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第一講 函數(shù)圖象與性質(zhì)
考點一 函數(shù)及其表示
1．函數(shù)的三要素
定義域、值域和對應關(guān)系是確定函數(shù)的三要素，是一個整體，研究函數(shù)問題務必遵循“定義域優(yōu)先”的原則．
2．分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于自變量的不同取值區(qū)間，有著不同的對應法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．
[對點訓練]
1．(2018廣東深圳一模)函數(shù)y＝的定義域為( )
A．(－2,1) B．[－2,1]
C．(0,1) D．(0,1]
[解析] 由題意得解得0
－3，故－31，排除C、D選項．故選B．
[答案] B
角度2：利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)(特別是單調(diào)性、最值、零點)、方程解的問題及解不等式、比較大小等
【例2】 設(shè)函數(shù)f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整數(shù)x0使得f(x0)<0，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
[解析]
設(shè)g(x)＝ex(2x－1)，h(x)＝ax－a，由題知存在唯一的整數(shù)x0，使得g(x0)0)
4．函數(shù)的對稱性
(1)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．
(2)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱．
(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱．
角度1：確認函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性及最值
【例1】 (2017北京卷)已知函數(shù)f(x)＝3x－x，則f(x)( )
A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)
B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)
C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)
D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)
[解析] 易知函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱．
∵f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－f(x)，
∴f(x)為奇函數(shù)．
又∵y＝3x在R上是增函數(shù)，y＝－x在R上是增函數(shù)，
∴f(x)＝3x－x在R上是增函數(shù)．故選A．
[答案] A
[快速審題] 看到奇偶性的判斷，想到用－x代x；看到單調(diào)性的判斷，想到函數(shù)的構(gòu)成．
角度2：綜合應用函數(shù)的性質(zhì)求值(取值范圍)、比較大小等，常與不等式相結(jié)合
[解析] ∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0]上單調(diào)遞增，∴f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞減．根據(jù)函數(shù)的對稱性，可得f(－)＝f()，
[答案] B
函數(shù)3個性質(zhì)的應用要領(lǐng)
(1)奇偶性：具有奇偶性的函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上其圖象、函數(shù)值、解析式和單調(diào)性聯(lián)系密切，研究問題時可轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上，這是簡化問題的一種途徑．尤其注意偶函數(shù)f(x)的性質(zhì)：f(|x|)＝f(x)．
(2)單調(diào)性：可以比較大小，求函數(shù)最值，解不等式，證明方程根的唯一性．
(3)周期性：利用周期性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)，把不在已知區(qū)間上的問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解．
[對點訓練]
1．[角度1](2018湖北荊州一模)下列函數(shù)是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)是增函數(shù)的是( )
A．y＝ex B．y＝tanx
C．y＝x3－x D．y＝ln
[解析] 函數(shù)y＝ex不是奇函數(shù)，不滿足題意；函數(shù)y＝tanx是奇函數(shù)，但在整個定義域內(nèi)不是增函數(shù)，不滿足題意；函數(shù)y＝x3－x是奇函數(shù)，當x∈時，y′＝3x2－1<0，為減函數(shù)，不滿足題意；函數(shù)y＝ln是奇函數(shù)，在定義域(－2,2)內(nèi)，函數(shù)t＝＝－1－為增函數(shù)，函數(shù)y＝lnt也為增函數(shù)，故函數(shù)y＝ln在定義域內(nèi)為增函數(shù)，滿足題意，故選D．
[答案] D
2．[角度2]已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則( )
A．f(－25)0，解得x<－或0，此時，f(x)遞減．由此可得f(x)的大致圖象．故選D．
[答案] D
3．(2017天津卷)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為( )
A．a(chǎn)0時，f(x)>f(0)＝0，當x1>x2>0時，f(x1)>f(x2)>0，∴x1f(x1)>x2f(x2)，∴g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且g(x)＝xf(x)是偶函數(shù)，∴a＝g(－log25.1)＝g(log25.1).21的x的取值范圍是________．
[解析] 當x>時，f(x)＋f＝2x＋2x－>2x>>1；
當02x>1；當x≤0時，f(x)＋f＝x＋1＋＋1＝2x＋，∴f(x)＋f>1?2x＋>1?x>－，即－f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(c)>f(a)>f(b) D．f(c)>f(b)>f(a)
[解析] 由題意易知f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，又
∵|a|＝lnπ>1，b＝(lnπ)2>|a|,0f(|a|)>f(b)．又由題意知f(a)＝f(|a|)，∴f(c)>f(a)>f(b)．故選C．
[答案] C
7．(2018山西四校二次聯(lián)考)“a≤0”是“函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
[解析] 當a＝0時，f(x)＝|x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當a<0時，由f(x)＝|(ax－1)x|＝0得x＝0或x＝<0，結(jié)合圖象知f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以充分性成立，反之必要性也成立．綜上所述，“a≤0”是“f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增”的充要條件，故選C．
[答案] C
8．(2018安徽淮北一模)函數(shù)f(x)＝＋ln|x|的圖象大致為( )
[解析] 當x<0時，函數(shù)f(x)＝＋ln(－x)，易知函數(shù)f(x)＝＋ln(－x)在(－∞，0)上遞減，排除C，D；當x>0時，函數(shù)f(x)＝＋lnx，f(2)＝＋ln2≠2，故排除A，選B．
[答案] B
9．(2018山東濟寧一模)已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，當x∈[0,1]時，f(x)＝2x－1.則f(2017)＋f(2018)的值為( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
[解析] ∵函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，由f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，得f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，∴f(4－x)＝－f(2－x)＝f(－x)，∴f(x)的周期T＝4.∵當x∈[0,1]時，f(x)＝2x－1.∴f(2017)＋f(2018)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(0)＝2－1＋1－1＝1.故選D．
[答案] D
10．如圖，已知l1⊥l2，圓心在l1上、半徑為1 m的圓O在t＝0時與l2相切于點A，圓O沿l1以1 m/s的速度勻速向上移動，圓被直線l2所截上方圓弧長記為x，令y＝cosx，則y與時間t(0≤t≤1，單位：s)的函數(shù)y＝f(t)的圖象大致為( )
[解析]
如圖，設(shè)∠MON＝α，由弧長公式知x＝α.
在Rt△AOM中，|AO|＝1－t，cos＝＝1－t，
∴y＝cosx＝2cos2－1＝2(1－t)2－1.又0≤t≤1，故選B．
[答案] B
11．(2018安徽池州模擬)已知函數(shù)的定義域為R，且滿足下列三個條件：
①對任意的x1，x2∈[4,8]，當x10；
②f(x＋4)＝－f(x)；
③y＝f(x＋4)是偶函數(shù)；
若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2017)，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是( )
A．a(chǎn)0，∴函數(shù)f(x)在[4,8]上單調(diào)遞增，∴b0時單調(diào)遞增，且f(1)＝0，若f(x－1)>0，則x的取值范圍為________．
[解析] ∵奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(1)＝0，∴函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，且f(－1)＝0，則－11時，f(x)>0；x<－1或00即－11，解得02.
[答案] (0,1)∪(2，＋∞)
16．(2018河南許昌二模)已知函數(shù)f(x)＝的最大值為M，最小值為m，則M＋m等于________．
[解析] f(x)＝＝2＋，
設(shè)g(x)＝，則g(－x)＝－g(x)(x∈R)，
∴g(x)為奇函數(shù)，∴g(x)max＋g(x)min＝0.
∵M＝f(x)max＝2＋g(x)max，
m＝f(x)min＝2＋g(x)min，
∴M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4.
[答案] 4
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