（江蘇專用）2019高考數(shù)學二輪復習 第三篇 第31練 幾何證明選講、不等式選講課件 理.ppt

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第三篇附加題專項練，力保選做拿滿分,,第31練幾何證明選講、不等式選講,明晰考情1.命題角度：三角形及相似三角形的判定與性質；圓的相交弦定理，切割線定理；圓內接四邊形的性質與判定；含絕對值的不等式解法、不等式證明的基本方法、利用不等式性質求最值以及幾個重要不等式的應用.2.題目難度：中檔難度.,核心考點突破練,,,欄目索引,,高考押題沖刺練,考點一三角形相似的判定及應用,方法技巧證明三角形相似可以結合圓的某些性質、定理，要注意等量的代換.,,核心考點突破練,1.(2016江蘇)如圖，在△ABC中，已知∠ABC＝90，BD⊥AC，D為垂足，E是BC的中點，求證：∠EDC＝∠ABD.,證明,證明在△ADB和△ABC中，因為∠ABC＝90，BD⊥AC，∠A為公共角，所以△ADB∽△ABC，所以∠ABD＝∠C.在Rt△BDC中，因為E是斜邊BC的中點，所以ED＝EC，從而∠EDC＝∠C，所以∠EDC＝∠ABD.,證明,2.(2017江蘇)如圖，AB為半圓O的直徑，直線PC切半圓O于點C，AP⊥PC，P為垂足.(1)求證：∠PAC＝∠CAB；證明因為PC切半圓O于點C，所以∠PCA＝∠CBA.因為AB為半圓O的直徑，所以∠ACB＝90.因為AP⊥PC，所以∠APC＝90，因此∠PAC＝∠CAB.,證明,(2)求證：AC2＝APAB.,證明由(1)知，△APC∽△ACB，,即AC2＝APAB.,證明,3.(2018蘇州模擬)如圖，AB，AC與圓O分別切于點B，C，點P為圓O上異于點B，C的任意一點，PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，PF⊥BC于點F.求證：PF2＝PDPE.,證明連結PB，PC，因為∠PCF，∠PBD分別為圓弧BP上的圓周角和弦切角，所以∠PCF＝∠PBD.因為PD⊥BD，PF⊥FC，所以△PDB∽△PFC，,同理，∠PBF＝∠PCE，又PE⊥EC，PF⊥FB，,證明,4.如圖，AB，AC是⊙O的切線，ADE是⊙O的割線，求證：BECD＝BDCE.,證明因為AB是⊙O的切線，所以∠ABD＝∠AEB.又因為∠BAD＝∠EAB，所以△BAD∽△EAB，,因為AB，AC是⊙O的切線，所以AB＝AC.,即BECD＝BDCE.,考點二圓有關定理、性質的應用,方法技巧和圓有關的計算證明問題，要靈活運用圓和三角形的性質，以目標為導向，根據需要找角、線段長度的關系，適時進行等量代換.,證明,5.(2018江蘇)如圖，圓O的半徑為2，AB為圓O的直徑，P為AB延長線上一點，過P作圓O的切線，切點為C.若PC＝，求BC的長.,證明如圖，連結OC.因為PC與圓O相切，所以OC⊥PC.,又因為OB＝2，從而B為Rt△OCP斜邊的中點，所以BC＝2.,6.(2018南京模擬)如圖，CD是圓O的切線，切點為D，CA是過圓心O的割線且交圓O于點B，DA＝DC，求證：CA＝3CB.,證明,證明如圖，連結OD，因為DA＝DC，所以∠DAO＝∠C.在圓O中，AO＝DO，所以∠DAO＝∠ADO，所以∠DOC＝2∠DAO＝2∠C.因為CD為圓O的切線，所以∠ODC＝90，從而∠DOC＋∠C＝90，即2∠C＋∠C＝90，故∠C＝30，所以OC＝2OD＝2OB，所以CB＝OB，所以CA＝3CB.,7.(2018蘇州模擬)如圖，圓O的直徑AB＝4，C為圓周上一點，BC＝2，過C作圓O的切線l，過點A作l的垂線AD，AD分別與直線l和圓O交于點D，E，求線段AE的長.,解在Rt△ABC中，因為AB＝4，BC＝2，所以∠ABC＝60.因為l為過點C的切線，所以∠DCA＝∠ABC＝60.因為AD⊥DC，所以∠DAC＝30.連結OE，在△AOE中，因為∠EAO＝∠DAC＋∠CAB＝60，且OE＝OA，,解答,8.如圖，AB切⊙O于點B，直線AO交⊙O于D，E兩點，BC⊥DE，垂足為C.(1)證明：∠CBD＝∠DBA；,證明因為DE為⊙O的直徑，所以∠BED＋∠EDB＝90，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90，從而∠CBD＝∠BED.又AB切⊙O于點B，所以∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA，,證明,解答,解由(1)知BD平分∠CBA，,故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直徑為3.,考點三不等式的證明,方法技巧證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學歸納法等；依據不等式的結構特征，也可以直接使用柯西不等式進行證明.,又m，n均為正數(shù)，,證明,證明由a，b，c為正數(shù)，根據算術—幾何平均不等式，,當且僅當a＝b＝c＝1時等號成立.,證明,11.已知a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1.,證明,∵a＋b＋c＝1，,證明,證明∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.將以上三個不等式相加，得2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，①即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.②在不等式①的左右兩端同時加上a2＋b2＋c2，得3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，,在不等式②的左右兩端同時加上2(ab＋bc＋ca)，,得(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)，,考點四柯西不等式,方法技巧利用柯西不等式證明不等式或求最值時，要先根據柯西不等式的結構特征對式子變形，使之與柯西不等式有相似的結構.,證明,13.(2017江蘇)已知a，b，c，d為實數(shù)，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，證明：ac＋bd≤8.證明由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，因為a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd)2≤64，因此ac＋bd≤8.,解答,14.(2018鹽城模擬)已知正數(shù)x，y，z滿足x＋2y＋3z＝2，求x2＋y2＋z2的最小值.,解由柯西不等式，可得(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2，因為x＋2y＋3z＝2，,證明,證明因為a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.由柯西不等式知(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，,即5(1－c2)≥(1－c)2，整理得3c2－c－2≤0，,解答,16.(2018蘇州模擬)已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1，若|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2對一切實數(shù)a，b，c成立，求實數(shù)x的取值范圍.,解因為a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1，由柯西不等式得(a－b＋c)2≤(a2＋b2＋c2)(1＋1＋1)＝3，,因為|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2對一切實數(shù)a，b，c恒成立，所以|x－1|＋|x＋1|≥3.,當－1≤x≤1時，2≥3不成立；,,高考押題沖刺練,解答,1.如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O外一點，且AC＝AB，BC交⊙O于點D.已知BC＝4，AD＝6，AC交⊙O于點E，求四邊形ABDE的周長.,解∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴D為BC的中點，∵BC＝4，AD＝6，,∵DE2＝CE2＋CD2－2CECDcosC＝4，∴DE＝2.,解答,2.(2018南京、鹽城模擬)如圖，已知AB為⊙O的直徑，直線DE與⊙O相切于點E，AD垂直DE于點D，若DE＝4，求切點E到直徑AB的距離.,解如圖，過點E作EF⊥AB交AB于點F，連結AE，OE，因為直線DE與⊙O相切于點E，所以DE⊥OE，因為AD⊥DE交DE于點D，所以AD∥OE，所以∠DAE＝∠OEA.①,在⊙O中，OE＝OA，所以∠OEA＝∠OAE.②由①②得∠DAE＝∠OAE，即∠DAE＝∠FAE，又∠ADE＝∠AFE，AE＝AE，所以△ADE≌△AFE，所以DE＝FE，又DE＝4，所以FE＝4，即點E到直徑AB的距離為4.,證明,證明∵x，y，z都是正數(shù)，,將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2，,證明,4.(2108江蘇七市聯(lián)考)已知a，b，c是正實數(shù)，且a＋b＋c＝5，求證：a2＋2b2＋c2≥10.,所以a2＋2b2＋c2≥10，當且僅當a＝2b＝c>0時取等號.,本課結束,