響應(yīng)滿足下面的條件 (1-5)即系統(tǒng)的群延遲是一個(gè)與沒有關(guān)系的常數(shù)，稱為系統(tǒng)H(z)具有嚴(yán)格線性相位。由于嚴(yán)格線性相位條件在數(shù)學(xué)層面上處理起來較為困難，因此在FIR濾波器設(shè)計(jì)中一般使用廣義線性相位。 如果一個(gè)離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可以表示為 (1-6)其中和是與無關(guān)聯(lián)的常數(shù)，是可正可負(fù)的實(shí)函數(shù)，則稱系統(tǒng)是廣義線性相位的。 如果M階FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)hk是實(shí)數(shù)，則可以證明系統(tǒng)是線性相位的充要條件為 (1-7)當(dāng)hk滿足hk=hM-k,稱hk偶對(duì)稱。當(dāng)hk滿足hk=-hM-k,稱hk奇對(duì)稱。按階數(shù)hk又可分為M奇數(shù)和M偶數(shù)，所以線性相位的FIR濾波器可以有四種類型。四種線性相位FIR濾波器的性質(zhì)如表1-1所示表1-1 四種線性相位FIR濾波器的性質(zhì)類型IIIIIIIV階數(shù)M偶數(shù)奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)hk的對(duì)稱性偶對(duì)稱偶對(duì)稱奇對(duì)稱奇對(duì)稱關(guān)于的對(duì)稱性偶對(duì)稱偶對(duì)稱奇對(duì)稱奇對(duì)稱關(guān)于的對(duì)稱性偶對(duì)稱奇對(duì)稱奇對(duì)稱偶對(duì)稱的周期00A(0)任意任意00任意00任意可適用的濾波器類型LP,HP,BP,SPLP,BP微分器，變換器，Hilbert微分器，變換器，Hilbert，HP1.4 IIR與FIR數(shù)字濾波器的比較(1)在技術(shù)指標(biāo)相同的條件下，IIR濾波器的輸出對(duì)輸入有反饋，所以可以用比FIR少的階數(shù)來滿足要求，存儲(chǔ)單元少，運(yùn)算次數(shù)也少，經(jīng)濟(jì)實(shí)惠。（2）FIR濾波器的相位是嚴(yán)格線性的，而IIR濾波器做不到這一點(diǎn)，IIR濾波器的選擇性越好，其相位的非線性越嚴(yán)重。（3）FIR濾波器主要采用非遞歸結(jié)構(gòu)， 有限精度的運(yùn)算誤差很小。而IIR濾波器在運(yùn)算中會(huì)產(chǎn)生寄生振蕩。（4）FIR濾波器可以使用快速傅里葉變換算法，而IIR濾波器不能這樣。（5）IIR濾波器可以利用模擬濾波器的公式、數(shù)據(jù)和表格，計(jì)算量小。FIR濾波器設(shè)計(jì)時(shí)往往要借助計(jì)算機(jī)。2 Matlab及電子通信系統(tǒng)仿真簡(jiǎn)介Matlab是矩陣實(shí)驗(yàn)室（Matrix Laboratory）的簡(jiǎn)稱，是美國(guó)MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語(yǔ)言和交互式環(huán)境，主要包括Matlab和Simulink兩大部分。2.1 Matlab簡(jiǎn)介2.1.1 基本功能Matlab是由美國(guó)的mathworks公司發(fā)布，主要面對(duì)科學(xué)計(jì)算、可視化以及交互式程序設(shè)計(jì)的高科技計(jì)算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計(jì)算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，代表了當(dāng)今國(guó)際科學(xué)計(jì)算軟件的先進(jìn)水平。 2.1.2 Matlab的優(yōu)勢(shì)(1) 工作平臺(tái)編程環(huán)境十分友好（2）編程語(yǔ)言簡(jiǎn)單易用（3）數(shù)據(jù)的計(jì)算處理能力十分強(qiáng)大（4）圖像處理能力強(qiáng)大（5）模塊集合工具箱應(yīng)用廣泛（6）程序的接口和發(fā)布平臺(tái)很實(shí)用（7）可以開發(fā)用戶界面2.2 電子通信系統(tǒng)的仿真簡(jiǎn)介2.2.1 通信與電子系統(tǒng)仿真的概念系統(tǒng)仿真技術(shù)指自1970年以來發(fā)展起來的利用現(xiàn)代計(jì)算機(jī)和仿真軟件來進(jìn)行仿真的計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)。由于計(jì)算機(jī)仿真具有精度高，通用性強(qiáng)，重復(fù)性好，建模迅速以及成本低廉等許多優(yōu)點(diǎn)，尤其是今年來發(fā)展了以Matlab為代表的多種科學(xué)計(jì)算和系統(tǒng)仿真語(yǔ)言，使用起來比利用傳統(tǒng)的C/C+語(yǔ)言進(jìn)行仿真方便快捷得多。所謂電子通信系統(tǒng)的仿真，就是利用計(jì)算機(jī)對(duì)實(shí)際的電子通信系統(tǒng)物理模型或數(shù)學(xué)模型進(jìn)行試驗(yàn)，通過這樣的模型試驗(yàn)來對(duì)一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)的性能和工作狀態(tài)進(jìn)行分析和研究。當(dāng)在實(shí)際電子通信系統(tǒng)中進(jìn)行試驗(yàn)研究比較困難或者根本無法實(shí)現(xiàn)時(shí)，仿真技術(shù)就成為必然選擇。2.2.2 計(jì)算機(jī)仿真的步驟（1） 提出仿真問題（2） 分析仿真系統(tǒng)（3） 構(gòu)建系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（4） 收集數(shù)據(jù)（5） 建立系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)仿真模型（6） 驗(yàn)證仿真模型（7） 確認(rèn)仿真模型（8） 設(shè)計(jì)仿真試驗(yàn)（9） 運(yùn)行仿真模型（10） 分析仿真結(jié)果2.2.3 電子通信系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真的優(yōu)點(diǎn)（1）應(yīng)用計(jì)算機(jī)仿真具有經(jīng)濟(jì)、安全、可靠、編程簡(jiǎn)易以及試驗(yàn)周期短等特點(diǎn)，在工程領(lǐng)域得到了越來越廣泛的應(yīng)用。（2）現(xiàn)代電子系統(tǒng)和通信系統(tǒng)通常是復(fù)雜的大規(guī)模系統(tǒng)，在噪聲和各種隨機(jī)因素的影響下，很難通過解析方法求的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述，這時(shí)系統(tǒng)仿真也就成為了一個(gè)極為有效的工具。（3）在現(xiàn)代通信系統(tǒng)協(xié)議的性能研究中，直接試驗(yàn)幾乎是不可能的，在這種情況下只能通過仿真數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)所選用的對(duì)象，以驗(yàn)證有關(guān)的假設(shè)。2.2.4 電子通信系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真的局限性（1）模型的建立、驗(yàn)證和確認(rèn)比較困難。（2）實(shí)際系統(tǒng)建模的原理和方法不正確，使得與實(shí)際系統(tǒng)的差別較大。（3）建模過程中忽略了部分次要因素，使得模型仿真結(jié)果偏離實(shí)際系統(tǒng)。（4）仿真試驗(yàn)時(shí)間太短。（5）隨機(jī)變量的概率分布的類型或參數(shù)選取不當(dāng)。（6）仿真輸出結(jié)果的統(tǒng)計(jì)誤差大。（7）計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)、編碼和應(yīng)用算法也會(huì)影響仿真結(jié)果。3 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)3.1 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器窗函數(shù)設(shè)計(jì)法又稱為傅里葉級(jí)數(shù)法。這種方法首先給出，表示要逼近的理想濾波器的頻率響應(yīng)，則由IDTFT可得出濾波器的單位脈沖響應(yīng)為 (3-1) 由于是理想濾波器，故是無限長(zhǎng)序列。但是我們所要設(shè)計(jì)的FIR濾波器，其hk是有限長(zhǎng)的。為了能用FIR濾波器近似理想濾波器，需將理想濾波器的無線長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)分別從左右進(jìn)行截?cái)?。?dāng)截?cái)嗪蟮膯挝幻}沖響應(yīng)不是因果系統(tǒng)的時(shí)候，可將其右移從而獲得因果的FIR濾波器。 另一種設(shè)計(jì)方案是將線性相位因子加入到理想濾波器的頻率響應(yīng)中，然后利用IDTFT計(jì)算出后，取在0kM范圍的值為FIR濾波器單位脈沖響應(yīng)。 理想濾波器的頻率響應(yīng)和設(shè)計(jì)出的濾波器的頻率響應(yīng)的積分平方誤差定義為 (3-2)也可以表示為 (3-3) 上式中的第一項(xiàng)和第三項(xiàng)與所設(shè)計(jì)出的濾波器參數(shù)是沒有關(guān)系的，為了使上式中的第二項(xiàng)達(dá)到最小，可選擇 (3-4)所以用上面的方法得出的濾波器是在積分平方誤差最小意義下的最佳濾波器。 Gibbs現(xiàn)象就是理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)截?cái)喃@得的FIR濾波器的幅度函數(shù)在通帶和阻帶都呈現(xiàn)出振蕩現(xiàn)象。隨著濾波器階數(shù)的增加，幅度函數(shù)在通帶和阻帶振蕩的波紋數(shù)量也隨之增加，波紋的寬度隨之減小，然而通帶和阻帶最大波紋的幅度與濾波器的階數(shù)M無關(guān)。窗函數(shù)的主瓣寬度決定了過渡帶的寬度，窗函數(shù)長(zhǎng)度N增大，過渡帶減小。 下面介紹一些常用的窗函數(shù)，用N=M+1表示窗函數(shù)的長(zhǎng)度。（1） 矩形窗 (3-5) 矩形窗的主瓣寬度為。用矩形窗設(shè)計(jì)的FIR濾波器過渡帶寬度近似為。（2） Hanning窗 (3-6) Hanning窗的主瓣寬度為。由Hanning窗的定義可知，Hanning窗在其兩個(gè)端點(diǎn)的值為零，這就使得在實(shí)際的應(yīng)用中不能利用兩個(gè)端點(diǎn)的數(shù)據(jù)。我們可將N+2點(diǎn)的Hanning窗除去兩個(gè)端點(diǎn)來定義長(zhǎng)度為N的Hanning窗。修改后的長(zhǎng)度為N的Hanning窗定義為 (3-7) 在Matlab信號(hào)處理工具箱中所采用的就是這種修改后的定義方式。（3） Hamming窗 (3-8)Hamming窗的主瓣寬度為。（4） Blackman窗(3-9) Blackman窗的主瓣寬度為。（5） Kaiser窗此種窗是一種應(yīng)用廣泛的可調(diào)節(jié)窗，它可以通過改變窗函數(shù)的形狀來控制窗函數(shù)旁瓣的大小，從而在設(shè)計(jì)中可用濾波器的衰減指標(biāo)來確定窗函數(shù)的形狀。長(zhǎng)度為N的Kaiser窗定義為 (3-10) 其中是一個(gè)可調(diào)參數(shù)，可以通過改變的值來調(diào)整窗函數(shù)的形狀，從而達(dá)到不同的阻帶衰減要求。上式中的是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)。可用冪級(jí)數(shù)表示為 (3-11)對(duì)于任意的一個(gè)實(shí)變量x，函數(shù)的值都是正的。在實(shí)際計(jì)算中，上式的求和一般取20項(xiàng)就能達(dá)到所需精度。隨著參數(shù)的增加，Kaiser窗在兩端的衰減是逐漸加大的。3.2 頻率取樣法設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器頻率取樣法是從頻域出發(fā)，在頻域直接設(shè)計(jì)，把給定的理想頻率響應(yīng)加以等間隔取樣，并以此作為實(shí)際FIR濾波器的頻率響應(yīng)。設(shè)所需濾波器的頻率響應(yīng)為?，F(xiàn)要求設(shè)計(jì)一個(gè)M階的FIR濾波器hk，使得在M+1個(gè)取樣點(diǎn)上，F(xiàn)IR濾波器的頻率響應(yīng)與所需的頻率響應(yīng)相等，即 (3-12)由設(shè)計(jì)的要求給定，hk需要通過設(shè)計(jì)來確定。如果M+1個(gè)方程是線性無關(guān)的，則可以通過求解M+1階的線性方程來得出FIR濾波器的hk。對(duì)的一些特殊取樣方法，上述方程的解可以直接由IDFT得到。由于要求設(shè)計(jì)出的濾波器是實(shí)系數(shù)的線性相位FIR濾波器，所以的取樣值還需要滿足線性相位濾波器的約束條件。 I型和II型線性相位濾波器的，III型和IV型線性相位濾波器的。為了使設(shè)計(jì)出的濾波器具有線性相位，在M+1個(gè)取樣點(diǎn)上的值應(yīng)為 (3-13) 下面分別討論四種線性相位濾波器在取樣點(diǎn)上的值：I型（M為偶數(shù)，hk偶對(duì)稱）線性相位FIR濾波器在M+1個(gè)取樣點(diǎn)值為 (3-14)上式表明I型線性相位FIR濾波器在的值可由在的值確定。在的值確定后，對(duì)做M+1點(diǎn)的IDFT即可得到I型線性相位濾波器的hk。II型（M為奇數(shù)，hk偶對(duì)稱）線性相位FIR濾波器在M+1個(gè)取樣點(diǎn)值為 (3-15)上式表明II型線性相位FIR濾波器在的值可由在的值確定。III型（M為偶數(shù)，hk奇對(duì)稱）線性相位FIR濾波器在M+1個(gè)取樣點(diǎn)值為 (3-16) 上式表明III型濾波器線性相位FIR濾波器在的值可由在的值確定。 IV型（M為奇數(shù)，hk奇對(duì)稱）線性相位FIR濾波器在M+1個(gè)取樣點(diǎn)值為 (3-17) 上式表明IV型線性相位FIR濾波器在的值可由在的值確定。 為了提高濾波器的質(zhì)量并減少誤差，可以采用人為地?cái)U(kuò)展過渡帶的方法，即在頻率相應(yīng)的過渡帶內(nèi)插入一個(gè)或多個(gè)比較連續(xù)的采樣點(diǎn)，使得過渡帶比較連續(xù)，從而使得通帶和阻帶之間變法比較緩慢，使得設(shè)計(jì)得到的濾波器對(duì)理想濾波器的逼近誤差較小。 在理想低通濾波器的設(shè)計(jì)中，若不增加過渡點(diǎn)，阻帶和通帶之間的衰減約為-21dB，如果在通帶和阻帶之間增加一個(gè)采樣點(diǎn)，阻帶的最小衰減可以提高到-65dB，如果增加兩個(gè)采樣點(diǎn)，阻帶的最小衰減可以提高到-75dB，如果增加3個(gè)采樣點(diǎn)，阻帶的最小衰減可以提高到-85dB至-95dB。3.3 線性相位FIR濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)在使用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，如果使用矩形窗，則設(shè)計(jì)出的FIR濾波器是積分平方誤差最小意義下的最佳FIR濾波器。但由于Gibbs現(xiàn)象的存在，使得設(shè)計(jì)出濾波器在阻帶的衰減一般不能滿足要求。為解決這個(gè)問題可以采用其他的窗函數(shù)，但得到的濾波器不是最小誤差意義下的最優(yōu)FIR濾波器。設(shè)表示要逼近的理想濾波器的幅度函數(shù)。表示設(shè)計(jì)出的線性相位FIR濾波器的幅度函數(shù)。優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本思想就是要確定線性相位FIR濾波器的系數(shù)，使得和的誤差在范圍內(nèi)達(dá)到最小。與的加權(quán)誤差函數(shù)定義為 (3-18)其中，是由設(shè)計(jì)者定義的加權(quán)函數(shù)。 一種常用的誤差準(zhǔn)則稱為最大誤差最小準(zhǔn)則，又稱切比雪夫準(zhǔn)則，定義為 (3-19)其中I表示濾波器在范圍內(nèi)各頻率帶區(qū)間構(gòu)成的集合。切比雪夫準(zhǔn)則意義下的優(yōu)化設(shè)計(jì)就是要確定FIR濾波器H(z)的系數(shù)，使得上式定義的誤差達(dá)到最小。 在FIR濾波器的階數(shù)M固定的條件下，利用切比雪夫誤差準(zhǔn)則設(shè)計(jì)出的FIR濾波器的幅度響應(yīng)在通帶和阻帶都會(huì)呈現(xiàn)等波紋的波動(dòng)。所以這類濾波器稱為等波紋FIR濾波器。等波紋FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法是由Parks-McClellan提出。在解決問題過程中使用了數(shù)學(xué)優(yōu)化中的Remez交換算法。 利用Remez交換算法，等波紋線性相位FIR濾波器的設(shè)計(jì)步驟可歸結(jié)為：（1）用Kaiser提出的經(jīng)驗(yàn)公式估計(jì)濾波器的階數(shù) (3-20) 確定J的值。（2）選定初始極值點(diǎn)。（3）計(jì)算。（4）為尋找新的極值點(diǎn)，計(jì)算函數(shù)在I中的抽樣值。為了減少計(jì)算誤差，抽樣間隔應(yīng)足夠小。通常選擇抽樣點(diǎn)數(shù)為16M。（5）尋找新的極值點(diǎn)。（6）如果，執(zhí)行（7）。否則用交換回到（3）。（7）獲得gk。（8）由gk求出hk。4 利用Matlab實(shí)現(xiàn)FIR濾波器設(shè)計(jì)在利用Matlab設(shè)計(jì)FIR濾波器時(shí)，分別采用窗函數(shù)法、頻率取樣法和優(yōu)化設(shè)計(jì)方法去設(shè)計(jì)所需的濾波器。在設(shè)計(jì)的過程中，用設(shè)計(jì)的濾波器對(duì)加有噪聲的語(yǔ)音信號(hào)或不同頻率疊加的正弦輸入信號(hào)進(jìn)行濾波，對(duì)比輸入前后的圖像，以此驗(yàn)證濾波器的性能。在程序繪制的圖像中，有濾波器的特性圖、輸入信號(hào)的時(shí)域頻域圖和輸出信號(hào)的時(shí)域頻域圖。4.1 窗函數(shù)法的Matlab實(shí)現(xiàn)在窗函數(shù)法的Matlab實(shí)現(xiàn)中，程序中經(jīng)常使用的函數(shù)有fir1和kaiserord。 程序中fir1函數(shù)的用法：b=fir1(n,Wn,ftype,window)n為濾波器的階數(shù)Wn為濾波器的截止頻率，它是一個(gè)0到1的數(shù)。如果Wn是一個(gè)含有兩個(gè)數(shù)的向量，則函數(shù)返回一個(gè)帶通濾波器ftype為濾波器的類型，ftype=high時(shí)，設(shè)計(jì)的是高通濾波器；ftype=stop時(shí)，設(shè)計(jì)的是帶阻濾波器；沒有此參數(shù)時(shí)，設(shè)計(jì)的是低通濾波器window為指定的窗函數(shù)，矩形窗為boxcar(n)，漢寧窗為hanning(n)，海明窗為hamming(n)，布萊克曼窗為blackman(n)，凱撒窗為kaiser(n,beta)，沒有此參數(shù)時(shí)，默認(rèn)為hamming窗程序中kaiserord函數(shù)的用法：n,Wn,beta,ftype=kaiserord(f,a,dev,Fs)f是一個(gè)向量，為設(shè)計(jì)濾波器過渡帶的起始點(diǎn)和結(jié)束點(diǎn)a是一個(gè)向量，指定頻率段的幅度值dev是一個(gè)向量，長(zhǎng)度和a相同，為各個(gè)通帶和阻帶內(nèi)容許的幅度最大誤差n為能夠滿足要求的濾波器的最小階數(shù)Wn為濾波器的截止頻率ftype為根據(jù)待設(shè)計(jì)濾波器的要求得到的濾波器的類型(1) 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)低通濾波器設(shè)計(jì)要求：使用hamming窗，采樣頻率2000Hz通帶截頻0.1，阻帶截頻0.17通帶衰減小于等于0.1dB，阻帶衰減大于等于50dB程序參見附錄二中的1-（1）利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)低通濾波器圖4-1 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)低通濾波器的增益響應(yīng)從參考程序及圖4-1可以得到所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)如下：濾波器的采樣頻率為2000Hz，濾波器的階數(shù)為266濾波器的通帶截頻0.1 ，阻帶截頻0.17 ，過渡帶寬0.07 通帶衰減為0.019dB，阻帶衰減為53dB 對(duì)比設(shè)計(jì)要求與所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)可知，其各項(xiàng)參數(shù)均滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)，所設(shè)計(jì)出的濾波器即為設(shè)計(jì)所要求的濾波器。圖4-2 信號(hào)濾波前的時(shí)域圖和頻域圖圖4-3 信號(hào)濾波后的時(shí)域圖和頻域圖從圖4-2和圖4-3的圖像中可以看到：輸入信號(hào)是由兩個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)疊加而成，信號(hào)頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計(jì)要求。（2） 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)帶通濾波器設(shè)計(jì)要求：使用Kaiser窗，采樣頻率8000Hz通帶截頻0.325與0.5525，阻帶截頻0.25與0.6025阻帶衰減大于等于40dB，通帶和阻帶波紋0.01程序參見附錄二中的1-（2）利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)帶通濾波器圖4-4 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)帶通濾波器的增益響應(yīng)從參考程序及圖4-4可以得到所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)如下：濾波器的采樣頻率為8000Hz，濾波器的階數(shù)為90濾波器的通帶截頻0.325與0.5525，阻帶截頻0.25與0.6025，過渡帶寬0.075與0.05阻帶衰減為40dB，通帶和阻帶的波紋均為0.01對(duì)比設(shè)計(jì)要求與所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)可知，其各項(xiàng)參數(shù)均滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)，所設(shè)計(jì)出的濾波器即為設(shè)計(jì)所要求的濾波器。圖4-5 信號(hào)濾波前的時(shí)域圖和頻域圖圖4-6 信號(hào)濾波后的時(shí)域圖和頻域圖從圖4-5和圖4-6的圖像中可以看到：輸入信號(hào)是由四個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)疊加而成，信號(hào)頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計(jì)要求。 (3) 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)多通帶濾波器設(shè)計(jì)要求：使用Kaiser窗，采樣頻率200Hz通帶截頻0.2、0.4、0.7、0.8阻帶截頻0.1、0.5、0.6、0.9阻帶衰減大于等于30dB，通帶和阻帶波紋0.01程序參見附錄二中的1-（3）利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)多通帶濾波器圖4-7 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)多通帶濾波器的增益響應(yīng)從參考程序及圖4-7可以得到所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)如下：濾波器的采樣頻率為200Hz，濾波器的階數(shù)為46濾波器的通帶截頻0.2、0.4、0.7、0.8，阻帶截頻0.1 、0.5、0.6、0.9，過渡帶寬均為0.1阻帶衰減為38dB，通帶和阻帶的波紋均為0.01對(duì)比設(shè)計(jì)要求與所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)可知，其各項(xiàng)參數(shù)均滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)，所設(shè)計(jì)出的濾波器即為設(shè)計(jì)所要求的濾波器。圖4-8 信號(hào)濾波前的時(shí)域圖和頻域圖圖4-9 信號(hào)濾波后的時(shí)域圖和頻域圖從圖4-8和圖4-9的圖像中可以看到：輸入信號(hào)是由六個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)疊加而成，信號(hào)頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計(jì)要求。4.2 頻率取樣法的Matlab實(shí)現(xiàn)(1) 利用頻率取樣法設(shè)計(jì)低通濾波器設(shè)計(jì)要求：通帶截頻0.5，阻帶截頻0.6阻帶衰減大于等于15dB程序參見附錄二中的2-（1）利用頻率取樣法設(shè)計(jì)低通濾波器圖4-10 頻率取樣法設(shè)計(jì)低通濾波器的增益響應(yīng)從參考程序及圖4-7可以得到所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)如下：濾波器的階數(shù)為63濾波器的通帶截頻0.5，阻帶截頻0.6，過渡帶寬為0.1阻帶衰減為17dB對(duì)比設(shè)計(jì)要求與所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)可知，其各項(xiàng)參數(shù)均滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)，所設(shè)計(jì)出的濾波器即為設(shè)計(jì)所要求的濾波器。圖4-11 信號(hào)濾波前的時(shí)域圖和頻域圖圖4-12 信號(hào)濾波后的時(shí)域圖和頻域圖從圖4-11和圖4-12的圖像中可以看到：輸入信號(hào)是由三個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)疊加而成，信號(hào)頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計(jì)要求。（2）利用頻率取樣法設(shè)計(jì)高通濾波器設(shè)計(jì)要求：通帶截頻0.5，阻帶截頻0.6阻帶衰減大于等于15dB程序參見附錄二中的2-（2）利用頻率取樣法設(shè)計(jì)高通濾波器圖4-13 頻率取樣法設(shè)計(jì)高通濾波器的增益響應(yīng)從參考程序及圖4-7可以得到所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)如下：濾波器的階數(shù)為32濾波器的通帶截頻0.6，阻帶截頻0.5，過渡帶寬為0.1阻帶衰減為18dB對(duì)比設(shè)計(jì)要求與所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)可知，其各項(xiàng)參數(shù)均滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)，所設(shè)計(jì)出的濾波器即為設(shè)計(jì)所要求的濾波器。圖4-14 信號(hào)濾波前的時(shí)域圖和頻域圖圖4-15 信號(hào)濾波后的時(shí)域圖和頻域圖從圖4-14和圖4-15的圖像中可以看到：輸入信號(hào)是由三個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)疊加而成，信號(hào)頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計(jì)要求。4.3 優(yōu)化設(shè)計(jì)的Matlab實(shí)現(xiàn)在優(yōu)化設(shè)計(jì)的Matlab實(shí)現(xiàn)中，程序中經(jīng)常使用remez函數(shù)，這種函數(shù)的使用方法為： b=remez(n,f,a,w,ftype)n為待設(shè)計(jì)濾波器的階數(shù)；f是一個(gè)向量，它是一個(gè)0到1的正數(shù)a是一個(gè)向量，指定頻率段的幅度值；w對(duì)應(yīng)于各個(gè)頻段的加權(quán)值函數(shù)的返回值b是設(shè)計(jì)出的濾波器的系數(shù)組成的一個(gè)長(zhǎng)度為n+1的向量(1) 利用Remez函數(shù)設(shè)計(jì)等波紋低通濾波器設(shè)計(jì)要求：通帶截頻0.5，阻帶截頻0.6 , 采樣頻率2000Hz阻帶衰減大于等于40dB，通帶波紋0.1710和阻帶波紋0.01程序參見附錄二中的3-（1）利用Remez函數(shù)設(shè)計(jì)等波紋低通濾波器圖4-16 等波紋低通濾波器的增益響應(yīng)從參考程序及圖4-16可以得到所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)如下：濾波器的采樣頻率為2000Hz，濾波器的階數(shù)為22濾波器的通帶截頻0.5，阻帶截頻0.6，過渡帶寬均為0.1阻帶衰減為40dB，通帶波紋為0.1710，阻帶波紋為0.01對(duì)比設(shè)計(jì)要求與所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)可知，其各項(xiàng)參數(shù)均滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)，所設(shè)計(jì)出的濾波器即為設(shè)計(jì)所要求的濾波器。圖4-17 信號(hào)濾波前的時(shí)域圖和頻域圖圖4-18 信號(hào)濾波后的時(shí)域圖和頻域圖從圖4-17和圖4-18的圖像中可以看到：輸入信號(hào)是由兩個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)疊加而成，信號(hào)頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計(jì)要求。(2) 利用Remez函數(shù)設(shè)計(jì)等波紋帶通濾波器設(shè)計(jì)要求：通帶截頻0.3、0.6，阻帶截頻0.2、0.7 阻帶衰減大于等于40dB通帶波紋0.1710和阻帶波紋0.01采樣頻率2000Hz程序參見附錄二中的3-（2）利用Remez函數(shù)設(shè)計(jì)等波紋帶通濾波器圖4-19 等波紋帶通濾波器的增益響應(yīng)從參考程序及圖4-19可以得到所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)如下：濾波器的采樣頻率為2000Hz，濾波器的階數(shù)為22通帶截頻0.3、0.6，阻帶截頻0.2、0.7，過渡帶寬均為0.1阻帶衰減為40dB，通帶波紋為0.1710，阻帶波紋為0.01對(duì)比設(shè)計(jì)要求與所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)可知，其各項(xiàng)參數(shù)均滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)，所設(shè)計(jì)出的濾波器即為設(shè)計(jì)所要求的濾波器。圖4-20 信號(hào)濾波前的時(shí)域圖和頻域圖圖4-21 信號(hào)濾波后的時(shí)域圖和頻域圖從圖4-20和圖4-21的圖像中可以看到：輸入信號(hào)是由四個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)疊加而成，信號(hào)頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計(jì)要求。(3) 利用Remez函數(shù)設(shè)計(jì)等波紋帶阻濾波器設(shè)計(jì)要求：阻帶截頻0.3、0.6，通帶截頻0.2、0.7 阻帶衰減大于等于15dB通帶波紋0.01和阻帶波紋0.1710采樣頻率2000Hz程序參見附錄二中的3-（3）利用Remez函數(shù)設(shè)計(jì)等波紋帶阻濾波器圖4-22 等波紋帶阻濾波器的增益響應(yīng)從參考程序及圖4-22可以得到所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)如下：濾波器的采樣頻率為2000Hz，濾波器的階數(shù)為22通帶截頻0.2、0.7，阻帶截頻0.3、0.6，過渡帶寬均為0.1阻帶衰減為15dB，通帶波紋為0.01，阻帶波紋為0.1710對(duì)比設(shè)計(jì)要求與所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)可知，其各項(xiàng)參數(shù)均滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)，所設(shè)計(jì)出的濾波器即為設(shè)計(jì)所要求的濾波器。圖4-23 信號(hào)濾波前的時(shí)域圖和頻域圖圖4-24 信號(hào)濾波后的時(shí)域圖和頻域圖從圖4-23和圖4-24的圖像中可以看到：輸入信號(hào)是由四個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)疊加而成，信號(hào)頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計(jì)要求。4.4 利用濾波器處理加有噪聲的音頻波形（1） 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的低通濾波器處理加有噪聲的音頻波形程序參見附錄二4-（1）利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的低通濾波器處理加噪聲的音頻波形圖4-25 加噪前錄音波形的時(shí)域圖和頻域圖圖4-26 加噪后錄音波形的時(shí)域圖和頻域圖圖4-27 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)低通濾波器的增益響應(yīng)圖4-28 濾波后錄音波形的時(shí)域圖和頻域圖從參考程序及以上的四個(gè)圖像中可以得到如下結(jié)論：從錄音波形的頻域圖可以看到其頻率分量主要在0到6000Hz之間，噪聲的頻率分量主要集中在7000Hz，利用通帶截頻為6000Hz的低通濾波器可以濾除噪聲。對(duì)比figure（1）和figure（4）濾波前后的波形和頻譜，可以看到波形得到了重現(xiàn)濾波器的采樣頻率為22050Hz，濾波器的階數(shù)為266濾波器的通帶截頻0.6，阻帶截頻0.68，過渡帶寬0.08通帶衰減為0.019dB，阻帶衰減約為53dB（2） 利用優(yōu)化設(shè)計(jì)的低通濾波器處理加有噪聲的音頻波形程序參見附錄二中4-（2）利用優(yōu)化設(shè)計(jì)的低通濾波器處理加有噪聲的音頻波形圖4-29 加噪前錄音波形的時(shí)域圖和頻域圖圖4-30 加噪后錄音波形的時(shí)域圖和頻域圖圖4-31 等波紋低通濾波器的增益響應(yīng)圖4-32 濾波后錄音波形的時(shí)域圖和頻域圖從參考程序及以上的四個(gè)圖像中可以得到如下結(jié)論：從錄音波形的頻域圖可以看到其頻率分量主要在0到6000Hz之間，噪聲的頻率分量主要集中在7000Hz，利用通帶截頻為6000Hz的低通濾波器可以濾除噪聲。對(duì)比figure（1）和figure（4）濾波前后的波形和頻譜，可以看到波形得到了重現(xiàn)濾波器的采樣頻率為22050Hz，濾波器的階數(shù)為24濾波器的通帶截頻0.6，阻帶截頻0.7，過渡帶寬為0.1阻帶衰減為40dB，通帶波紋為0.1710，阻帶波紋為0.01參考文獻(xiàn)1陳后金.數(shù)字信號(hào)處理.高等教育出版社，20062徐明遠(yuǎn)，邵玉斌.Matlab仿真在通信與電子工程中的應(yīng)用.西安電子科技大學(xué)出版社.20083鄒鯤，袁俊泉，龔享銥.Matlab 6.x信號(hào)處理.清華大學(xué)出版社.20024張明照，劉政波，劉斌.應(yīng)用Matlab實(shí)現(xiàn)信號(hào)分析和處理.科學(xué)出版社.20065劉波，文忠.曾涯.Matlab信號(hào)處理.電子工業(yè)出版社.20066William H.Tranter,K.Sam Shanmugan,Theodore S.Rappaport,Kurt L.Kosbar著.肖明波，楊光松，許芳，席斌譯.通信系統(tǒng)仿真原理與無線應(yīng)用.機(jī)械工業(yè)出版社.20067程佩青.數(shù)字信號(hào)處理教程.清華大學(xué)出版社.20078Oppenheim A V,Schafer R W.Digital Signal Processing. Prentice Hall,Inc.1975.董士嘉譯.數(shù)字信號(hào)處理.科學(xué)出版社.19819黃順吉.數(shù)字信號(hào)處理及其應(yīng)用.國(guó)防工業(yè)出版社.198210蘇金明，張蓮花，劉波.Matlab工具箱應(yīng)用.電子工業(yè)出版社.2004附錄附錄一 外文原文及翻譯外文原文FIR Filter Design TechniquesAbstractThis report deals with some of the techniques used to design FIR filters. In the beginning, the windowing method and the frequency sampling methods are discussed in detail with their merits and demerits. Different optimization techniques involved in FIR filter design are also covered, including Rabiners method for FIR filter design. These optimization techniques reduce the error caused by frequency sampling technique at the non-sampled frequency points. A brief discussion of some techniques used by filter design packages like Matlab are also included. Introduction FIR filters are filters having a transfer function of a polynomial in z and is an all-zero filter in the sense that the zeroes in the z-plane determine the frequency response magnitude characteristic.The z transform of a N-point FIR filter is given by (1)FIR filters are particularly useful for applications where exact linear phase response is required. The FIR filter is generally implemented in a non-recursive way which guarantees a stable filter. FIR filter design essentially consists of two parts (i) approximation problem (ii) realization problem The approximation stage takes the specification and gives a transfer function through four steps. They are as follows:(i) A desired or ideal response is chosen, usually in the frequency domain. (ii) An allowed class of filters is chosen (e.g.the length N for a FIR filters). (iii) A measure of the quality of approximation is chosen. (iv) A method or algorithm is selected to find the best filter transfer function. The realization part deals with choosing the structure to implement the transfer function which may be in the form of circuit diagram or in the form of a program.There are essentially three well-known methods for FIR filter design namely: (1) The window method (2) The frequency sampling technique (3) Optimal filter design methods The Window Method In this method, Park87, Rab75, Proakis00 from the desired frequency response specification Hd(w), corresponding unit sample response hd(n) is determined using the following relation (2) (3)In general, unit sample response hd(n) obtained from the above relation is infinite in duration, so it must be truncated at some point say n= M-1 to yield an FIR filter of length M (i.e. 0 to M-1). This truncation of hd(n) to length M-1 is same as multiplying hd(n) by the rectangular window defined as w(n) = 1 0nM-1 (4)0 otherwiseThus the unit sample response of the FIR filter becomes h(n) = hd(n) w(n) (5) = hd(n) 0nM-1= 0 otherwise Now, the multiplication of the window function w(n) with hd(n) is equivalent to convolution of Hd(w) with W(w), where W(w) is the frequency domain representation of the window function (6)Thus the convolution of Hd(w) with W(w) yields the frequency response of the truncated FIR filter (7)The frequency response can also be obtained using the following relation (8)But direct truncation of hd(n) to M terms to obtain h(n) leads to the Gibbs phenomenon effect which manifests itself as a fixed percentage overshoot and ripple before and after an approximated discontinuity in the frequency response due to the non-uniform convergence of the fourier series at a discontinuity.Thus the frequency response obtained by using (8) contains ripples in the frequency domain. In order to reduce the ripples, instead of multiplying hd(n) with a rectangular window w(n), hd(n) is multiplied with a window function that contains a taper and decays toward zero gradually, instead of abruptly as it occurs in a rectangular window. As multiplication of sequences hd(n) and w(n) in time domain is equivalent to convolution of Hd(w) and W(w) in the frequency domain, it has the effect of smoothing Hd(w). The several effects of windowing the Fourier coefficients of the filter on the result of the frequency response of the filter are as follows: (i) A major effect is that discontinuities in H(w) become transition bands between values on either side of the discontinuity. (ii)