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2019高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù) 3.1.3 復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué)案 新人教B版選修2-2.doc

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2019高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù) 3.1.3 復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué)案 新人教B版選修2-2.doc

3.1.3復(fù)數(shù)的幾何意義1掌握復(fù)數(shù)的幾何意義,即能夠掌握復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,掌握向量、復(fù)數(shù)及復(fù)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系2能夠利用復(fù)數(shù)的幾何意義解決一些較簡(jiǎn)單的題目1復(fù)數(shù)的幾何表示根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義,復(fù)數(shù)zabi被一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)所_確定,而每一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b),在平面直角坐標(biāo)系中有唯一確定一點(diǎn)Z(a,b)(或一個(gè)向量)這就是說,每一個(gè)復(fù)數(shù),對(duì)應(yīng)著平面直角坐標(biāo)系中唯一的_(或一個(gè)向量);反過來,平面直角坐標(biāo)系中每一個(gè)點(diǎn)(或每一個(gè)向量),也對(duì)應(yīng)著唯一的一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)這樣我們通過有序?qū)崝?shù)對(duì),可以建立復(fù)數(shù)zabi和點(diǎn)Z(a,b)(或向量)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系點(diǎn)Z(a,b)或向量是復(fù)數(shù)z的_表示(如圖)復(fù)數(shù)zabi有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)點(diǎn)Z(a,b)【做一做11】對(duì)于復(fù)平面,下列命題中是真命題的是()A虛數(shù)集和各個(gè)象限內(nèi)的點(diǎn)的集合是一一對(duì)應(yīng)的B實(shí)、虛部都是負(fù)數(shù)的虛數(shù)的集合與第二象限內(nèi)的點(diǎn)的集合是一一對(duì)應(yīng)的C實(shí)部是負(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的集合與第二、三象限的點(diǎn)的集合是一一對(duì)應(yīng)的D實(shí)軸上方的點(diǎn)的集合與虛部為正數(shù)的復(fù)數(shù)的集合是一一對(duì)應(yīng)的【做一做12】設(shè)z(2a25a3)(a22a3)i(aR),則下列命題中正確的是()Az的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z在第一象限Bz的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z在第四象限Cz不是純虛數(shù)Dz是虛數(shù)2復(fù)平面建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做_在復(fù)平面內(nèi),x軸叫做_,y軸叫做_x軸的單位是1,y軸的單位是i.實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)叫做原點(diǎn),原點(diǎn)(0,0)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)0.(1)復(fù)數(shù)與向量建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的前提是起點(diǎn)都是原點(diǎn)(2)復(fù)數(shù)z的幾何表示為我們用向量方法解決復(fù)數(shù)問題或用復(fù)數(shù)方法解決向量問題創(chuàng)造了條件(3)為了方便起見,我們常把復(fù)數(shù)zabi(a,bR)說成點(diǎn)Z或說成向量,并規(guī)定:相等向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù)【做一做2】下面有關(guān)復(fù)平面的命題,其中正確的有_實(shí)軸與虛軸無交點(diǎn);實(shí)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù),虛軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為虛數(shù);實(shí)軸與虛軸的單位都是1;實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上,純虛數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上3復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)(1)設(shè)abi(a,bR),則向量的長度叫做復(fù)數(shù)abi的_(或絕對(duì)值),記作|abi|,|abi|_.(2)如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等,而虛部互為相反數(shù),則這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為_復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示說明:復(fù)數(shù)z的模即有向線段的長度或兩點(diǎn)間的距離在數(shù)軸(一元坐標(biāo))上我們叫實(shí)數(shù)的絕對(duì)值,在直角坐標(biāo)系(二元坐標(biāo))上我們叫向量的模,但叫絕對(duì)值也可以其本質(zhì)都是線段的長由|z|,得|z|2a2b2,而由a2b2(abi)(abi),可得公式z|z|2|2,這一公式在分解因式、復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的互化、模及共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算中都應(yīng)用很廣泛【做一做31】復(fù)數(shù)i2i2的共軛復(fù)數(shù)是()A2i B2iC2i D2i【做一做32】滿足條件|z|34i|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是()A一條直線 B兩條直線C圓 D橢圓1如何理解復(fù)數(shù)的兩種幾何形式?剖析:這種對(duì)應(yīng)關(guān)系架起了聯(lián)系復(fù)數(shù)與解析幾何之間的橋梁,使得復(fù)數(shù)問題可以用幾何方法解決,而幾何問題也可以用復(fù)數(shù)方法解決(即數(shù)形結(jié)合法),增加了解決復(fù)數(shù)問題的途徑復(fù)數(shù)zabi(a,bR)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(a,b),而不是(a,bi)復(fù)數(shù)zabi(a,bR)對(duì)應(yīng)的向量是以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的,否則就談不上一一對(duì)應(yīng),因?yàn)閺?fù)平面上與相等的向量有無數(shù)個(gè)2復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)有什么聯(lián)系?剖析:(1)復(fù)數(shù)zabi(a,bR)的模用|z|表示,其公式為|z|,它既是z對(duì)應(yīng)的向量的長度又是其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)到原點(diǎn)的距離(2)復(fù)數(shù)zabi(a,bR)的共軛復(fù)數(shù)為abi,它們對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱當(dāng)b0時(shí),z,此時(shí)z與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是實(shí)軸上的同一個(gè)點(diǎn)如果z,可以推得z為實(shí)數(shù)由此可得zz為實(shí)數(shù)|z|2z.題型一 復(fù)數(shù)的幾何表示【例題1】已知aR,則z(a22a4)(a22a2)i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限?復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是什么?分析:根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系知,復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限與復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部的符號(hào)有關(guān);求復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡問題,首先把z表示成為zxyi(x,yR)的形式,然后尋求x,y之間的關(guān)系,但要注意參數(shù)限定的條件題型二 共軛復(fù)數(shù)【例題2】已知x1yi與i3x是共軛復(fù)數(shù),求實(shí)數(shù)x與y的值分析:根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)相等的概念列方程組求x,y.反思:復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用來表示,即若zabi(a,bR),則abi(a,bR)在復(fù)平面內(nèi),點(diǎn)Z(a,b)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)zabi(a,bR);點(diǎn)(a,b)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)abi(a,bR),點(diǎn)Z和關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱題型三 復(fù)數(shù)的?!纠}3】已知復(fù)數(shù)z1i,z2i.(1)求|及|的值并比較大小;(2)設(shè)zC,滿足條件|z2|z|z1|的點(diǎn)Z的集合是什么圖形?分析:根據(jù)模的定義及幾何意義來求解反思:復(fù)數(shù)的模表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離計(jì)算復(fù)數(shù)的模時(shí),應(yīng)先找出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部,然后再利用公式進(jìn)行計(jì)算,復(fù)數(shù)的??梢员容^大小題型四 易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn):復(fù)數(shù)的模是實(shí)數(shù)的絕對(duì)值概念的擴(kuò)充,但在求解有關(guān)問題時(shí),不能當(dāng)成實(shí)數(shù)的“絕對(duì)值”加以求解,否則易丟解、漏解,造成答案不完整或錯(cuò)誤【例題4】求方程5|x|60在復(fù)數(shù)集上解的個(gè)數(shù)錯(cuò)解:5|x|60,5|x|6,即|x|,x,故原方程在復(fù)數(shù)集上有兩個(gè)解1如果復(fù)數(shù)abi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,則()Aa0,b0Ba0,b0Ca0,b0Da0,b02復(fù)數(shù)z3a6i的模為,則實(shí)數(shù)a的值為()A BC D3若a,bR,zabi,我們稱復(fù)數(shù)abi為z的相反復(fù)數(shù),則()A復(fù)平面上表示z和它的相反復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱B復(fù)平面上表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)與表示z的相反復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱Cz的共軛復(fù)數(shù)的相反復(fù)數(shù)是zDz的相反復(fù)數(shù)與不相等4復(fù)數(shù)z1itan 200的模是_5已知,復(fù)數(shù)z2cos isin ,則|z|的取值范圍是_答案:基礎(chǔ)知識(shí)梳理1唯一一個(gè)點(diǎn)幾何【做一做11】D當(dāng)虛數(shù)為純虛數(shù)時(shí),所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上,不屬于任何象限,因此選項(xiàng)A不正確;實(shí)、虛部都是負(fù)數(shù)的虛數(shù)的集合與第三象限內(nèi)的點(diǎn)的集合是一一對(duì)應(yīng)的,因此選項(xiàng)B不正確;實(shí)部是負(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上,不屬于第二、三象限,因此選項(xiàng)C不正確;選項(xiàng)D正確【做一做12】D由2a25a3(2a1)(a3),得其實(shí)部可正,可負(fù)也可以是零,而虛部a22a3(a1)220,故z是虛數(shù)2復(fù)平面實(shí)軸虛軸【做一做2】由于實(shí)軸與虛軸相交于原點(diǎn),故錯(cuò);由于原點(diǎn)也在虛軸上,它與復(fù)數(shù)0對(duì)應(yīng),故不正確;虛軸的單位為i,所以錯(cuò);正確3(1)模(2)共軛【做一做31】Di2i22i,其共軛復(fù)數(shù)是2i.【做一做32】C|34i|5.故復(fù)數(shù)z的模為5,即點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離等于5,因此滿足條件|z|5的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心,以5為半徑的圓典型例題領(lǐng)悟【例題1】解:由于a22a4(a1)230,a22a2(a1)210,復(fù)數(shù)z的實(shí)部為正,虛部為負(fù),即復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限設(shè)zxyi(x,yR),則上述兩式相加,得xy2.又xa22a4(a1)233,復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是一條射線,其方程為xy20(x3)【例題2】解:i3x的共軛復(fù)數(shù)為3xi,所以x1yi3xi,從而解得【例題3】解:(1)|i|2.|i|1.所以|.(2)由|z2|z|z1|,得1|z|2.因?yàn)閨z|1表示圓|z|1上及其外部所有點(diǎn)組成的集合,|z|2表示圓|z|2上及其內(nèi)部所有點(diǎn)組成的集合,故符合題設(shè)條件的點(diǎn)的集合是以O(shè)為圓心,以1和2為半徑的圓所夾的圓環(huán)(包括邊界),如圖【例題4】錯(cuò)因分析:錯(cuò)解中將|x|看成了實(shí)數(shù)的絕對(duì)值,忽略在復(fù)數(shù)集上解方程而導(dǎo)致錯(cuò)誤正解:設(shè)xabi(a,bR),原方程可化為,即a2b2,在復(fù)平面上滿足此條件的點(diǎn)有無數(shù)個(gè),所以原方程在復(fù)數(shù)集上有無數(shù)個(gè)解隨堂練習(xí)鞏固1D2C(3a)2(6)240,a.3B選項(xiàng)A中應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;選項(xiàng)C中因?yàn)閍bi,則的相反復(fù)數(shù)為abi,并非等于z;選項(xiàng)D中若z為純虛數(shù),則z的相反復(fù)數(shù)與相等4|z|.5|z|,又,cos 1,13cos24,故|z|2.

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