初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第25講輔助圓

第二十五講 輔助圓 在處理平面幾何中的許多問題時，常需要借助于圓的性質(zhì)，問題才得以解決而我們需要的圓并不存在(有時題設(shè)中沒有涉及圓；有時雖然題設(shè)涉及圓，但是此圓并不是我們需要用的圓)，這就需要我們利用已知條件，借助圖形把需要的實際存在的圓找出來，添補輔助圓的常見方法有： 1利用圓的定義添補輔助圓； 2作三角形的外接圓； 3運用四點共圓的判定方法： (1)若一個四邊形的一組對角互補，則它的四個頂點共圓 (2)同底同側(cè)張等角的三角形，各頂點共圓 (3)若四邊形ABCD的對角線相交于P，且PAPC=PBPD，則它的四個頂點共圓 (4)若四邊形ABCD的一組對邊AB、DC的延長線相交于P，且PAPBPCPD，則它的四個頂點共圓【例題求解】【例1】如圖，直線AB和AC與O分別相切于B、C，P為圓上一點，P到AB、AC的距離分別為4cm、6cm，那么P到BC的距離為 思路點撥 連DF，EF，尋找PD、PE、PF之間的關(guān)系，證明PDFPFE，而發(fā)現(xiàn)P、D、B、F與P、E、C、F分別共圓，突破角是解題的關(guān)鍵注：圓具有豐富的性質(zhì)：(1)圓的對稱性；(2)等圓或同圓中不同名稱量的轉(zhuǎn)化； (3)與圓相關(guān)的角；(4)圓中比例線段適當(dāng)發(fā)現(xiàn)并添出輔助圓，就為圓的豐富性質(zhì)的運用創(chuàng)造了條件，由于圖形的復(fù)雜性，有時在圖中并不需畫出圓，可謂“圖中無圓，心中有圓” 【例2】 如圖，若PA=PB，APB=2ACB，AC與PB交于點P，且PB=4，PD=3，則ADDC等于( ) A6 B7 C12 D16 思路點撥 作出以P點為圓心、PA長為半徑的圓，為相交弦定理的應(yīng)用創(chuàng)設(shè)了條件1 / 5注：到一個定點等距離的幾個點在同一個圓上，這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法【例3】 如圖，在ABC中，AB=AC，任意延長CA到P，再延長AB到Q，使AP=BQ，求證：ABC的外心O與A，P，Q四點共圓 思路點撥 先作出ABC的外心O，連PO、OQ，將問題轉(zhuǎn)化為證明角相等【例4】 如圖，P是O外一點，PA切O于A，PBC是O的割線，ADPO于D求證： 思路點撥 因所證比例線段不是對應(yīng)邊，故不能通過判定PBD與PCD相似證明PA2=PDPO=PBPC，B、C、O、D共圓，這樣連OB，就得多對相似三角形，以此達到證明的目的注：四點共圓既是一類問題，又是平面幾何中一個重要的證明方法，它和證明三角形全等和相似三角形有著同等重要的地位，這是因為，某四點共圓，不但與這四點相聯(lián)系的條件集中或轉(zhuǎn)移，而且可直接運用圓的性質(zhì)為解題服務(wù)【例5】如圖，在ABC中，高BE、CF相交于H，且BHC=135，G為ABC內(nèi)的一點，且GB=GC，BGC3A，連結(jié)HG，求證：HG平分BHF 思路點撥 經(jīng)計算可得A=45，ABE，BFH皆為等腰直角三角形，只需證GHB=GHF=22.5 由BGC=3A=135=GHC，得B、G、H、C四點共圓，運用圓中角轉(zhuǎn)化靈活的特點證明注：許多直線形問題借助輔助圓，常能降低問題的難度，使問題獲得簡解、巧解或新解學(xué)力訓(xùn)練1如圖，正方形ABCD的中心為O，面積為1989cm2，P為正方形內(nèi)一點，且OPB=45，PA：PB=5：14，則PB的長為 2如圖，在ABC中，AB=AC=2，BC邊上有100個不同的點Pl、P2，P100，記（i=1，2，100），則= 3設(shè)ABC三邊上的高分別為AD、BE、CF，且其垂心H不與任一頂點重合，則由點A、B、C、D、E、F、H中某四點可以確定的圓共有( ) A3個 B4個 C5個 D6個 4如圖，已知OA=OB=OC，且AOB=BOC，則ACB是BAC的( ) A倍 B是倍 C D 5如圖，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AB=998，CD=1001，AD=1999，點P在線段AD上，滿足條件的BPC=90的點P的個數(shù)為( ) A0 B1 C2 1 D不小于3的整數(shù) 6如圖，AD、BE是銳角三角形的兩條高，SABC= 18，SDEC=2，則COSC等于( ) A3 B C D7如圖；已知H是ABC三條高的交點，連結(jié)DF，DE，EF，求證：H是DEF的內(nèi)心8如圖，已知ABC中，AH是高，AT是角平分線，且TDAB，TEAC求證：(1)AHD=AHE；(2) 9如圖，已知在凸四邊形ABCDE中，BAE=3，BC=CD=DE，且BCD=CDE=求證：BAC=CAD=DAK， 10如圖，P是O外一點，PA和PB是O的切線，A，B為切點，P O與AB交于點M，過M任作O的弦CD求證：CPO=DPO11如圖，已知點P是O外一點，PS、PT是O的兩條切線，過點P作O的割線PAB，交O A、B兩點，與ST交于點C求證： 參考答案 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！