九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊 第二章 二次函數(shù) 2.5 二次函數(shù)與一元二次方程 第2課時(shí) 利用二次函數(shù)求方程的近似根教案 北師大版.doc

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2.5 二次函數(shù)與一元二次方程 第2課時(shí) 利用二次函數(shù)求方程的近似根 1．會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根；(重點(diǎn)) 2．進(jìn)一步體會(huì)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．(難點(diǎn)) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境導(dǎo)入 你能根據(jù)函數(shù)y＝x2＋2x－5的圖象(如圖)，求出方程x2 ＋ 2x－5＝0的近似根嗎(精確到0.1)? 由圖象知，拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，它們分別位于x軸上1和2、－4和－3之間，所以一元二次方程x2 ＋ 2x－5＝0有兩個(gè)根，它們分別介于1和2、－4和－3之間．這兩個(gè)根分別是1.5和－3.5嗎？ 二、合作探究 探究點(diǎn)：利用二次函數(shù)求方程的近似根 【類型一】 利用二次函數(shù)估算一元二次方程的近似根 利用二次函數(shù)的圖象估計(jì)一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根(精確到0.1)． 解析：根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，可得函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)的方程的解． 解：方程x2－2x－1＝0根是函數(shù)y＝x2－2x－1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 作出二次函數(shù)y＝x2－2x－1的圖象，如圖所示，由圖象可知方程有兩個(gè)根，一個(gè)在－1和0之間，另一個(gè)在2和3之間．先求－1和0之間的根，當(dāng)x＝－0.4時(shí)，y＝－0.04；當(dāng)x＝－0.5時(shí)，y＝0.25.因此，x＝－0.4(或x＝－0.5)是方程的一個(gè)近似根．同理，x＝2.4(或x＝2.5)是方程的另一個(gè)近似根． 方法總結(jié)：解答此題的關(guān)鍵是求出對稱軸，然后由圖象解答，鍛煉了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法． 【類型二】 列表求一元二次方程的近似根 下面表格列出了函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，且a≠0)部分x與y的對應(yīng)值，那么方程ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)根x的取值范圍是(　　) x 6.17 6.18 6.19 6．20 y －0.03 －0.01 0.02 0.04 A.6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 解析：由表格中的數(shù)據(jù)得，在6.17＜x＜6.20范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＝6.18時(shí)，y＝－0.01，當(dāng)x＝6.19時(shí)，y＝0.02，方程ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)根x的取值范圍是6.18＜x＜6.19，故選C. 方法總結(jié)：利用拋物線的增減來確定拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)的可能位置． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第1題 【類型三】 利用圖象求一元二次方程的近似根 已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根為(　　) A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1 解析：由圖象可得二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的對稱軸為x＝－1，而對稱軸右側(cè)圖象與x軸交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離約為0.5，∴x2≈0.5；又∵對稱軸為x＝－1，則＝－1，∴x1＝2(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故選B. 方法總結(jié)：解答本題首先需要根據(jù)圖象估計(jì)出一個(gè)根，再根據(jù)對稱性計(jì)算出另一個(gè)根，估計(jì)值的精確程度，直接關(guān)系到計(jì)算的準(zhǔn)確性，故估計(jì)盡量要準(zhǔn)確． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第6題 【類型四】 利用二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象求方程的根 已知二次函數(shù)y＝2x2－2和函數(shù)y＝5x＋1. (1)你能用圖象法求出方程2x2－2＝5x＋1的解嗎？ (2)請通過解方程的方法驗(yàn)證(1)問的解． 解析：(1)根據(jù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是相應(yīng)方程的解，可得答案；(2)根據(jù)因式分解，可得方程的解． 解：(1)如圖在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出y＝2x2－2和函數(shù)y＝5x＋1的圖象，如圖所示： 圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－，3，故2x2－2＝5x＋1的解是x1＝－，x2＝3； (2)由(1)可知交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為方程2x2－2＝5x＋1的解，化簡得2x2－5x－3＝0，因式分解，得(2x＋1)(x－3)＝0.解得x1＝－，x2＝3，可知(1)中求得的解正確． 方法總結(jié)：利用圖象法求一元二次方程的近似根，圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程的解． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第4題 【類型五】 二次函數(shù)與其他函數(shù)的綜合 利用圖象解一元二次方程x2＋x－3＝0時(shí)，我們采用的一種方法是：在平面直角坐標(biāo)系中畫出拋物線y＝x2和直線y＝－x＋3，兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是該方程的解． (1)填空：利用圖象解一元二次方程x2＋x－3＝0，也可以這樣求解：在平面直角坐標(biāo)系中畫出拋物線y＝________和直線y＝－x，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是該方程的解； (2)已知函數(shù)y＝－的圖象(如圖所示)，利用圖象求方程－x＋3＝0的近似根(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字)． 解析：(1)一元二次方程x2＋x－3＝0可以轉(zhuǎn)化為x2－3＝－x，所以一元二次方程x2＋x－3＝0的解可以看成拋物線y＝x2－3與直線y＝－x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)函數(shù)y＝－的圖象與直線y＝－x＋3的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程－x＋3＝0的近似根． 解：(1)x2－3 (2)圖象如圖所示： 由圖象可得，方程－x＋3＝0的近似根為x1＝－1.4，x2＝4.4. 方法總結(jié)：利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根的步驟是：(1)作出函數(shù)的圖象，由圖象確定方程的解的個(gè)數(shù)；(2)由圖象與y＝h的交點(diǎn)位置確定交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍；(3)觀察圖象求得方程的近似根． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第8題 三、板書設(shè)計(jì) 利用二次函數(shù)求方程的近似根 1．利用二次函數(shù)估算一元二次方程的近似根 2．列表或利用圖象求一元二次方程的近似根 3．利用二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象求方程的根 在教學(xué)過程中，教師作為引導(dǎo)者，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題情境、提供問題，給學(xué)生提供廣闊的思考空間、活動(dòng)空間，為學(xué)生搭建自主學(xué)習(xí)的平臺(tái)；學(xué)生則在老師的指導(dǎo)下經(jīng)歷操作、實(shí)踐、思考、交流、合作的過程，其知識(shí)的形成和能力的培養(yǎng)相伴而行，創(chuàng)造“海闊憑魚躍，天高任鳥飛”的課堂境界.