2021高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪課后限時(shí)集訓(xùn)：34 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 Word版含解析

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1、 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 建議用時(shí)：45分鐘 一、選擇題 1．若{an}為等差數(shù)列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，則公差d等于(　　) A．－2 B．－ C． D．2 B　[由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，則a1＝1.又由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－.故選B.] 2．(2019峨眉山模擬)在等差數(shù)列{an}中，a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的兩根，則數(shù)列{an}的前11項(xiàng)和等于(　　) A．66 B．132 C．－66 D．－132 D　[因?yàn)閍3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的兩根，所以a3＋a9＝－24，

2、 又a3＋a9＝－24＝2a6，所以a6＝－12， S11＝＝＝－132，故選D.] 3．?dāng)?shù)列{an}滿足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，則a3＋a4＋a5＝(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 D　[由2an＝an－1＋an＋1(n≥2)可知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，∴a2＋a4＋a6＝a3＋a4＋a5＝12.故選D.] 4．公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a6＝3a4，且S10＝λa4，則λ的值為(　　) A．15 B．21 C．23 D．25 D　[由題意得a1＋5d＝3(a1＋3d)，∴a1＝－2d. ∴λ＝

3、＝＝＝25，故選D.] 5．等差數(shù)列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，則其前n項(xiàng)和取最小值時(shí)的n的值為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 C　[∵|a6|＝|a11|且公差d>0， ∴a6＝－a11. ∴a6＋a11＝a8＋a9＝0， 且a8<0，a9>0 ∴a1

4、a1＝d，所以＝＝＝4.] 7．(2019江蘇高考)已知數(shù)列{an}(n∈N＋)是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，則S8的值是________． 16　[由題意可得： 解得 則S8＝8a1＋d＝－40＋282＝16.] 8．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，滿足a1＋5a3＝S8，給出下列結(jié)論： ①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0.其中一定正確的結(jié)論是________．(填序號(hào)) ①③　[a1＋5(a1＋2d)＝8a1＋28d， 所以a1＝－9d， a10＝a1＋9d＝0，故①正確； 由于d的符號(hào)未知，所以S

5、10不一定最大，故②錯(cuò)誤； S7＝7a1＋21d＝－42d，S12＝12a1＋66d＝－42d， 所以S7＝S12，故③正確； S20＝20a1＋190d＝10d，不一定為0，故④錯(cuò)誤． 所以正確的是①③.] 三、解答題 9．已知數(shù)列{an}滿足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝. (1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． [解]　(1)證明：∵－ ＝＝， ∴bn＋1－bn＝， ∴{bn}是等差數(shù)列． (2)由(1)及b1＝＝＝1. 知bn＝n＋， ∴an－1＝，∴an＝. 10．(2019全國(guó)卷

6、Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S9＝－a5. (1)若a3＝4，求{an}的通項(xiàng)公式； (2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范圍． [解]　(1)設(shè){an}的公差為d. 由S9＝－a5得a1＋4d＝0. 由a3＝4得a1＋2d＝4. 于是a1＝8，d＝－2. 因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an＝10－2n. (2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d， Sn＝. 由a1>0知d<0，故Sn≥an等價(jià)于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范圍是{n|1≤n≤10，n∈N＋}． 1．(2019開福區(qū)校級(jí)模擬)《周髀算經(jīng)》中有這樣一

7、個(gè)問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為31.5尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為85.5尺，則芒種日影長(zhǎng)為(　　) A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺 B　[設(shè)此等差數(shù)列{an}的公差為d， 則a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5,9a1＋d＝85.5， 解得d＝－1，a1＝13.5.則a12＝13.5－11＝2.5.故選B.] 2．(2019深圳模擬)若{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1＞0.a2 018＋a2 019＞0，a2 018a2 019＜0，則使

8、前n項(xiàng)和Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是(　　) A．2 018 B．2 019 C．4 036 D．4 037 C　[{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1＞0.a2 018＋a2 019＞0，a2 018a2 019＜0，所以{an}是遞減的等差數(shù)列，且a2 018＞0，a2 019＜0，因?yàn)閍2 018＋a2 019＝a1＋a4 036＞0， 2a2 019＝a1＋a4 037＞0， ∴S4 036＝4 036＞0，S4 037＝4 037＜0， 所以使前n項(xiàng)和Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是4 036.故選C.] 3．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則

9、Sn＝________. －　[∵an＋1＝Sn＋1－Sn， ∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn， 又由a1＝－1，知Sn≠0， ∴－＝1， ∴是等差數(shù)列，且公差為－1，而＝＝－1， ∴＝－1＋(n－1)(－1)＝－n， ∴Sn＝－.] 4．已知一次函數(shù)f(x)＝x＋8－2n. (1)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{an}，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列； (2)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖像與y軸的交點(diǎn)到x軸的距離構(gòu)成數(shù)列{bn}，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. [解]　(1)證明：由題意得an＝8－2n， 因?yàn)閍n＋1－an＝8－2(n＋1)－8＋2n＝－2

10、，且a1＝8－2＝6， 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為6，公差為－2的等差數(shù)列． (2)由題意得bn＝|8－2n|. 由b1＝6，b2＝4，b3＝2，b4＝0，b5＝2， 可知此數(shù)列前4項(xiàng)是首項(xiàng)為6，公差為－2的等差數(shù)列，從第5項(xiàng)起，是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列． 所以當(dāng)n≤4時(shí)，Sn＝6n＋(－2)＝－n2＋7n， 當(dāng)n≥5時(shí)，Sn＝S4＋(n－4)2＋2＝n2－7n＋24. 故Sn＝ 1．在數(shù)列{an}中，a1＝2，其前n項(xiàng)和為Sn.若點(diǎn)在直線y＝2x－1上，則a9等于(　　) A．1 290 B．1 280 C．1 281 D．1 821 C　[由已知可得－1＝2，

11、 又－1＝a1－1＝1， 所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列， 所以－1＝2n－1，得Sn＝n(1＋2n－1)， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2n－2＋1， 故 a9＝10128＋1＝1 281.] 2．等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝[an]，求數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[2.6]＝2. [解]　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由題意有 2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3. 解得a1＝1，d＝. 所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝. (2)由(1)知，bn＝. 當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，1≤＜2，bn＝1； 當(dāng)n＝4,5時(shí)，2≤＜3，bn＝2； 當(dāng)n＝6,7,8時(shí)，3≤＜4，bn＝3； 當(dāng)n＝9,10時(shí)，4≤＜5，bn＝4. 所以數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和為13＋22＋33＋42＝24.