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初中數(shù)學競賽輔導講義及習題解答 第8講 由常量數(shù)學到變量數(shù)學

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初中數(shù)學競賽輔導講義及習題解答 第8講 由常量數(shù)學到變量數(shù)學

第八講 由常量數(shù)學到變量數(shù)學 數(shù)學漫長的發(fā)展歷史大致歷經(jīng)四個時期:以自然數(shù)、分數(shù)體系形成的萌芽期;以代數(shù)符號體系形成的常量數(shù)學時期;以函數(shù)概念產(chǎn)生的變量數(shù)學時期;以集合論為標志的現(xiàn)代數(shù)學時期 函數(shù)是數(shù)學中最重要的概念之一,它是變量數(shù)學的標志,“函數(shù)”是從量的側(cè)面去描述客觀世界的運動變化、相互聯(lián)系,從量的側(cè)面反映了客觀世界的動態(tài)和它們的相互制約性 函數(shù)的基本知識有:與平面直角坐標系相關(guān)的概念、函數(shù)概念、函數(shù)的表示法、函數(shù)圖象概念及畫法 在坐標平面內(nèi),由點的坐標找點和由點求坐標是“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)換的最基本形式點的坐標是解決函數(shù)問題的基礎(chǔ),函數(shù)解析式是解決函數(shù)問題的關(guān)鍵,所以,求點的坐標、探求函數(shù)解析式是研究函數(shù)的兩大重要課題【例題求解】【例1】 在平面直角坐標系內(nèi),已知點A(2,2),B(2,-3),點P在y軸上,且APB為直角三角形,則點P的個數(shù)為 思路點撥 先在直角坐標平面內(nèi)描出A、B兩點,連結(jié)AB,因題設(shè)中未指明APB的哪個角是直角,故應(yīng)分別就A、B、C為直角來討論,設(shè)點P(0,x),運用幾何知識建立x的方程注: 點的坐標是數(shù)與形結(jié)合的橋梁,求點的坐標的基本方法有: (1)利用幾何計算求; (2)通過解析式求;(3)解由解析式聯(lián)立的方程組求【例2】 如圖,向放在水槽底部的燒杯注水(流量一定),注滿燒杯后,繼續(xù)注水,直至注滿水槽水槽中水面上升高度與注水時間之間的函數(shù)關(guān)系,大致是下列圖象中的( ) 思路點撥 向燒杯注水需要時間,并且水槽中水面上升高注: 實際生活中量與量之間的關(guān)系可以形象地通過圖象直觀地表現(xiàn)出來,如心電圖、,股市行情走勢圖等,圖象中包含著豐富的圖象信息,要善于從圖象的形狀、位置、發(fā)展變化趨勢等有關(guān)信息中獲得啟示2 / 11【例3】 南方A市欲將一批容易變質(zhì)的水果運往B市銷售,共有飛機、火車、汽車三種運輸方式,現(xiàn)只可選擇其中的一種,這三種運輸方式的主要參考數(shù)據(jù)如下表所示:運輸工具途中速度(千米時) 途中費用(元千米)裝卸費用(元)裝卸時間(小時)飛機2001610002火車100420004汽車50810002 若這批水果在運輸(包括裝卸)過程中的損耗為200元/小時,記A、B兩市間的距離為x千米 (1)如果用Wl、W2、W3分別表示使用飛機、火車、汽車運輸時的總支出費用(包括損耗),求出Wl、W2、W3與小x間的函數(shù)關(guān)系式 (2)應(yīng)采用哪種運輸方式,才使運輸時的總支出費用最小? 思路點撥 每種運輸工具總支出費用途中所需費用(含裝卸費用)+損耗費用;總支出費用隨距離變化而變化,由WlW20,W2一W3=0,先確定自變量的特定值,通過討論選擇最佳運輸方式【例4】 已知在菱形ABCD中,BAD60,把它放在直角坐標系中,使AD邊在y軸上,點C的坐標為(2,8) (1)畫出符合題目條件的菱形與直角坐標系; (2)寫出A、B兩點的坐標;(3)設(shè)菱形ABCD的對角線交點為P問:在y軸上是否存在一點F,使得點P與點F關(guān)于菱形ABCD的某條邊所在的直線對稱,如果存在,寫出點F的坐標;如果不存在,請說明理由 思路點撥 (1)關(guān)鍵是探求點A是在y軸正半軸上、負半軸上還是坐標原點,只須判斷COy與CAD的大小;(2)利用解直角三角形求A,B兩點坐標;(3)設(shè)軸上存在點F(0,y),則P與F只可能關(guān)于直線DC對稱注:建立函數(shù)關(guān)系式,實際上都是根據(jù)具體的實際問題和一些特殊的關(guān)系、數(shù)據(jù)而抽象、歸納建立函數(shù)的模型 【例5】 如圖,已知在RtABC中,B90,BC4cm,AB8cm,D、E、F分別為AB、AC、BC邊上的中點,若P為AB邊上的一個動點,PQBC,且交AC于點Q,以PQ為一邊,在點A的右側(cè)作正方形PQMN,記PQMN與矩形EDBF的公共部分的面積為y (1)當AP3cm時,求的值; (2)設(shè)AP=cm時,求y與x的函數(shù)關(guān)系式; (3)當y=2cm2,試確定點P的位置(2001年天津市中考題)思路點撥 對于(2),由于點P的位置不同,y與x之間存在不同的函數(shù)關(guān)系,故需分類討論;對于(3),由相應(yīng)函數(shù)解析式求x值注:確定幾何元素間的函數(shù)關(guān)系式,首先是借助幾何知識與方法把相應(yīng)線段用自變量表示,再代入相應(yīng)的等量關(guān)系式,需要注意的是: (1)當圖形運動導致圖形之間位置發(fā)生變化,需要分類討論; (2)確定自變量的幾何意義,常用到運動變化、考慮極端情形、特殊情形等思想方法學力訓練1 如圖,在直角坐標系中,已知點A(4,0)、B(4,4),OAB90,有直角三角形與RtABO全等且以AB為公共邊,請寫出這些直角三角形未知頂點的坐標 2在直角坐標系中有兩點A(4,0),B(0,2),如果點C在x軸上(C與A不重合),當點C的坐標為 時,使得由點B、O、C組成的三角形與AOB相似(至少找出兩個滿足條件的點的坐標) 3根據(jù)指令S,A(S0,0<A<180),機器人在平面上能完成下列動作:先原地逆時針旋轉(zhuǎn)角度A,再朝其面對的方向沿直線行走距離S現(xiàn)機器人在直角坐標系的坐標原點,且面對x軸的正方向,(1)若給機器人下了一個指令4,60,則機器人應(yīng)移動到點 ;(2)請你給機器人下一個指令 ,使其移動到點(一5,5) 4如圖,在平面直角坐標系中,直線AB與x軸的夾角為60,且點A的坐標為(一2,0),點B在x軸上方,設(shè)AB,那么點B的橫坐標為( ) A B C D 5一天,小軍和爸爸去登山,已知山腳到山頂?shù)穆烦虨?00米,小軍先走了一段路程,爸爸才開始出發(fā)圖中兩條線段分別表示小軍和爸爸離開山腳登山的路程(米)與登山所用的時間(分鐘的關(guān)系)(從爸爸開始登山時計時),根據(jù)圖象,下列說法錯誤的是( ) A爸爸登山時,小軍已走了50米 B爸爸走了5分鐘,小軍仍在爸爸的前面 C小軍比爸爸晚到山頂 D爸爸前10分鐘登山的速度比小軍慢,10分鐘之后登山的速度比小軍快6若函數(shù)的自變量的取值范圍為一切實數(shù),則的取值范圍是( ) Am<l Bm=1 C m>l Dm17如圖,在直角坐標系中,已知點A(4,0)、點B(0,3),若有一個直角三角形與RtABO全等,且它們有一條公共邊,請寫出這個直角三角形未知頂點的坐標(不必寫出計算過程)8如圖,用同樣規(guī)格黑白兩色的正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面,請觀察下列圖形并解答有關(guān)問題:(1)設(shè)鋪設(shè)地面所用瓷磚的總塊數(shù)為,請寫出與(表示第個圖形)的函數(shù)關(guān)系式;(2)按上述鋪設(shè)方案,鋪一塊這樣的矩形地面共用了506塊瓷磚,求此時的值;(3)若黑瓷磚每塊4元,白瓷磚每塊3元,在問題(2)中,共需花多少元錢購買瓷磚? (4)是否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數(shù)相等情形?請通過計算說明為什么?9如圖,在平面直角坐標系中有一個正方形ABCD,它的4個頂點為A(10,0),B (0,10),C(一10,0),D(0,一10),則該正方形內(nèi)及邊界上共有 個整點(即縱橫坐標都是整數(shù)的點)10如圖,已知邊長為l的正方形OABC在直角坐標系中,A、B兩點在第一象限內(nèi),OA與軸的夾角為30,那么點B的坐標是 11如圖,一個粒子在第一象限運動,在第一分鐘內(nèi)它從原點運動到(1,0),而后它接著按圖所示在與軸、軸平行的方向上來回運動,且每分鐘移動1個單位長度,那么在1989分鐘后這個粒子所處位置為 12在直角坐標系中,已知A(1,1),在軸上確定點P,使AOP為等腰三角形,則符合條件的點P共有( ) A1個 B2個 C 3個 D4個 13已知點P的坐標是(l,),這里、是有理數(shù),PA、PB分別是點P到軸和軸的垂線段,且矩形OAPB的面積為,則P點可能出現(xiàn)的象限有( ) A1個 B2個 C3個 D4個 14甲、乙二人同時從A地出發(fā),沿同一條道路去B地,途中都使用兩種不同的速度Vl與V2(Vi<V2),甲用一半的路程使用速度Vl、另一半的路程使用速度V2;關(guān)于甲乙二人從A地到達B地的路程與時間的函數(shù)圖象及關(guān)系,有圖中4個不同的圖示分析其中橫軸表示時間,縱軸表示路程,其中正確的圖示分析為( ) A圖(1) B圖(1)或圖(2) C圖(3) D圖(4) 15依法納稅是每個公民應(yīng)盡的義務(wù)中華人民共和國個人所得稅法規(guī)定,公民每月工資、薪金收入不超過800元,不需交稅;超過800元的部分為全月應(yīng)納稅所得額,都應(yīng)交稅,且根據(jù)超過部分的多少按不同的稅率交稅,詳細的稅率如下表:級別全月應(yīng)納稅所得額稅率()1不超過500元部分52超過500元至2000元部分103超過2000元至5000元部分15(1)某公民2002年10月的總收人為1350元,問他應(yīng)交稅款多少元?(2)設(shè)表示每月收入(單位:元),表示應(yīng)交稅款(單位:元),當1300<x2800時,請寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(3)某企業(yè)高級職員2002年11月應(yīng)交稅款55元,問該月他的總收入是多少元? 16如圖,在ABC中,C90,AC3,BC4,點D是AB上任意一點(A、B兩點除外),過D作AB垂線與ABC的直角邊相交于E,設(shè)AD=,ADE的面積為,當點D在AB上移動時,求關(guān)于之間的函數(shù)關(guān)系式17現(xiàn)計劃把甲種貨物1240噸和乙種貨物880噸用一列貨車運往某地,已知這列貨車掛有A、B兩種不同規(guī)格的貨車廂共40節(jié),使用A型車廂每節(jié)費用6000元,使用月型車廂每節(jié)費用為8000元(1)設(shè)運送這批貨物的總費用為萬元,這列貨車掛A型車廂節(jié),試寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式; (2)如果每節(jié)A型車廂最多可裝甲種貨物35噸和乙種貨物15噸,每節(jié)月型B車廂最多可裝甲種貨物25噸和乙種貨物35噸,裝貨時按此要求安排A、B兩種車廂的節(jié)數(shù),那么共有哪幾種安排車廂的方案? (3)在上述方案中,哪個方案運費最高?最少運費為多少元? 18如圖,梯形OABC中,O為直角坐標系的原點,A、B、C的坐標分別為(14,0),(14,3),(4,3)點P、Q同時從原點出發(fā),分別作勻速運動,其中點P沿OA向終點A運動,速度為每秒1個單位;點Q沿OC、CB向終點B運動,當這兩點中有一點到達自己的終點時,另一點也停止運動 (1)設(shè)從出發(fā)起運動了秒,如果點Q的速度為每秒2個單位,試分別寫出這時點Q在OC上或在CB上時的坐標(用含的代數(shù)式表示);(2)設(shè)從出發(fā)起運動了秒,如果點P與點Q所經(jīng)過的路程之和恰好為梯形OABC的周長的一半,試用含的代數(shù)式表示這時點Q所經(jīng)過的路程和它的速度;試問:這時直線PQ是否可能同時把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分?如有可能,求出相應(yīng)的的值和P、Q的坐標;如不可能,請說明理由 參考答案 希望對大家有所幫助,多謝您的瀏覽!

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