2018-2019學年九年級數(shù)學上冊 單元測試（二）二次函數(shù) （新版）新人教版.doc

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單元測試(二)　二次函數(shù) (滿分：120分　考試時間：120分鐘) 一、選擇題(本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求) 1.下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是(B) A．xy＋x2＝1 B．x2－y＋2＝0 C．y＝ D．y2－4x＝3 2．將二次函數(shù)y＝x2－2x＋3化為y＝(x－h(huán))2＋k的形式，結果為(C) A．y＝(x＋1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋4 C．y＝(x－1)2＋2 D．y＝(x－1)2＋4 3．下列關于二次函數(shù)y＝－x2圖象的說法：①圖象是一條拋物線；②開口向下；③對稱軸是y軸；④頂點坐標為(0，0)．其中正確的有(D) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 4．將拋物線y＝2(x－4)2－1先向左平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度，平移后所得拋物線的解析式為(A) A．y＝2x2＋1 B．y＝2x2－3 C．y＝2(x－8)2＋1 D．y＝2(x－8)2－3 5．二次函數(shù)圖象上部分點的坐標對應值列表如下： x … －3 －2 －1 0 1 … y … －3 －2 －3 －6 －11 … 則該函數(shù)圖象的對稱軸是(B) A．直線x＝－3 B．直線x＝－2 C．直線x＝－1 D．直線x＝0 6．在求解一元二次方程x2－2x－2＝0的兩個根x1和x2時，某同學使用電腦軟件繪制了二次函數(shù)y＝x2－2x－2的圖象，然后通過觀察拋物線與x軸的交點，得出結果．該同學采用的方法體現(xiàn)的數(shù)學思想是(C) A．類比思想 B．函數(shù)思想 C．數(shù)形結合思想 D．公理化思想 7．當ab＞0時，函數(shù)y＝ax2與y＝ax＋b的圖象大致是(D) 8．向空中發(fā)射一枚炮彈，經x秒后的高度為y米，且時間與高度的關系為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮彈在第7秒與第14秒時的高度相等，則在下列時間中炮彈所在高度最高的是(B) A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒 9．在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致圖象如圖所示，則下列結論正確的是(D) A．a<0，b<0，c>0 B．－＝1 C．a＋b＋c<0 D．關于x的方程ax2＋bx＋c＝－1有兩個不相等的實數(shù)根 10．如圖，垂直于x軸的直線AB分別與拋物線C1：y＝x2(x≥0)和拋物線C2：y＝(x≥0)交于A，B兩點，過點A作CD∥x軸分別與y軸和拋物線C2交于點C，D，過點B作EF∥x軸分別與y軸和拋物線C1交于點E，F(xiàn)，則的值為(A) A. B. C. D. 二、填空題(本大題共5個小題，每小題3分，共15分) 11．如果點A(－2，y1)和點B(2，y2)是拋物線y＝(x＋3)2上的兩點，那么y1＜y2.(填“＞”“＝”或“＜”) 12．已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，當x＝3時，函數(shù)取最大值4，當x＝0時，y＝－14，則函數(shù)解析式為y＝－2(x－3)2＋4． 13．二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋3的圖象與x軸交于A，B兩點，P為它的頂點，則S△PAB＝8． 14．某農場擬建兩間矩形飼養(yǎng)室，一面靠現(xiàn)有墻(墻足夠長)，中間用一道墻隔開，并在如圖所示的三處各留1 m寬的門，已知計劃中的材料可建墻體總長為27 m，則能建成的飼養(yǎng)室總占地面積最大為75m2. 15．已知二次函數(shù)y＝(x－2a)2＋(a－1)(a為常數(shù))，當a取不同的值時，其圖象構成一個“拋物線系”．如圖分別是當a＝－1，a＝0，a＝1，a＝2時二次函數(shù)的圖象．它們的頂點在一條直線上，這條直線的解析式是y＝x－1． 三、解答題(本大題共8個小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 16．(本題共2個小題，每小題5分，共10分) (1)畫出函數(shù)y＝－x2＋1的圖象； 解：列表如下： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … －8 －3 0 1 0 －3 －8 … 描點、連線如圖． (2)已知拋物線y＝－x2－3x－，求其開口方向、對稱軸和頂點坐標． 解：y＝－x2－3x－＝－(x2＋6x＋9－9)－＝－(x＋3)2＋－＝－(x＋3)2＋2. 所以，拋物線開口向下，對稱軸是直線x＝－3，頂點坐標為(－3，2)． 17．(本題7分)已知二次函數(shù)的圖象經過點(0，3)，(－3，0)，(2，－5)． (1)試確定此二次函數(shù)的解析式； (2)請你判斷點P(－2，3)是否在這個二次函數(shù)的圖象上？ 解：(1)∵圖象過y軸上的點(0，3)，故設此二次函數(shù)的解析式為y＝ax2＋bx＋3， 將(－3，0)，(2，－5)代入y＝ax2＋bx＋3，得 解得 ∴此二次函數(shù)的解析式是y＝－x2－2x＋3. (2)當x＝－2時，y＝－(－2)2－2(－2)＋3＝3， ∴點P(－2，3)在此二次函數(shù)的圖象上． 18．(本題8分)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題： (1)方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根為x1＝1，x2＝3； (2)不等式ax2＋bx＋c>0的解集為12； (4)若方程ax2＋bx＋c＝k有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍為k<2． 19．(本題8分)如圖，一次函數(shù)y1＝kx＋b與二次函數(shù)y2＝ax2的圖象交于A，B兩點． (1)利用圖中條件，求兩個函數(shù)的解析式； (2)根據(jù)圖象寫出使y1>y2的x的取值范圍． 解：(1)由圖象可知：B(2，4)在二次函數(shù)y2＝ax2圖象上， ∴4＝a22.∴a＝1.則y2＝x2. 又∵A(－1，n)在二次函數(shù)y2＝x2圖象上， ∴n＝(－1)2.∴n＝1.則A(－1，1)． 又∵A，B兩點在一次函數(shù)y1＝kx＋b圖象上， ∴解得則y1＝x＋2. ∴一次函數(shù)解析式為y1＝x＋2，二次函數(shù)解析式為y2＝x2. (2)根據(jù)圖象可知：當－1y2. 20．(本題8分)如圖，已知拋物線y＝a(x－1)2－3(a≠0)的圖象與y軸交于點A(0，－2)，頂點為B. (1)試確定a的值，并寫出B點的坐標； (2)試在x軸上求一點P，使得△PAB的周長取最小值． 解：(1)將A(0，－2)代入y＝a(x－1)2－3， ∴－2＝a－3，∴a＝1. ∴拋物線的解析式為y＝(x－1)2－3. ∴頂點B(1，－3)． (2)設點A關于x軸對稱的點為C， ∴C(0，2) 設直線CB的解析式為y＝mx＋n，直線CB與x軸交于點P，此時△PAB的周長取最小值， 把C(0，2)和B(1，－3)代入y＝mx＋n， ∴解得 ∴直線CB的解析式為y＝－5x＋2. 令y＝0，代入y＝－5x＋2，∴x＝. ∴點P的坐標為(，0)． 21．(本題10分)在一次籃球比賽中，如圖，隊員甲正在投籃．已知球出手時離地面 m，與籃圈中心的水平距離為7 m，球出手后水平距離為4 m時達到最大高度4 m，設籃球運行軌跡為拋物線，籃圈距地面3 m. (1)建立如圖所示的平面直角坐標系，問此球能否準確投中？ (2)此時，對方隊員乙在甲面前1 m處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為3.1 m，那么他能否獲得成功？ 解：(1)由題意知，拋物線的頂點為(4，4)，經過點(0，)． 設拋物線解析式為y＝a(x－4)2＋4，代入(0，)，解得a＝－， ∴y＝－(x－4)2＋4. 當x＝7時，y＝－(7－4)2＋4＝3，∴一定能準確投中． (2)當x＝1時，y＝－(1－4)2＋4＝3＜3.1，∴隊員乙能夠成功攔截． 22．(本題12分)九(1)班數(shù)學興趣小組經過市場調查，整理出某種商品在第x(1≤x≤90)天的售價與銷量的相關信息如下表： 時間x(天) 1≤x＜50 50≤x≤90 售價(元/件) x＋40 90 每天銷量(件) 200－2x 已知該商品的進價為每件30元，設銷售該商品的每天利潤為y元． (1)求出y與x的函數(shù)關系式； (2)問銷售該商品第幾天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是多少？ 解：(1)當1≤x＜50時，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2 000. 當50≤x≤90時，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12 000. 綜上所述：y＝ (2)當1≤x＜50時，二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為直線x＝45， ∴當x＝45時，y最大＝－2452＋18045＋2 000＝6 050. 當50≤x≤90時，y隨x的增大而減小， ∴當x＝50時，y最大＝6 000. ∵6 050＞6 000，∴銷售該商品第45天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是6 050元． 23．(本題12分)綜合與探究： 在平面直角坐標系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A(0，2)，點C(－1，0)，如圖所示，拋物線y＝ax2＋ax－2經過點B. (1)求點B的坐標； (2)求拋物線的解析式； (3)在拋物線上是否還存在點P(點B除外)，使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由． 解：(1)過點B作BD⊥x軸，垂足為D.∵A(0，2)，C(－1，0)，∴OA＝2，OC＝1. ∵∠BCD＋∠ACO＝90，∠ACO＋∠CAO＝90，∴∠BCD＝∠CAO. 又∵∠BDC＝∠COA＝90，CB＝AC，∴△BCD≌△CAO(AAS)． ∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2.∴點B的坐標為(－3，1)． (2)拋物線y＝ax2＋ax－2經過點B(－3，1)， 則1＝9a－3a－2，解得a＝， ∴拋物線的解析式為y＝x2＋x－2. (3)假設存在點P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形． ①若以點C為直角頂點，則延長BC至點P1，使得P1C＝BC，得到等腰直角三角形△ACP1， 過點P1作P1M⊥x軸， ∵CP1＝BC，∠MCP1＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90， ∴△MP1C≌△DBC(AAS)． ∴CM＝CD＝2，P1M＝BD＝1，∴P1(1，－1)．當x＝1時，y＝1＋1－2＝－1，符合題意． ②若以點A為直角頂點，則過點A作AP2⊥CA，且使得AP2＝AC，得到等腰直角三角形△ACP2， 過點P2作P2N⊥y軸，同理可證△AP2N≌△CAO， ∴NP2＝OA＝2，AN＝OC＝1，∴P2(2，1)．當x＝2時，y＝4＋2－2＝1，符合題意． ③以A為直角頂點的等腰Rt△ACP的頂點P有兩種情況．即過點A作直線L⊥AC，在直線L上截取AP＝AC時，點P可能在y軸右側，即點P2；點P也可能在y軸左側，即點P3.過P3作P3G⊥y軸于G，同理：△AGP3≌△CAO， ∴GP3＝OA＝2，AG＝OC＝1， ∴P3為(－2，3)．當x＝－2時，y＝4－2－2＝－1≠3，不符合題意． 綜上所述，存在點(1，－1)與(2，1)，使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形．