備戰(zhàn)2013高考數(shù)學(xué)（理）6年高考試題精解精析專題4 數(shù)列

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1、 一、選擇題 1.【2012高考真題重慶理1】在等差數(shù)列中，，則的前5項(xiàng)和= A.7 B.15 C.20 D.25 2.【2012高考真題浙江理7】設(shè)是公差為d（d≠0）的無窮等差數(shù)列﹛an﹜的前n項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是 A.若d＜0，則數(shù)列﹛Sn﹜有最大項(xiàng) B.若數(shù)列﹛Sn﹜有最大項(xiàng)，則d＜0 C.若數(shù)列﹛Sn﹜是遞增數(shù)列，則對(duì)任意，均有 D. 若對(duì)任意，均有，則數(shù)列﹛Sn﹜是遞增數(shù)列 【答案】C 【解析】選項(xiàng)C顯然是錯(cuò)的，舉出反例：—1，0，1，2，3，…．滿足數(shù)列{S n}是遞增數(shù)列，但是S n＞

2、0不成立．故選C。 3.【2012高考真題新課標(biāo)理5】已知為等比數(shù)列，，，則（ ） 4.【2012高考真題上海理18】設(shè)，，在 中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ） A．25 B．50 C．75 D．100 5.【2012高考真題遼寧理6】在等差數(shù)列{an}中，已知a4+a8=16，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11= (A)58 (B)88 (C)143

3、 (D)176 【答案】B 【解析】在等差數(shù)列中，，答案為B 6.【2012高考真題四川理12】設(shè)函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，，則（ ） A、 B、 C、 D、 7.【2012高考真題湖北理7】定義在上的函數(shù)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列， 仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”. 現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)： ①； ②； ③； ④. 則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號(hào)為 A． ① ② B．③ ④ C．① ③

4、 D．② ④ 【答案】C 8.【2012高考真題福建理2】等差數(shù)列{an}中，a1+a5=10,a4=7,則數(shù)列{an}的公差為 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B. 【解析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)知，又.故選B. 9.【2012高考真題安徽理4】公比為等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且，則=（ ） 【答案】B 【解析】． 10.【2012高考真題全國卷理5】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a5=5，S5=15，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為 (A) (B)

5、 (C) (D) 二、填空題 11.【2012高考真題浙江理13】設(shè)公比為q（q＞0）的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，則q=______________。 【答案】 12.【2012高考真題四川理16】記為不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，，，。設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列滿足，，現(xiàn)有下列命題： ①當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前3項(xiàng)依次為5,3,2； ②對(duì)數(shù)列都存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)總有； ③當(dāng)時(shí)，； ④對(duì)某個(gè)正整數(shù)，若，則。 其中的真命題有____________。（寫出所有真命題的編號(hào)） 13.【2012高考真題新課標(biāo)理16】數(shù)列滿足，則的前

6、項(xiàng)和為 【答案】1830 【解析】由得， ， 即，也有，兩式相加得 ，設(shè)為整數(shù)， 則， 于是 14.【2012高考真題遼寧理14】已知等比數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列，且，則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an =______________。 15.【2012高考真題江西理12】設(shè)數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列，若，，則__________。 【答案】35 【解析】設(shè)數(shù)列的公差分別為，則由，得，即，所以， 所以。 16.【2012高考真題北京理10】已知等差數(shù)列為其前n項(xiàng)和。若，，則=_______。 17.【2012高考真題廣東理11】已知遞增的等

7、差數(shù)列{an}滿足a1=1，，則an=____． 【答案】 【解析】由得到，即，應(yīng)為{an}是遞增的等差數(shù)列，所以，故。 18.【2012高考真題重慶理12】 . 19.【2012高考真題上海理6】有一列正方體，棱長組成以1為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，體積分別記為，則 。 【答案】。 【解析】由題意可知，該列正方體的體積構(gòu)成以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列， ∴++…+==，∴。 20.【2012高考真題福建理14】數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和為Sn，則S2012=___________. 三、解答題

8、 21【2012高考江蘇20】（16分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列和滿足：，， （1）設(shè)，，求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （2）設(shè)，，且是等比數(shù)列，求和的值． 又∵，∴是公比是的等比數(shù)列。 若，則，于是。 又由即，得。 ∴中至少有兩項(xiàng)相同，與矛盾?！?。 ∴。 ∴ 。 22.【2012高考真題湖北理18】（本小題滿分12分） 已知等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為，前三項(xiàng)的積為. （Ⅰ

9、）求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和. （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，分別為，，，不成等比數(shù)列； 當(dāng)時(shí)，，，分別為，，，成等比數(shù)列，滿足條件. 故 23.【2012高考真題廣東理19】（本小題滿分14分） 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列． （1） 求a1的值； （2） 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． （3） 證明：對(duì)一切正整數(shù)n，

10、有. 【答案】本題考查由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，不等式證明問題，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力與推理論證能力，難度一般. 25.【2012高考真題四川理20】(本小題滿分12分) 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)一切正整數(shù)都成立。 （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)為何值時(shí)，最大？并求出的最大值。 【答案】本題主要考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的概念和前n項(xiàng)和公式，以及對(duì)數(shù)運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯推理能力，基本運(yùn)算能力，以及方程與函數(shù)、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想 26.【2012高考真題四川理22】(本小題滿分14分) 已知為正實(shí)數(shù)，為自然數(shù)，拋

11、物線與軸正半軸相交于點(diǎn)，設(shè)為該拋物線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距。 （Ⅰ）用和表示； （Ⅱ）求對(duì)所有都有成立的的最小值； （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并說明理由。 【答案】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力、邏輯推理能力、分析問題與解決問題的能力和創(chuàng)新意識(shí)，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化由特殊到一般等數(shù)學(xué)思想 27.【2012高考真題廣東理19】（本小題滿分14分） 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列． （4） 求a1的值； （5） 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

12、 （6） 證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有. 【答案】本題考查由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，不等式證明問題，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力與推理論證能力，難度一般. 29.【2012高考真題重慶理21】（本小題滿分12分，（I）小問5分，（II）小問7分.） 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，其中. （I）求證：是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列； （II）若，求證：，并給出等號(hào)成立的充要條件. 【答案】 30.【2012高考真題江西理17】（本小題滿分12分） 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，,且Sn的最大值為8. （1）確定常數(shù)k，求an； （

13、2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn。 【答案】 31.【2012高考真題安徽理21】（本小題滿分13分） 數(shù)列滿足： （I）證明：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是； （II）求的取值范圍，使數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列。 （II）由（I）得：， ①當(dāng)時(shí)，，不合題意； ②當(dāng)時(shí)，， ， 。 當(dāng)時(shí)，與同號(hào)， 由， 。 當(dāng)時(shí)，存在，使與異號(hào)，與數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列矛盾， 得：當(dāng)時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列。 32.【2012高考真題天津理18】（本小題滿分13分） 已知是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，是等比數(shù)列，且， . （Ⅰ）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）記，，證

14、明（）. 【答案】 33.【2012高考真題湖南理19】（本小題滿分12分） 已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，…… （1） 若a1=1，a2=5，且對(duì)任意n∈N﹡，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，求數(shù)列{ an }的通項(xiàng)公式. （2） 證明：數(shù)列{ an }是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列. （Ⅱ）（１）必要性：若數(shù)列是公比為ｑ的等比數(shù)列，則對(duì)任意，有

15、 由知，均大于０，于是 　　　　 　　　　 即＝＝，所以三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列. （２）充分性：若對(duì)于任意，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列， 則 　　　， 【解析】 【2011年高考試題】 1. (2011年高考四川卷理科8)數(shù)列的首項(xiàng)為， 為等差數(shù)列且 .若則，，則( ) （A）0 （B）3 （C）8 （D）11 2.(2011年高考全國卷理科4)設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，公差，，則 （A）8 （B）7 （C）6 （D）5 【答案】D 【解析】 故選D。

16、 3. (2011年高考廣東卷理科11)等差數(shù)列前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和.若，則 . 【答案】10 【解析】由題得 5. (2011年高考湖北卷理科13)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自下而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為 升 5.(2011年高考陜西卷理科14)植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個(gè)最小值為 （米）。 【答案】

17、2000 【解析】設(shè)樹苗集中放置在第號(hào)坑旁邊，則20名同學(xué)返所走的路程總和為 =即時(shí). 6.(2011年高考重慶卷理科11)在等差數(shù)列中，，則 解析：74. ，故 7.(2011年高考江蘇卷13)設(shè)，其中成公比為q的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是________ 8．(2011年高考北京卷理科11)在等比數(shù)列{an}中，a1=，a4=-4，則公比q=______________；____________。 【答案】—2 9. (2011年高考山東卷理科20)（本小題滿分12分） 等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行

18、中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 所以 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， 綜上所述， 10.(2011年高考遼寧卷理科17)（本小題滿分12分） 已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0，a6+a8= -10 （I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （II）求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 11.(2011年高考浙江卷理科19)（本題滿分14分）已知公差不為

19、0的等差數(shù)列的首項(xiàng) (),設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列（Ⅰ）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式及（Ⅱ）記，，當(dāng)時(shí)，試比較與的大小. 12.(2011年高考安徽卷理科18)（本小題滿分13分） 在數(shù)1和100之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個(gè)數(shù)的乘積記作，再令. （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【命題意圖】：本題考查等比和等差數(shù)列，指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算，兩角差的正切公式等基本知識(shí)，考查靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，綜合運(yùn)算能力和創(chuàng)新思維能力。 【解析】：（Ⅰ）構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，其中，，則 ①

20、 ② ①②并利用等比數(shù)列性質(zhì)得 ， 13. (2011年高考天津卷理科20)（本小題滿分14分） 已知數(shù)列與滿足：， ，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）設(shè)，證明：是等比數(shù)列； （Ⅲ）設(shè)證明：． 【解析】本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析能力和解決問題的能力及分類討論的思想方法. （III）證明：由（II）可得， 于是，對(duì)任意，有 將以上各式相加，得 即， 此式當(dāng)k=1時(shí)也成立.由④式得 從而 14. (2011年高考江西卷理科18)（本小

21、題滿分12分） 已知兩個(gè)等比數(shù)列，，滿足，，，. （1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列唯一，求的值. 15. (2011年高考湖南卷理科16)對(duì)于，將表示為，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，為或.記為上述表示中為的個(gè)數(shù)（例如：， ，故，），則（1） ；（2） . （2）通過例舉可知：，，，，，，， ，且相鄰之間的整數(shù)的個(gè)數(shù)有0，1，3，7，15，31，63.它們正好滿足“楊輝三角”中的規(guī)律： 從而 . 評(píng)析：本小題主要考查學(xué)生的閱讀理解能力、探究問題能力和創(chuàng)新意識(shí).以二進(jìn)制為知識(shí)背景，著重考查等比數(shù)列求和以及“楊輝三角”中的規(guī)律的理解和運(yùn)

22、用. 16. (2011年高考廣東卷理科20)設(shè)數(shù)列滿足, (1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2) 證明：對(duì)于一切正整數(shù)n, （2）當(dāng)時(shí)，（欲證） 17. (2011年高考湖北卷理科19)（本小題滿分13分） 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足： (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (Ⅱ)若存在，使得成等差數(shù)列，試判斷：對(duì)于任意的，且， 是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論. 本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力，以及特殊與一般的思想. 解析： （Ⅱ）對(duì)于任意的，且成等差數(shù)列，證明如下： 當(dāng)r=0時(shí)，由（Ⅰ）知， 18.(2011年高考重慶

23、卷理科21)（本小題滿分12分。（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問7分） 設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足 （Ⅰ）若成等比數(shù)列，求和 （Ⅱ）求證：對(duì)有。 （Ⅱ）證明：有題設(shè)條件有， 故，且 從而對(duì)有 ① 因，且， 要證，由①，只要證 即證，即，此式明顯成立， 因此。 最后證，，若不然，， 又因，故，即。矛盾， 19．(2011年高考四川卷理科20) (本小題共12分) 設(shè)d為非零實(shí)數(shù)，an = [C1n d+2Cn2d2+…+(n—1)Cnn-1d n-1+nCnndn](n∈N*). (I) 寫出a1,a2,a3并判斷{

24、an}是否為等比數(shù)列.若是，給出證明；若不是，說明理由； (II)設(shè)bn=ndan (n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn． 解析：（1） 20.(2011年高考全國卷理科20)設(shè)數(shù)列滿足且 （Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè) 21.(2011年高考江蘇卷20)設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，已知對(duì)任意整數(shù)k屬于M，當(dāng)n>k時(shí)，都成立 （1）設(shè)M=｛1｝，，求的值； （2）設(shè)M=｛3，4｝，求數(shù)列的通項(xiàng)公式 （2）由題意：， 當(dāng)時(shí)，由（1）（2）得： 由（3）（4）得： 由（1）（3）得： 由（2）（4）得： 由（7）（8）知：

25、成等差，成等差；設(shè)公差分別為： 由（5）（6）得： 由（9）（10）得：成等差，設(shè)公差為d, 在（1）（2）中分別取n=4,n=5得： 22．(2011年高考江蘇卷23)（本小題滿分10分） 設(shè)整數(shù)，是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，其中 （1）記為滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求； （2）記為滿足是整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求 23．(2011年高考北京卷理科20)（本小題共13分） 若數(shù)列滿足，數(shù)列為數(shù)列，記=． （Ⅰ）寫出一個(gè)滿足，且〉0的數(shù)列； （Ⅱ）若，n=2000，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2011； （Ⅲ）對(duì)任意給定的整數(shù)n（n≥

26、2），是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列，使得=0？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列；如果不存在，說明理由。 解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。 （答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個(gè)滿足條件的E的數(shù)列A5） （Ⅱ）必要性：因?yàn)镋數(shù)列A5是遞增數(shù)列， 所以. 因?yàn)? 所以為偶數(shù), 所以要使為偶數(shù), 即4整除. 24．(2011年高考福建卷理科16)（本小題滿分13分） 已知等比數(shù)列{an}的公比q=3，前3項(xiàng)和S3=。 （I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （II）若函數(shù)在處取得最大值，且最大值為a3，求函數(shù)f（x）的解析式。 2

27、5．(2011年高考上海卷理科22)（18分）已知數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，（），將集合 中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列 。 （1）求； （2）求證：在數(shù)列中．但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為； （3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 【2010年高考試題】 （2010浙江理數(shù)）（3）設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，則 （A）11 （B）5 （C） （D） 解析：解析：通過，設(shè)公比為，將該式轉(zhuǎn)化為，解得=-2，帶入所求式可知答案選D，本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，屬中檔題 （2010全國卷2理數(shù)）（4）.如果等差數(shù)列中，，那么 （A）14

28、 （B）21 （C）28 （D）35 （2010遼寧理數(shù)）（6）設(shè){an}是有正數(shù)組成的等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和。已知a2a4=1, ,則 （A） (B) (C) (D) 【答案】B 【命題立意】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查了同學(xué)們解決問題的能力。 【解析】由a2a4=1可得，因此，又因?yàn)?，?lián)力兩式有，所以q=,所以，故選B。 （2010江西理數(shù)）5.等比數(shù)列中，，=4，函數(shù)，則（ ） A． B. C. D. （2010江西理數(shù)）4. （

29、） A. B. C. 2 D. 不存在 【答案】B 【解析】考查等比數(shù)列求和與極限知識(shí).解法一：先求和，然后對(duì)和取極限。 （2010重慶理數(shù)）（1）在等比數(shù)列中， ，則公比q的值為 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 解析： （2010四川理數(shù)）（8）已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)的和為，且，則 （A）0 （B） （C） 1 （D）2 （2010天津理數(shù)）（6）已知是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，且，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為 （A）或5 （B）或5

30、（C） （D） 【答案】C 【解析】本題主要考查等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中等題。 顯然q1，所以，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列， 前5項(xiàng)和 . 【溫馨提示】在進(jìn)行等比數(shù)列運(yùn)算時(shí)要注意約分，降低冪的次數(shù)，同時(shí)也要注意基本量法的應(yīng)用。 （2010廣東理數(shù)）4. 已知為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和。若， 且與2的等差中項(xiàng)為，則= A．35 B.33 C.31 D.29 1.（2010安徽理數(shù)）10、設(shè)是任意等比數(shù)列，它的前項(xiàng)和，前項(xiàng)和與前項(xiàng)和分別為，則下列等式中恒成立的是 A、

31、 B、 C、 D、 （2010湖北理數(shù)）7、如圖，在半徑為r 的園內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，再作正六邊形的內(nèi)切圓，又在此內(nèi)切圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，如此無限繼續(xù)下去，設(shè)為前n個(gè)圓的面積之和，則= A． 2 B. C.4 D.6 （2010福建理數(shù)）3．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,則當(dāng)取最小值時(shí),n等于 A．6 B．7 C．8 D．9 （2010遼寧理數(shù)）（16）已知數(shù)列滿足則的最小值為__________. 【答案】 【命題立意】本題考

32、查了遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解以及構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，考查了同學(xué)們綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。 【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n 所以 設(shè)，令，則在上是單調(diào)遞增，在上是遞減的，因?yàn)閚∈N+,所以當(dāng)n=5或6時(shí)有最小值。 又因?yàn)?，，所以，的最小值? （2010福建理數(shù)）11．在等比數(shù)列中,若公比,且前3項(xiàng)之和等于21,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式 ． 3. （2010江蘇卷）8、函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak

33、+1,k為正整數(shù)，a1=16，則a1+a3+a5=____▲_____ [解析]考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項(xiàng)。 在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線方程為：當(dāng)時(shí)，解得， 所以。 （2010江西理數(shù)）22. （本小題滿分14分） 證明以下命題： （1） 對(duì)任一正整a,都存在整數(shù)b,c(b

34、 （Ⅰ）證明：，且; （Ⅱ）證明：三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù) (Ⅲ) 設(shè)P，P中有m(m≥2)個(gè)元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為(P). 證明：（P）≤. 由題意知，，. 當(dāng)時(shí)，; 當(dāng)時(shí)， 所以 從而 （2010四川理數(shù)）（21）（本小題滿分12分） 已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，a2＝2，且對(duì)任意m、n∈N*都有 a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2 （Ⅰ）求a3，a5； （Ⅱ）設(shè)bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，證明：{bn}是等差數(shù)列； （Ⅲ）設(shè)cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，

35、n∈N*)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn. 本小題主要考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)和化歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力. 綜上所述，Sn＝…………………………12分 （2010天津理數(shù)）（22）（本小題滿分14分） 在數(shù)列中，，且對(duì)任意.，，成等差數(shù)列，其公差為。 （Ⅰ）若=，證明，，成等比數(shù)列（） （Ⅱ）若對(duì)任意，，，成等比數(shù)列，其公比為。 以下分兩種情況進(jìn)行討論： (2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m+1（） 所以從而 綜合（1）（2）可知，對(duì)任意,,有 （2010全國卷1理數(shù)）（22）(本小題滿分12分)（

36、注意：在試題卷上作答無效） 已知數(shù)列中， . （Ⅰ）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）求使不等式成立的的取值范圍 . （2010山東理數(shù)）（18）（本小題滿分12分） 已知等差數(shù)列滿足：，，的前n項(xiàng)和為． （Ⅰ）求及； （Ⅱ）令bn=(nN*)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，，所以? ，解得， 所以；==。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===， （2010湖南理數(shù)）21．（本小題滿分13分） 數(shù)列中，是函數(shù)的極小值點(diǎn) （Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求通項(xiàng)； （Ⅱ）是否存在a，使數(shù)列是等比數(shù)列？若存在，求a的取值范圍；若不存在

37、，請(qǐng)說明理由。 （2010湖北理數(shù)） （Ⅲ） 2. （2010安徽理數(shù)）20、（本小題滿分12分） 設(shè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都不為0。 證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任何，都有 。 （2010江蘇卷）19、（本小題滿分16分） 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用表示）； （2）設(shè)為實(shí)數(shù)，對(duì)滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為。 [解析] 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和以及基本不等式等有關(guān)知識(shí)，考查探索、

38、分析及論證的能力。滿分16分。 （1）由題意知：， ， 化簡(jiǎn)，得： ， 當(dāng)時(shí)，，適合情形。 故所求 【2009年高考試題】 8．(2009福建理3)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且 =6，=4， 則公差d等于 A．1 B C 2 D 3 答案：C 解析：∵且.故選C 9．(2009廣東理４)已知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時(shí)， Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 10．(2009海南理7)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且4，2，成等差數(shù)列。若=1，則= A

39、．7 B．8 C．15 D．16 答案：C 解析：4，2，成等差數(shù)列， ,選C. 11．(2009遼寧理6)設(shè)等比數(shù)列{ }的前n 項(xiàng)和為 ，若 =3 ，則 = A． 2 B． C． D．3 答案： B 解析：，，。 3．(2009遼寧理14)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且則 4．(2009福建理15)五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：①第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為1，第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和；②若報(bào)出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報(bào)該

40、數(shù)的同學(xué)需拍手一次已知甲同學(xué)第一個(gè)報(bào)數(shù)，當(dāng)五位同學(xué)依序循環(huán)報(bào)到第100個(gè)數(shù)時(shí)，甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為________. 答案：5 解析：由題意可設(shè)第次報(bào)數(shù)，第次報(bào)數(shù)，第次報(bào)數(shù)分別為，，，所以有，又由此可得在報(bào)到第100個(gè)數(shù)時(shí)，甲同學(xué)拍手5次。 5．(2009浙江理11)設(shè)等比數(shù)列的公比，前n項(xiàng)和為，則___________. W 6．(2009浙江理15)觀察下列等式： , , , , …… 由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論： 對(duì)于n∈,_________. w.w. 8．(2009山東理20)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知對(duì)任意的，點(diǎn)均在函數(shù)

41、的圖象上。 (Ⅰ)求r的值。 (Ⅱ)當(dāng)b=2時(shí)，記 證明：對(duì)任意的 ，不等式成立 解：:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,又因?yàn)閧}為等比數(shù)列,所以,公比為, 所以當(dāng)時(shí),不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立. 【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知求的基本題型,并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式. 9．(2009廣東理21)已知曲線．從點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為． (１)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (２)證明： 解：(1

42、)設(shè)直線：，聯(lián)立得，則，∴(舍去) ，即，∴ 10．(2009江蘇17)設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足 (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和； (2)試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng). [解析] 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和的有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算和求解的能力。滿分14分。 11．(2009安徽理21) 首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{}滿足. (Ⅰ)證明：若 為奇數(shù)，則對(duì)一切 ， 都是奇數(shù)； (Ⅱ)若對(duì)一切，都有，求的取值范圍。 解：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)知識(shí)，考查推理論證、抽象概括、運(yùn)算求解和探究能力，考查學(xué)生是否具有審慎思維的習(xí)慣和一定的數(shù)學(xué)

43、視野。本小題滿分13分。 解：(I)已知是奇數(shù)，假設(shè)是奇數(shù)，其中為正整數(shù)， 則由遞推關(guān)系得是奇數(shù)。 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)任何，都是奇數(shù)。 12．(2009天津理22)已知等差數(shù)列{}的公差為d(d0)，等比數(shù)列{}的公比為q(q>1)。設(shè)=+…..+ ,=-+…..+(-1 ,n (1)若== 1，d=2，q=3，求 的值； (2)若=1，證明(1-q)-(1+q)=，n； (3) 若正數(shù)n滿足2nq，設(shè)的兩個(gè)不同的排列， ， 證明。 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力，推理論證能力及綜合

44、分析和解決問題的能力的能力，滿分14分。 (Ⅰ)解：由題設(shè)，可得 所以， 當(dāng)時(shí)，得 即，…， 【2008年高考試題】 4.(2008廣東卷理2)記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則( ) A．16 B．24 C．36 D．48 答案：D 解析：，，故 7.(2008廣東理2)記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則( ) A．16 B．24 C．36 D．48 1.(2008江蘇10)將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ． ． ．

45、 ． ． ． ． 按照以上排列的規(guī)律，第n 行(n ≥3)從左向右的第3 個(gè)數(shù)為 ． 答案： 解析：前行共用了 個(gè)數(shù)，因此第行從左向右的第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中的第個(gè)，即為． 3.(2008海南寧夏卷理17)已知數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，且，。 (1)求的通項(xiàng)； (2)求前n項(xiàng)和的最大值。 4.(2008山東理19文20)將數(shù)列｛an｝中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 …… 記表中的第一列數(shù)a1，a2，a4，a7，…構(gòu)成的數(shù)列為｛bn｝,b1=a1=

46、1. Sn為數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，且滿足＝1=(n≥2). (Ⅰ)證明數(shù)列｛｝成等差數(shù)列，并求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式； (Ⅱ)上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個(gè)正數(shù).當(dāng)時(shí)，求上表中第k(k≥3)行所有項(xiàng)和的和. ， 5.(2008江蘇卷19).(Ⅰ)設(shè)是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列()，且公差 ，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列(按原來的順序)是等比數(shù)列： ①當(dāng)n =4時(shí)，求的數(shù)值；②求的所有可能值； (Ⅱ)求證：對(duì)于一個(gè)給定的正整數(shù)n(n≥4)，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差都不為零的等差數(shù)列，其中任意三項(xiàng)(按原來順序)都不能組成等比數(shù)列．

47、 ②當(dāng)n＝5 時(shí)， 中同樣不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)． 若刪去，則有＝，即．故得=6 ； 若刪去，則＝，即． 化簡(jiǎn)得3＝0，因?yàn)閐≠0，所以也不能刪去； 6.(2008廣東卷21)設(shè)為實(shí)數(shù)，是方程的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列滿足，，(…)．(1)證明：，；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (3)若，，求的前項(xiàng)和． ①當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程組的解記為 即、分別是公比為、的等比數(shù)列， 由等比數(shù)列性質(zhì)可得,, ②當(dāng)時(shí)，即方程有重根，， 即，得，不妨設(shè)，由①可知 ，， 即，等式兩邊同時(shí)除以，得，即 數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，, 綜上所述， 【2007年高考試題】 1．(2007

48、寧夏、海南理4)已知是等差數(shù)列，，其前10項(xiàng)和， 則其公差(　　) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：D 解析： 選D 2．(2007寧夏、海南理7)已知，，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的最小值是(　　) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 3．(2007廣東理5) 已知數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，第k項(xiàng)滿足５＜＜８，則= A．9 B．8 C．7 D．6 答案：B 解析：a1=S1= -8，而當(dāng)n≥2時(shí)，由an=Sn-Sn-1求得an=2n-10，此式對(duì)于n=1也成立。 要滿足5