【三維設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九章 計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布 理 新人教版

第九章計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布第一節(jié) 分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類(lèi)不同方案，在第1類(lèi)方案中有m種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有Nmn種不同的方法2分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有Nmn種不同的方法小題體驗(yàn)1(教材習(xí)題改編)某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的6個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了3個(gè)新節(jié)目，如果將這3個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為()A504B210C336D120解析：選A分三步，先插一個(gè)新節(jié)目，有7種方法，再插第二個(gè)新節(jié)目，有8種方法，最后插第三個(gè)節(jié)目，有9種方法故共有789504種不同的插法2(教材習(xí)題改編)若給程序模塊命名，需要用3個(gè)字符，其中首字符要求用字母AG，或UZ，后兩個(gè)要求用數(shù)字19.則最多可以給_個(gè)程序模塊命名答案：1 0533(教材習(xí)題改編)一件工作可以用2種方法完成，有5人只會(huì)用第1種方法完成，另有4人只會(huì)用第2種方法完成，從中選出1人來(lái)完成這件工作，不同選法的種數(shù)是_答案：91分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每類(lèi)做法中每一種方法都能完成這件事情，類(lèi)與類(lèi)之間是獨(dú)立的2分步乘法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步步之間是相關(guān)聯(lián)的小題糾偏1從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)有()A30B20C10 D6解析：選D從0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字中，任取兩數(shù)和為偶數(shù)可分為兩類(lèi)，取出的兩數(shù)都是偶數(shù)，共有3種方法；取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種方法，故由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得共有N336種2用0,1，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A243 B252C261 D279解析：選B0,1，2，9共能組成91010900(個(gè))三位數(shù)，其中無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有998648(個(gè))，有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900648252(個(gè))題組練透1(易錯(cuò)題)(2016銅梁第一中學(xué)月考)如果把個(gè)位數(shù)是1，且恰好有3個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1,2,3,4四個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有()A9個(gè)B3個(gè)C12個(gè) D6個(gè)解析：選C當(dāng)重復(fù)數(shù)字是1時(shí)，有CC；當(dāng)重復(fù)數(shù)字不是1時(shí)，有C種由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，得滿(mǎn)足條件的“好數(shù)”有CCC12個(gè)2五名籃球運(yùn)動(dòng)員比賽前將外衣放在休息室，比賽后都回到休息室取衣服由于燈光暗淡，看不清自己的外衣，則至少有兩人拿對(duì)自己的外衣的情況有()A30種 B31種C35種 D40種解析：選B分類(lèi)：第一類(lèi)，兩人拿對(duì)：2C20種；第二類(lèi)，三人拿對(duì)：C10種；第三類(lèi)，四人拿對(duì)與五人拿對(duì)一樣，所以有1種故共有2010131種3如圖，從A到O有_種不同的走法(不重復(fù)過(guò)一點(diǎn))解析：分3類(lèi)：第一類(lèi)，直接由A到O，有1種走法；第二類(lèi)，中間過(guò)一個(gè)點(diǎn)，有ABO和ACO 2種不同的走法；第三類(lèi)，中間過(guò)兩個(gè)點(diǎn)，有ABCO和ACBO 2種不同的走法，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得共有1225種不同的走法答案：5謹(jǐn)記通法利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理解題時(shí)2個(gè)注意點(diǎn)(1)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏；(2)分類(lèi)時(shí)，注意完成這件事件的任何一種方法必須屬于某一類(lèi)，不能重復(fù)典例引領(lǐng)已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)(a，bM)表示平面上的點(diǎn)，則：(1)P可表示平面上_個(gè)不同的點(diǎn)(2)P可表示平面上_個(gè)第二象限的點(diǎn)解析：(1)確定平面上的點(diǎn)P(a，b)可分兩步完成：第1步，確定a的值，共有6種方法；第2步，確定b的值，也有6種方法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到平面上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6636.(2)確定第二象限的點(diǎn)，可分兩步完成：第1步，確定a，由于a<0，所以有3種方法；第2步，確定b，由于b>0，所以有2種方法由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到第二象限的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是326.答案：(1)36(2)6由題悟法利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題時(shí)3個(gè)注意點(diǎn)(1)要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后順序的(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事(3)對(duì)完成每一步的不同方法數(shù)要根據(jù)條件準(zhǔn)確確定即時(shí)應(yīng)用1將3張不同的奧運(yùn)會(huì)門(mén)票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，則不同分法的種數(shù)是()A2 160 B720C240 D120解析：選B分步來(lái)完成此事第1張有10種分法；第2張有9種分法；第3張有8種分法，共有1098720種分法2從1,0,1,2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)ax2bxc的系數(shù)，則可組成_個(gè)不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有_個(gè)(用數(shù)字作答)解析：一個(gè)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)著a，b，c(a0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有33218個(gè)二次函數(shù)若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b0，同上可知共有326個(gè)偶函數(shù)答案：186命題分析兩個(gè)原理的常見(jiàn)命題角度有：(1)涂色問(wèn)題；(2)幾何問(wèn)題；(3)集合問(wèn)題題點(diǎn)全練角度一：涂色問(wèn)題涂色問(wèn)題大致有兩種解答方案：(1)選擇正確的涂色順序，按步驟逐一涂色，這時(shí)用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)數(shù)；(2)根據(jù)涂色時(shí)所用顏色數(shù)的多少，進(jìn)行分類(lèi)處理，這時(shí)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)數(shù)1(1)如圖，用6種不同的顏色把圖中A，B，C，D 4塊區(qū)域分開(kāi)，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則涂色方法共有_種(用數(shù)字作答)(2)如圖，矩形的對(duì)角線(xiàn)把矩形分成A，B，C，D四部分，現(xiàn)用5種不同顏色給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，則共有_種不同的涂色方法解析：(1)從A開(kāi)始涂色，A有6種涂色方法，B有5種涂色方法，C有4種涂色方法，D有4種涂色方法由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有6544480種涂色方法(2)區(qū)域A有5種涂色方法；區(qū)域B有4種涂色方法；區(qū)域C的涂色方法可分2類(lèi)：若C與A涂同色，區(qū)域D有4種涂色方法；若C與A涂不同色，此時(shí)區(qū)域C有3種涂色方法，區(qū)域D也有3種涂色方法所以共有5445433260種涂色方法答案：(1)480(2)260角度二：幾何問(wèn)題主要與立體幾何、解析幾何相結(jié)合考查2已知兩條異面直線(xiàn)a，b上分別有5個(gè)點(diǎn)和8個(gè)點(diǎn)，則這13個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為()A40 B16C13 D10解析：選C分兩類(lèi)情況討論：第一類(lèi)，直線(xiàn)a分別與直線(xiàn)b上的8個(gè)點(diǎn)可以確定8個(gè)不同的平面；第二類(lèi)，直線(xiàn)b分別與直線(xiàn)a上的5個(gè)點(diǎn)可以確定5個(gè)不同的平面根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，共可以確定8513個(gè)不同的平面角度三：集合問(wèn)題解決集合問(wèn)題時(shí)，常以有特殊要求的集合為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，常用的結(jié)論有的子集有2n個(gè)，真子集有2n1個(gè)3(2015保定調(diào)研)已知集合M1,2,3,4，集合A，B為集合M的非空子集，若對(duì)xA，yB，x<y恒成立，則稱(chēng)(A，B)為集合M的一個(gè)“子集對(duì)”，則集合M的“子集對(duì)”共有_個(gè)解析：當(dāng)A1時(shí)，B有231種情況；當(dāng)A2時(shí)，B有221種情況；當(dāng)A3時(shí)，B有1種情況；當(dāng)A1,2時(shí)，B有221種情況；當(dāng)A1,3，2,3，1,2,3時(shí)，B均有1種情況；所以滿(mǎn)足題意的“子集對(duì)”共有7313317(個(gè))答案：17方法歸納兩個(gè)原理綜合應(yīng)用的1個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)解決綜合問(wèn)題時(shí)，可能同時(shí)應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，即分類(lèi)的方法可能要運(yùn)用分步完成，分步的方法可能會(huì)采取分類(lèi)的思想求一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1a，b，c，d，e共5個(gè)人，從中選1名組長(zhǎng)1名副組長(zhǎng)，但a不能當(dāng)副組長(zhǎng)，不同選法的種數(shù)是()A20B16C10 D6解析：選B當(dāng)a當(dāng)組長(zhǎng)時(shí)，則共有144種選法；當(dāng)a不當(dāng)組長(zhǎng)時(shí)，又因?yàn)閍也不能當(dāng)副組長(zhǎng)，則共有4312種選法因此共有41216種選法2某電話(huà)局的電話(huà)號(hào)碼為139，若前六位固定，最后五位數(shù)字是由6或8組成的，則這樣的電話(huà)號(hào)碼的個(gè)數(shù)為()A20 B25C32 D60解析：選C依據(jù)題意知，后五位數(shù)字由6或8組成，可分5步完成，每一步有2種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，符合題意的電話(huà)號(hào)碼的個(gè)數(shù)為2532.3某班班干部有5名男生、4名女生，從9人中選1人參加某項(xiàng)活動(dòng)，則不同選法的種數(shù)為()A9 B5C4 D72解析：選A分兩類(lèi)：一類(lèi)從男生中選1人，有5種方法；另一類(lèi)是從女生中選1人，有4種方法因此，共有549種不同的選法4從0,1,2,3,4這5個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)組成三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)是_解析：從1,3中取一個(gè)排個(gè)位，故排個(gè)位有2種方法；排百位不能是0，可以從另外3個(gè)數(shù)中取一個(gè)，有3種方法；排十位有3種方法故所求奇數(shù)的個(gè)數(shù)為33218.答案：185如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有_個(gè)解析：把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類(lèi)：第一類(lèi)，有一條公共邊的三角形共有8432(個(gè))第二類(lèi)，有兩條公共邊的三角形共有8個(gè)由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，共有32840(個(gè))答案：40二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1某市汽車(chē)牌照號(hào)碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右第二個(gè)號(hào)碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個(gè)號(hào)碼可以從09這十個(gè)數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù))，有車(chē)主第一個(gè)號(hào)碼(從左到右)只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他號(hào)碼只想在1,3,6,9中選擇，則他的車(chē)牌號(hào)碼可選的所有可能情況有()A180種B360種C720種 D960種解析：選D按照車(chē)主的要求，從左到右第一個(gè)號(hào)碼有5種選法，第二個(gè)號(hào)碼有3種選法，其余三個(gè)號(hào)碼各有4種選法因此車(chē)牌號(hào)碼可選的所有可能情況有53444960(種)2在某校舉行的羽毛球兩人決賽中，采用5局3勝制的比賽規(guī)則，先贏3局者獲勝，直到?jīng)Q出勝負(fù)為止若甲、乙兩名同學(xué)參加比賽，則所有可能出現(xiàn)的情形(個(gè)人輸贏局次的不同視為不同情形)共有()A6種 B12種C18種 D20種解析：選D分三種情況：恰好打3局(一人贏3局)，有2種情形；恰好打4局(一人前3局中贏2局，輸1局，第4局贏)，共有2C6(種)情形；恰好打5局(一人前4局中贏2局，輸2局，第5局贏)，共有2C12(種)情形所有可能出現(xiàn)的情形共有261220(種)3我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱(chēng)為“六合數(shù)”(如2 013是“六合數(shù)”)，則“六合數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有()A18個(gè) B15個(gè)C12個(gè) D9個(gè)解析：選B依題意知，這個(gè)四位數(shù)的百位數(shù)、十位數(shù)、個(gè)位數(shù)之和為4.由4,0,0組成3個(gè)數(shù)，分別為400,040,004；由3,1,0組成6個(gè)數(shù)，分別為310,301,130,103,013,031；由2,2,0組成3個(gè)數(shù)，分別為220,202,022；由2,1,1組成3個(gè)數(shù)，分別為211,121,112，共計(jì)363315(個(gè))4從2,3,4,5,6,7,8,9這8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)分別作為一個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則可以組成不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為()A56 B54C53 D52解析：選D在8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)共有8756個(gè)對(duì)數(shù)值；但在這56個(gè)對(duì)數(shù)值中，log24log39，log42log93，log23log49，log32log94，即滿(mǎn)足條件的對(duì)數(shù)值共有56452(個(gè))5從集合1,2,3,4，10中，選出5個(gè)數(shù)組成的子集，使得這5個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11，則這樣的子集有()A32個(gè) B34個(gè)C36個(gè) D38個(gè)解析：選A先把數(shù)字分成5組：1,10，2,9，3,8，4,7，5,6，由于選出的5個(gè)數(shù)中，任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11，所以從每組中任選一個(gè)數(shù)字即可故共可組成2222232(個(gè))6如圖所示，用五種不同的顏色分別給A，B，C，D四個(gè)區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有_種解析：按區(qū)域分四步：第一步，A區(qū)域有5種顏色可選；第二步，B區(qū)域有4種顏色可選；第三步，C區(qū)域有3種顏色可選；第四步，D區(qū)域也有3種顏色可選由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5433180(種)不同的涂色方法答案：1807在2014年南京青奧會(huì)百米決賽上，8名男運(yùn)動(dòng)員參加100米決賽其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號(hào)跑道上，則安排這8名運(yùn)動(dòng)員比賽的方式共有_種解析：分兩步安排這8名運(yùn)動(dòng)員第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四條跑道可安排安排方式有43224種第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號(hào)跑道安排，所以安排方式有54321120種安排這8人的方式有241202 880種答案：2 88088名世界網(wǎng)球頂級(jí)選手在上海大師賽上分成兩組，每組各4人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名與另一組的第二名進(jìn)行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐第3,4名，大師賽共有_場(chǎng)比賽解析：小組賽共有2C場(chǎng)比賽；半決賽和決賽共有224場(chǎng)比賽；根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理共有2C416場(chǎng)比賽答案：169集合Na，b，c5，4，2,1,4，若關(guān)于x的不等式ax2bxc<0恒有實(shí)數(shù)解，則滿(mǎn)足條件的集合N的個(gè)數(shù)是_解析：依題意知，集合N最多有C10(個(gè))，其中對(duì)于不等式ax2bxc<0沒(méi)有實(shí)數(shù)解的情況可轉(zhuǎn)化為需要滿(mǎn)足a>0，且b24ac0，因此只有當(dāng)a，c同號(hào)時(shí)才有可能，共有2種情況，因此滿(mǎn)足條件的集合N的個(gè)數(shù)是1028.答案：810電視臺(tái)在“歡樂(lè)在今宵”節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱，其中放著競(jìng)猜中成績(jī)優(yōu)秀的觀眾來(lái)信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎(jiǎng)確定幸運(yùn)觀眾，若先從中確定一名幸運(yùn)之星，再?gòu)膬上渲懈鞔_定一名幸運(yùn)觀眾，有多少種不同結(jié)果？解：幸運(yùn)之星在甲箱中抽取，選定幸運(yùn)之星，再在兩箱內(nèi)各抽一名幸運(yùn)觀眾有30292017 400種；幸運(yùn)之星在乙箱中抽取，有20193011 400種共有不同結(jié)果17 40011 40028 800種三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1安排6名歌手演出順序時(shí)，要求歌手乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面，則不同排法的種數(shù)共有()A180種 B240種C360種 D480種解析：選D依題意，歌手乙、丙都排在歌手甲的前面的排法共有A456240種，因此滿(mǎn)足題意的不同排法共有2402480種2如圖所示，在A，B間有四個(gè)焊接點(diǎn)，若焊接點(diǎn)脫落，則可能導(dǎo)致電路不通，今發(fā)現(xiàn)A，B之間線(xiàn)路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有_種解析：四個(gè)焊點(diǎn)共有24種情況，其中使線(xiàn)路通的情況有：1,4都通，2和3至少有一個(gè)通時(shí)線(xiàn)路才通，共有3種可能故不通的情況有24313(種)可能答案：133為參加2014年云南昭通地震救災(zāi)，某運(yùn)輸公司有7個(gè)車(chē)隊(duì)，每個(gè)車(chē)隊(duì)的車(chē)輛均多于4輛現(xiàn)從這個(gè)公司中抽調(diào)10輛車(chē)，并且每個(gè)車(chē)隊(duì)至少抽調(diào)1輛，那么共有多少種不同的抽調(diào)方法？解：在每個(gè)車(chē)隊(duì)抽調(diào)1輛車(chē)的基礎(chǔ)上，還需抽調(diào)3輛車(chē)可分成三類(lèi)：一類(lèi)是從某1個(gè)車(chē)隊(duì)抽調(diào)3輛，有C種抽調(diào)方法；一類(lèi)是從2個(gè)車(chē)隊(duì)中抽調(diào)，其中1個(gè)車(chē)隊(duì)抽調(diào)1輛，另1個(gè)車(chē)隊(duì)抽調(diào)2輛，有A種抽調(diào)方法；一類(lèi)是從3個(gè)車(chē)隊(duì)中各抽調(diào)1輛，有C種抽調(diào)方法故共有CAC84種抽調(diào)方法第二節(jié) 排列與組合1排列與排列數(shù)(1)排列：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列(2)排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，記作A.2組合與組合數(shù)(1)組合：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合(2)組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，記作C.3排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式排列數(shù)公式An(n1)(n2)(nm1)組合數(shù)公式C性質(zhì)(1)An！；(2)0！1(1)C1；(2)CC_；(3)CCC備注n，mN*且mn小題體驗(yàn)1. (教材習(xí)題改編)A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊(A，B可以不相鄰)，那么不同的排法共有()A24種B60種C90種 D120種解析：選B可先排C，D，E三人，共A種排法，剩余A，B兩人只有一種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理滿(mǎn)足條件的排法共A60(種)2(教材習(xí)題改編)甲、乙兩人從4門(mén)課程中各選修2門(mén)，則甲、乙兩人所選的課程中恰有1門(mén)相同的選法有()A12種 B16種C24種 D48種解析：選C依題意得知，滿(mǎn)足題意的選法共有CCC24種3(教材習(xí)題改編)已知，則C_.解析：由已知得m的取值范圍為，整理可得m223m420，解得m21(舍去)或m2.故CC28.答案：281易混淆排列與組合問(wèn)題，區(qū)分的關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān)，排列問(wèn)題與順序有關(guān)，組合問(wèn)題與順序無(wú)關(guān)2計(jì)算A時(shí)易錯(cuò)算為n(n1)(n2)(nm)3易混淆排列與排列數(shù)，排列是一個(gè)具體的排法，不是數(shù)是一件事，而排列數(shù)是所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)正整數(shù)小題糾偏1方程3A2A6A的解為_(kāi)解析：由排列數(shù)公式可知3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)，x3且xN*，3(x1)(x2)2(x1)6(x1)，即3x217x100，解得x5或x(舍去)，x5.答案：52某班級(jí)要從4名男生、2名女生中選派4人參加社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為_(kāi)(用數(shù)字作答)解析：法一：依題意可得CCCC8614，故滿(mǎn)足要求的方案有14種法二：6人中選4人的方案有C15種，沒(méi)有女生的方案只有1種，所以滿(mǎn)足要求的方案有14種答案：14題組練透1(2015山西模擬)A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌周?chē)_(kāi)會(huì)，A是會(huì)議的中心發(fā)言人，必須坐在最北面的椅子上，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有()A60種B48種C30種 D24種解析：選B由題知，不同的座次有AA48種2用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()A324 B648C328 D360解析：選C首先應(yīng)考慮“0”，當(dāng)0排在個(gè)位時(shí)，有A9872(個(gè))，當(dāng)0排在十位時(shí)，有AA4832(個(gè))當(dāng)不含0時(shí)，有AA487224(個(gè))，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，得符合題意的偶數(shù)共有7232224328(個(gè))3用1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)夾在兩個(gè)奇數(shù)之間的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)解析：(捆綁法)首先排兩個(gè)奇數(shù)1,3有A種排法，再在2,4中取一個(gè)數(shù)放在1,3排列之間，有C種方法，然后把這3個(gè)數(shù)作為一個(gè)整體與剩下的另一個(gè)偶數(shù)全排列，有A種排法，即滿(mǎn)足條件的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為ACA8.答案：8謹(jǐn)記通法1解決排列問(wèn)題的4種方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算捆綁法相鄰問(wèn)題捆綁處理，即可以把相鄰元素看成一個(gè)整體參與其他元素排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法不相鄰問(wèn)題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空中除法法定序問(wèn)題除法處理的方法，可先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列2解決排列類(lèi)應(yīng)用題的3種策略(1)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置(2)分排問(wèn)題直排法處理(3)“小集團(tuán)”排列問(wèn)題采用先集中后局部的處理方法典例引領(lǐng)1(2016山師大附中摸底)某班班會(huì)準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加，當(dāng)甲、乙同時(shí)參加時(shí)，他們兩人的發(fā)言不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序的種數(shù)為()A360B520C600 D720解析：選C根據(jù)題意，分2種情況討論：若只有甲、乙其中一人參加，有CCA480種情況；若甲、乙兩人都參加，有CCA240種情況，其中甲、乙相鄰的有CCAA120種情況則不同的發(fā)言順序的種數(shù)為480240120600.2現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為_(kāi)解析：第一類(lèi)，含有1張紅色卡片，不同的取法CC264種第二類(lèi)，不含有紅色卡片，不同的取法C3C22012208種由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，不同的取法共有264208472種答案：472由題悟法1解決組合應(yīng)用題的2個(gè)步驟第一步，整體分類(lèi)要注意分類(lèi)時(shí)，不重復(fù)不遺漏，用到分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理；第二步，局部分步用到分步乘法計(jì)數(shù)原理2含有附加條件的組合問(wèn)題的2種方法通常用直接法或間接法，應(yīng)注意“至少”“最多”“恰好”等詞的含義的理解，對(duì)于涉及“至少”“至多”等詞的組合問(wèn)題，既可考慮反面情形即間接求解，也可以分類(lèi)研究進(jìn)行直接求解即時(shí)應(yīng)用1(2016大連模擬)某校開(kāi)設(shè)A類(lèi)選修課2門(mén)，B類(lèi)選修課3門(mén)，一位同學(xué)從中選3門(mén)若要求兩類(lèi)課程中各至少選一門(mén)，則不同的選法共有()A3種B6種C9種 D18種解析：選C由題知有2門(mén)A類(lèi)選修課，3門(mén)B類(lèi)選修課，從中選出3門(mén)的選法有C10種兩類(lèi)課程都有的對(duì)立事件是選了3門(mén)B類(lèi)選修課，這種情況只有1種滿(mǎn)足題意的選法有1019種2四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其他頂點(diǎn)與各棱的中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，不同的取法有()A30種 B33種C36種 D39種解析：選B分兩種情況：頂點(diǎn)A與各棱的中點(diǎn)共面的有3個(gè)側(cè)面，每個(gè)側(cè)面中有5個(gè)點(diǎn)，有C種，3個(gè)側(cè)面有3C種；3個(gè)點(diǎn)不在同一個(gè)表面的有3個(gè)，共有3C333種取法命題分析分組分配問(wèn)題是排列、組合問(wèn)題的綜合運(yùn)用，解決這類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)基本指導(dǎo)思想就是先分組后分配關(guān)于分組問(wèn)題，有整體均分、部分均分和不等分三種，無(wú)論分成幾組，應(yīng)注意只要有一些組中元素的個(gè)數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象常見(jiàn)的命題角度有：(1)整體均分問(wèn)題；(2)部分均分問(wèn)題；(3)不等分問(wèn)題題點(diǎn)全練角度一：整體均分問(wèn)題1國(guó)家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國(guó)重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專(zhuān)業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教現(xiàn)有6個(gè)免費(fèi)培養(yǎng)的教育專(zhuān)業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有_種不同的分派方法解析：先把6個(gè)畢業(yè)生平均分成3組，有種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，有A6種方法，故6個(gè)畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校，共有A90種分派方法答案：90角度二：部分均分問(wèn)題2(2016內(nèi)江模擬)某科室派出4名調(diào)研員到3個(gè)學(xué)校，調(diào)研該校高三復(fù)習(xí)備考近況，要求每個(gè)學(xué)校至少一名，則不同的分配方案種數(shù)為()A144B72C36 D48解析：選C分兩步完成：第一步將4名調(diào)研員按2,1,1分成三組，其分法有；第二步將分好的三組分配到3個(gè)學(xué)校，其分法有A種，所以滿(mǎn)足條件的分配方案有A36種角度三：不等分問(wèn)題3若將6名教師分到3所中學(xué)任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有_種不同的分法解析：將6名教師分組，分三步完成：第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有C種取法；第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有C種取法；第3步，余下的3名教師作為一組，有C種取法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有CCC60種取法再將這3組教師分配到3所中學(xué)，有A6種分法，故共有606360種不同的分法答案：360方法歸納解決分組分配問(wèn)題的3種策略(1)整體均分解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)(2)部分均分解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，一個(gè)分組過(guò)程中有幾個(gè)這樣的均勻分組就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)(3)不等分組只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1將2名教師、4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有()A10種B9種C12種 D8種解析：選C依題意，滿(mǎn)足題意的不同安排方案共有CC12種2世界華商大會(huì)的某分會(huì)場(chǎng)有A，B，C三個(gè)展臺(tái)，將甲、乙、丙、丁共4名“雙語(yǔ)”志愿者分配到這三個(gè)展臺(tái)，每個(gè)展臺(tái)至少1人，其中甲、乙兩人被分配到同一展臺(tái)的不同分法的種數(shù)有()A12種 B10種C8種 D6種解析：選D甲、乙兩人被分配到同一展臺(tái)，可以把甲與乙捆在一起，看成一個(gè)人，然后將3個(gè)人分到3個(gè)展臺(tái)上進(jìn)行全排列，即有A種，甲、乙兩人被分配到同一展臺(tái)的不同分法的種數(shù)有A6種3將5名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍，每個(gè)宿舍至少安排2名學(xué)生，那么互不相同的安排方法的種數(shù)為()A10 B20C30 D40解析：選B將5名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍，每個(gè)宿舍至少安排2名學(xué)生，那么必然是一個(gè)宿舍2名，而另一個(gè)宿舍3名，共有CC220種4從1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)字中，選出一個(gè)偶數(shù)和兩個(gè)奇數(shù)，組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有()A9個(gè) B24個(gè)C36個(gè) D54個(gè)解析：選D選出符合題意的三個(gè)數(shù)共有CC種方法，這三個(gè)數(shù)可組成CCA54個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)5在1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有()A36個(gè) B24個(gè)C18個(gè) D6個(gè)解析：選B各位數(shù)字之和是奇數(shù)，則這三個(gè)數(shù)字中三個(gè)都是奇數(shù)或兩個(gè)偶數(shù)一個(gè)奇數(shù)，所有可能情況有ACA61824(個(gè))二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1(2016山西四校聯(lián)考)有5名優(yōu)秀畢業(yè)生到母校的3個(gè)班去做學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)交流，則每個(gè)班至少去一名的不同分派方法種數(shù)為()A150 B180C200 D280解析：選A分兩類(lèi)：一類(lèi)，3個(gè)班分派的畢業(yè)生人數(shù)分別為2,2,1，則有A90種分派方法；另一類(lèi)，3個(gè)班分派的畢業(yè)生人數(shù)分別為1,1,3，則有CA60種分派方法所以不同分派方法種數(shù)為9060150種2(2016貴陽(yáng)摸底)現(xiàn)有2門(mén)不同的考試要安排在5天之內(nèi)進(jìn)行，每天最多進(jìn)行一門(mén)考試，且不能連續(xù)兩天有考試，那么不同的考試安排方案種數(shù)是()A12 B6C8 D16解析：選A若第一門(mén)安排在開(kāi)頭或結(jié)尾，則第二門(mén)有3種安排方法，這時(shí)，共有C36種方法；若第一門(mén)安排在中間的3天中，則第二門(mén)有2種安排方法，這時(shí)，共有326種方法綜上可得，不同的考試安排方案共有6612種3(2016太原模擬)有5本不同的教科書(shū)，其中語(yǔ)文書(shū)2本，數(shù)學(xué)書(shū)2本，物理書(shū)1本若將其并排擺放在書(shū)架的同一層上，則同一科目書(shū)都不相鄰的放法種數(shù)是()A24 B48C72 D96解析：選B據(jù)題意可先擺放2本語(yǔ)文書(shū)，當(dāng)1本物理書(shū)在2本語(yǔ)文書(shū)之間時(shí)，只需將2本數(shù)學(xué)書(shū)插在前3本書(shū)形成的4個(gè)空中即可，此時(shí)共有AA種擺放方法；當(dāng)1本物理書(shū)放在2本語(yǔ)文書(shū)一側(cè)時(shí)，共有AACC種不同的擺放方法，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得共有AAAACC48種擺放方法4用1,2,3,4,5,6組成數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)，滿(mǎn)足1不在左、右兩端，2,4,6三個(gè)偶數(shù)中有且只有兩個(gè)偶數(shù)相鄰，則這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A423 B288C216 D144解析：選B若2,4相鄰，把2,4捆綁在一起，與另外四個(gè)數(shù)排列(相當(dāng)于5個(gè)元素排列)，1不在左、右兩側(cè)，則六位數(shù)的個(gè)數(shù)為2CA144，同理2,4與6相鄰的有A22A48個(gè)，所以只有2,4相鄰的有1444896個(gè)，全部符合條件的六位數(shù)有963288個(gè)5(2016福建三明調(diào)研)將A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中順序?yàn)椤癆，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，這樣的排列數(shù)有()A12種 B20種C40種 D60種解析：選C(排序一定用除法)五個(gè)元素沒(méi)有限制全排列數(shù)為A，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以這三個(gè)元素的全排列A，可得這樣的排列數(shù)有240種64位同學(xué)參加某種形式的競(jìng)賽，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：選甲題答對(duì)得100分，答錯(cuò)得100分，選乙題答對(duì)得90分，答錯(cuò)得90分，若4位同學(xué)的總分為0分，則這4位同學(xué)不同得分情況的種數(shù)是_解析：由于4位同學(xué)的總分為0分，故4位同學(xué)選甲、乙題的人數(shù)有且只有三種情況：甲：4人，乙：0人；甲：2人，乙：2人；甲：0人，乙：4人對(duì)于，須2人答對(duì)，2人答錯(cuò)，共有C6種情況；對(duì)于，選甲題的須1人答對(duì)，1人答錯(cuò)，選乙題的也如此，有CCC24種情況；對(duì)于，與相同，有6種情況，故共有624636種不同的情況答案：367(2016廣州質(zhì)檢)若把英語(yǔ)單詞“error”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有_種解析：A119.答案：198(2015浙江重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體摸底)把座位編號(hào)為1,2,3,4,5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少一張，至多兩張，且分得的兩張票必須是連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)為_(kāi)(用數(shù)字作答)解析：先將票分為符合條件的4份，由題意，4人分5張票，且每人至少一張，至多兩張，則三人每人一張，一人2張，且分得的票必須是連號(hào)，相當(dāng)于將1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)用3個(gè)板子隔開(kāi)，分為四部分且不存在三連號(hào)在4個(gè)空位插3個(gè)板子，共有C4種情況，再對(duì)應(yīng)到4個(gè)人，有A24種情況，則共有42496種情況答案：969(2016山西考前質(zhì)檢)5名工人分別要在某3天中選擇1天休息，且每天至少有一人休息，則不同的安排方式有_種(用數(shù)字填寫(xiě))解析：由題意可知5名工人分別要在某3天中任選1天休息，且每天至少有一人休息，則不同的安排方式共分兩類(lèi)：第一類(lèi)，有兩天中只有一人休息，另外一天有三人休息，共有CA60種方法；第二類(lèi)，有兩天中分別有兩人休息，另外一天只有一人休息，共有A90種方法綜上所述，共有6090150種方法答案：15010將7個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子中(1)不出現(xiàn)空盒時(shí)的放入方式共有多少種？(2)可出現(xiàn)空盒時(shí)的放入方式共有多少種？解：(1)將7個(gè)相同的小球排成一排，在中間形成的6個(gè)空當(dāng)中插入無(wú)區(qū)別的3個(gè)“隔板”將球分成4份，每一種插入隔板的方式對(duì)應(yīng)一種球的放入方式，則共有C20種不同的放入方式(2)每種放入方式對(duì)應(yīng)于將7個(gè)相同的小球與3個(gè)相同的“隔板”進(jìn)行一次排列，即從10個(gè)位置中選3個(gè)位置安排隔板，故共有C120種放入方式三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1(2015上饒模擬)有紅、藍(lán)、黃、綠四種顏色的球各6個(gè)，每種顏色的6個(gè)球分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中任取3個(gè)標(biāo)號(hào)不同的球，這3個(gè)顏色互不相同且所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的取法種數(shù)為()A80 B84C96 D104解析：選C所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的方法有135,136,146,246，共4種方法.3個(gè)顏色互不相同有A43224種，這3個(gè)顏色互不相同且所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的取法有24496種2(2016湖南師大附中月考)已知集合Ax|xa0a13a232a333，其中ai0,1,2(i0,1,2,3)且a30，則A中所有元素之和等于()A3 240 B3 120C2 997 D2 889解析：選D由題意可知，a0，a1，a2各有3種取法(均可取0,1,2)，a3有2種取法(可取1,2)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有3332種取法當(dāng)a0取0,1,2時(shí)，a1，a2各有3種取法，a3有2種取法，共有33218種取法，即集合A中含有a0項(xiàng)的所有數(shù)的和為(012)18；同理可得集合A中含有a1項(xiàng)的所有數(shù)的和為(303132)18；集合A中含有a2項(xiàng)的所有數(shù)的和為(320321322)18；集合A中含有a3項(xiàng)的所有數(shù)的和為(331332)27；由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得集合A中所有元素之和S(012)18(303132)18(320321322)18(331332)2718(3927)81277022 1872 889.3用0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)滿(mǎn)足下列條件的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？(1)比21 034大的偶數(shù)；(2)左起第二、四位是奇數(shù)的偶數(shù)解：(1)法一：可分五類(lèi)，當(dāng)末位數(shù)字是0，而首位數(shù)字是2時(shí)，有6個(gè)五位數(shù)；當(dāng)末位數(shù)字是0，而首位數(shù)字是3或4時(shí)，有AA12個(gè)五位數(shù)；當(dāng)末位數(shù)字是2，而首位數(shù)字是3或4時(shí)，有AA12個(gè)五位數(shù)；當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是2時(shí)，有3個(gè)五位數(shù)；當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是3時(shí)，有A6個(gè)五位數(shù)；故共有612123639個(gè)滿(mǎn)足條件的五位數(shù)法二：不大于21 034的偶數(shù)可分為三類(lèi)：萬(wàn)位數(shù)字是1的偶數(shù)，有AA18個(gè)五位數(shù)；萬(wàn)位數(shù)字是2，而千位數(shù)字是0的偶數(shù)，有A個(gè)五位數(shù)；還有一個(gè)為21 034本身而由0,1,2,3,4組成的五位偶數(shù)個(gè)數(shù)有AAAA60個(gè)，故滿(mǎn)足條件的五位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為60182139.(2)法一：可分為兩類(lèi)：末位數(shù)是0，個(gè)數(shù)有AA4；末位數(shù)是2或4，個(gè)數(shù)有AA4；故共有AAAA8個(gè)滿(mǎn)足條件的五位數(shù)法二：第二、四位從奇數(shù)1,3中取，有A個(gè)；首位從2,4中取，有A個(gè)；余下的排在剩下的兩位，有A個(gè)，故共有AAA8個(gè)滿(mǎn)足條件的五位數(shù)第三節(jié) 二項(xiàng)式定理1二項(xiàng)式定理(1)定理公式(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)叫做二項(xiàng)式定理(2)通項(xiàng)Tk1Cankbk為展開(kāi)式的第k1項(xiàng)2二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)(1)二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)C(k0,1，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)(2)項(xiàng)的系數(shù)項(xiàng)的系數(shù)是該項(xiàng)中非字母因數(shù)部分，包括符號(hào)等，與二項(xiàng)式系數(shù)是兩個(gè)不同的概念3二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對(duì)稱(chēng)性與首末兩端等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即CC增減性當(dāng)k時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大；當(dāng)k時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸減小最大值當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為C；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值，最大值為C或C4各二項(xiàng)式系數(shù)的和(ab)n的展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即CCCCC2n.二項(xiàng)展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即CCCCCC2n1.小題體驗(yàn)1(教材習(xí)題改編)(x2)8的展開(kāi)式中x6的系數(shù)是()A28B56C112 D224解析：選C通項(xiàng)為T(mén)r1Cx8r2r2rCx8r，令8r6，得r2，即T322Cx6112x6，所以x6的系數(shù)是112.2若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，則a7a6a1的值為()A1 B129C128 D127解析：選B令x1得a0a1a727128；令x0得a0(1)71，a1a2a3a7129.3(教材習(xí)題改編)8的展開(kāi)式中的有理項(xiàng)共有_項(xiàng)解析：Tr1C()8rrrCx，r為4的倍數(shù)，故r0,4,8共3項(xiàng)答案：31二項(xiàng)式的通項(xiàng)易誤認(rèn)為是第k項(xiàng)，實(shí)質(zhì)上是第k1項(xiàng)2(ab)n與(ba)n雖然相同，但具體到它們展開(kāi)式的某一項(xiàng)時(shí)是不相同的，所以公式中的第一個(gè)量a與第二個(gè)量b的位置不能顛倒3易混淆二項(xiàng)式中的“項(xiàng)”，“項(xiàng)的系數(shù)”、“項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”等概念，注意項(xiàng)的系數(shù)是指非字母因數(shù)所有部分，包含符號(hào)，二項(xiàng)式系數(shù)僅指C(k0,1，n)小題糾偏1(13x)n(其中nN且n6)的展開(kāi)式中x5與x6的系數(shù)相等，則n()A6 B7C8 D9解析：選B(13x)n的展開(kāi)式中含x5的項(xiàng)為C(3x)5C35x5，展開(kāi)式中含x6的項(xiàng)為C36x6.由兩項(xiàng)的系數(shù)相等得C35C36，解得n7.2若二項(xiàng)式n展開(kāi)式中的第5項(xiàng)是常數(shù)，則自然數(shù)n的值為()A6 B10C12 D15解析：選C由二項(xiàng)式n展開(kāi)式的第5項(xiàng)C()n4416Cx是常數(shù)項(xiàng)，可得60，解得n12.題組練透1二項(xiàng)式10的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是()A180B90C45 D360解析：選A10的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k1C()10kk2kCx，令5k0，得k2，故常數(shù)項(xiàng)為22C180.2(易錯(cuò)題)若n展開(kāi)式中含有x2項(xiàng)，則n的最小值是()A15 B8C7 D3解析：選D注意到二項(xiàng)式n的展開(kāi)式的通項(xiàng)是Tr1Cnr(x)rC(1)rx.令rn2，即r有正整數(shù)解；又2與5互質(zhì)，因此n2必是5的倍數(shù)，即n25k，n5k2，n的最小值是3.3(2015北京高考)在(2x)5的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)為_(kāi)(用數(shù)字作答)解析：設(shè)通項(xiàng)為T(mén)r1C25rxr，令r3，則x3的系數(shù)為C2210440.答案：40謹(jǐn)記通法求二項(xiàng)展開(kāi)式中的項(xiàng)的3種方法求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)Tk1Cankbk的特點(diǎn)，一般需要建立方程求k，再將k的值代回通項(xiàng)求解，注意k的取值范圍(k0,1,2，n)(1)第m項(xiàng)：此時(shí)k1m，直接代入通項(xiàng)，如“題組練透”第2題；(2)常數(shù)項(xiàng)：即這項(xiàng)中不含“變?cè)?，令通?xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為0建立方程；(3)有理項(xiàng)：令通項(xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為整數(shù)建立方程特定項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題及相關(guān)參數(shù)值的求解等都可依據(jù)上述方法求解典例引領(lǐng)1(2015湖北高考)已知(1x)n的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為()A29B210C211 D212解析：選A由CC，得n10，故奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為29.2(2016成都一中模擬)設(shè)(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，則a0a1a2a11的值為()A2 B1C1 D2解析：選A令等式中x1可得a0a1a2a11(11)(1)92，故選A.由題悟法1賦值法研究二項(xiàng)式的系數(shù)和問(wèn)題“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如(axb)n、(ax2bxc)m(a，bR)的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x1即可；對(duì)形如(axby)n(a，bR)的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令xy1即可2二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法(1)如果n是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；(2)如果n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大即時(shí)應(yīng)用1在(1x)n(xN*)的二項(xiàng)展開(kāi)式中，若只有x5的系數(shù)最大，則n()A8 B9C10 D11解析：選C二項(xiàng)式中僅x5項(xiàng)系數(shù)最大，其最大值必為C，即得5，解得n10.2若(1mx)6a0a1xa2x2a6x6，且a1a2a663，則實(shí)數(shù)m的值為()A1或3 B3C1 D1或3解析：選D令x0，得a0(10)61.令x1，得(1m)6a0a1a2a6.又a1a2a3a663，(1m)66426，m1或m3.考點(diǎn)三多項(xiàng)式展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或系數(shù)問(wèn)題命題分析在高考中，常常涉及一些多項(xiàng)式問(wèn)題，主要考查學(xué)生的化歸能力常見(jiàn)的命題角度有：(1)幾個(gè)多項(xiàng)式和的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題；(2)幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題；(3)三項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題題點(diǎn)全練角度一：幾個(gè)多項(xiàng)式和的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題1(2016榮成模擬)在1(1x)(1x)2(1x)3(1x)4(1x)5的展開(kāi)式中，含x2項(xiàng)的系數(shù)是()A10 B15C20 D25解析：選C含x2項(xiàng)的系數(shù)為CCCC20.角度二：幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題2(2015全國(guó)卷)(ax)(1x)4的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a_.解析：設(shè)(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5.令x1，得(a1)24a0a1a2a3a4a5.令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)232，a3.答案：3角度三：三項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題3(2015全國(guó)卷)(x2xy)5的展開(kāi)式中，x5y2的系數(shù)為()A10 B20C30 D60解析：選C法一：(x2xy)5(x2x)y5，含y2的項(xiàng)為T(mén)3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的項(xiàng)為Cx4xCx5.所以x5y2的系數(shù)為CC30，故選C.法二：(x2xy)5為5個(gè)x2xy之積，其中有兩個(gè)取y，兩個(gè)取x2，一個(gè)取x即可，所以x5y2的系數(shù)為CCC30，故選C.方法歸納1對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式和的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題，只需依據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，從每一項(xiàng)中分別得到特定的項(xiàng)，再求和即可2對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類(lèi)方法，以免重復(fù)或遺漏3對(duì)于三項(xiàng)式問(wèn)題一般先變形化為二項(xiàng)式再解決一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快15的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是()A5B5C10 D10解析：選C5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r1C5r(2x2)r(1)rC2rx，當(dāng)r1時(shí)，Tr1為常數(shù)項(xiàng)，即T2C210.22n(nN*)的展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)系數(shù)最大，則其常數(shù)項(xiàng)為()A120 B210C252 D45解析：選B由已知得，二項(xiàng)式展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)相等由展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)的系數(shù)C最大，可得展開(kāi)式有11項(xiàng)，即2n10，n5.10展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r1CxxCx，令5r0可得r6，此時(shí)T7C210.3(2016保定期末)在(1x3)(1x)5的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)是()A10 B11C12 D15解析：選Bx3的系數(shù)是1C1C11.