《數(shù)學(xué)廣角──植樹(shù)問(wèn)題》課標(biāo)解讀7頁(yè)

數(shù)學(xué)廣角植樹(shù)問(wèn)題課標(biāo)解讀 一、課標(biāo)要求義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）在“總目標(biāo)”中提出了“在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法”“學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式”。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）在“學(xué)段目標(biāo)”的“第二學(xué)段”中提出“嘗試從日常生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并運(yùn)用一些知識(shí)加以解決”“能探索分析和解決簡(jiǎn)單問(wèn)題的有效方法，了解解決問(wèn)題方法的多樣性”。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）在“課程內(nèi)容”的“第二學(xué)段”中提出“通過(guò)應(yīng)用和反思，進(jìn)一步理解所用的知識(shí)和方法，了解所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。 二、課標(biāo)解讀教材中設(shè)置“數(shù)學(xué)廣角”單元教學(xué)內(nèi)容的目的不是教會(huì)學(xué)生機(jī)械的公式和抽象的模型，而是讓學(xué)生體驗(yàn)探索建立模型的過(guò)程和數(shù)學(xué)思想方法。在本冊(cè)的“數(shù)學(xué)廣角植樹(shù)問(wèn)題”的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、猜測(cè)、試驗(yàn)、推理等活動(dòng)，初步體會(huì)解決植樹(shù)問(wèn)題的思想方法（模型思想），培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中探索解決問(wèn)題有效方法的能力。在教學(xué)植樹(shù)問(wèn)題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題情境，從簡(jiǎn)單的情況入手，在解決問(wèn)題的分析、思考過(guò)程中，逐步發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律，經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。（一）在觀察、猜測(cè)、試驗(yàn)、推理等活動(dòng)中體會(huì)解決基本的思想方法小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)體系貫穿著兩條主線：數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)知識(shí)是一條明線，直接呈現(xiàn)在教材上；而數(shù)學(xué)思想方法則是一條暗線，隱藏在知識(shí)的背后?！皵?shù)學(xué)廣角”中的“植樹(shù)問(wèn)題”，承載了基本的數(shù)學(xué)思想方法“化繁為簡(jiǎn)”“數(shù)形結(jié)合”“一一對(duì)應(yīng)”和“數(shù)學(xué)建?！钡龋箤W(xué)生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抽取出其中的數(shù)學(xué)模型（點(diǎn)段關(guān)系），然后再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來(lái)解決生活中的一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。1在困頓中感悟“化歸”的思想人們?cè)诿鎸?duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果直接應(yīng)用已有知識(shí)不能或不易解決該問(wèn)題時(shí)，往往將需要解決的問(wèn)題不斷轉(zhuǎn)化形式，把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的問(wèn)題，最終使原問(wèn)題得到解決，這種思想方法稱為化歸（轉(zhuǎn)化）思想。在教學(xué)例1中，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“100米一共要栽多少棵樹(shù)”進(jìn)行驗(yàn)證，在畫(huà)圖時(shí)引發(fā)困惑，數(shù)字太大，不可能全部畫(huà)下來(lái)，或是太麻煩、太浪費(fèi)時(shí)間了。在學(xué)生有所體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，就此向?qū)W生滲透復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的思想，讓學(xué)生選擇短距離（20米），用畫(huà)圖的方式得出結(jié)果。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)猜想、實(shí)驗(yàn)、推理、交流等活動(dòng)，既培養(yǎng)了數(shù)學(xué)思想能力，學(xué)會(huì)了一些解決問(wèn)題的方法，又逐步形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和精神。2在探究中滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想數(shù)形結(jié)合是小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的、重要的一種數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)即通過(guò)數(shù)形之間的相互轉(zhuǎn)化，把抽象的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)形象化的方法轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膱D形，從圖形的結(jié)構(gòu)直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的內(nèi)在聯(lián)系，解決數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這是數(shù)形結(jié)合思想。本冊(cè)的“數(shù)學(xué)廣角植樹(shù)問(wèn)題”把從直觀圖形支持下得到的模型應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中，溝通圖形、表格及具體數(shù)量之間的聯(lián)系，強(qiáng)化對(duì)題意的理解。教師可以組織學(xué)生在課堂上“模擬植樹(shù)”。用 “_”代表一段路，用“”代表一棵樹(shù)，畫(huà)“”就表示種了一棵樹(shù)。關(guān)于在20米長(zhǎng)的路可以栽多少棵樹(shù)的問(wèn)題，讓學(xué)生自己動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)。學(xué)生根據(jù)圖示，很容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。再?gòu)膫€(gè)別的、簡(jiǎn)單的幾個(gè)例子出發(fā)，逐步過(guò)渡到復(fù)雜的、更一般的情境中，是數(shù)學(xué)中常用的推理方法。這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合將文字信息與學(xué)習(xí)基礎(chǔ)結(jié)合起來(lái)，使得學(xué)習(xí)得以繼續(xù)，使得學(xué)生思維發(fā)展有了基礎(chǔ)，也使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想方法真正得以滲透。因此，數(shù)形結(jié)合能不失時(shí)機(jī)地為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)男蜗蟛牧?，可以將抽象的?shù)量關(guān)系具體化，把無(wú)形的解題思路形象化。3在抽象中明晰“一一對(duì)應(yīng)”思想本冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角植樹(shù)問(wèn)題”的教學(xué)，通常有兩種教學(xué)思路：一種思路是通過(guò)教材主題圖中得三組實(shí)例歸納出規(guī)律，利用畫(huà)圖、小棒或圓片的排列來(lái)驗(yàn)證規(guī)律，進(jìn)而結(jié)合生活實(shí)際應(yīng)用規(guī)律。這種教學(xué)邏輯性強(qiáng)，規(guī)律揭示很順暢，但是從教學(xué)效果看，學(xué)生雖然能夠“熟記”規(guī)律，卻不能靈活解決諸如“封閉、不封閉”“兩端都栽、只栽一端、兩端都不栽”這類問(wèn)題，更不能用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)統(tǒng)領(lǐng)“間隔排列”的現(xiàn)象。另一種思路是在深入鉆研教材的基礎(chǔ)上，真正把握“間隔排列”的實(shí)質(zhì)：兩種物體間隔排列，這兩種物體的排列一一對(duì)應(yīng)。對(duì)應(yīng)，是間隔排列的本質(zhì)。課堂教學(xué)中，通過(guò)“感知對(duì)應(yīng)現(xiàn)象激活對(duì)應(yīng)思想建構(gòu)對(duì)應(yīng)思想升華對(duì)應(yīng)思想”層層深入的教學(xué)行為，抓住蘊(yùn)含在教材中得一一對(duì)應(yīng)思想，有效統(tǒng)領(lǐng)種種紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象，使學(xué)生真正感知了一一間隔排列的特點(diǎn)，掃清了思維上的障礙，層層推進(jìn)認(rèn)識(shí)的完善和引申。4在運(yùn)用中體驗(yàn)“模型思想”義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）中提出：在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生感悟建模過(guò)程，發(fā)展“模型思想”。“數(shù)學(xué)模型”是數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)式子以及數(shù)量關(guān)系對(duì)現(xiàn)實(shí)原型簡(jiǎn)化的本質(zhì)的描述。模型思想的教學(xué)，不是作為像具體數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)那樣可以單獨(dú)作為一個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容來(lái)進(jìn)行專門(mén)教學(xué)，而是融入到具體數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生在經(jīng)歷“問(wèn)題情境建立模型解決問(wèn)題拓展運(yùn)用”的學(xué)習(xí)過(guò)程中逐漸領(lǐng)悟的。在本冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角植樹(shù)問(wèn)題”的教學(xué)中，教材以“猜想試誤合作探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律（建立模型）深化規(guī)律（再次建模）解釋運(yùn)用”為主線，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題實(shí)質(zhì)，為后面解決問(wèn)題奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生在經(jīng)歷了實(shí)物操作、圖示表達(dá)、抽象概括等程序，逐層提升，拾級(jí)而上，一步一步地從生活向數(shù)學(xué)的內(nèi)核逼近。在數(shù)學(xué)抽象時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生逐層深入地進(jìn)行推理研究，從“20米、30米、35米、100米”，讓學(xué)生聯(lián)想到“點(diǎn)數(shù)比段數(shù)多1”，從而建立起“點(diǎn)線”間關(guān)系模型。舉一反三，觸類旁通。最后，引導(dǎo)學(xué)生用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律去解決更多的實(shí)際問(wèn)題（兩端都不栽的情況和只栽一端的情況）。這樣的教學(xué)，也正體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與運(yùn)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展”的要求。（二）在觀察、猜測(cè)、試驗(yàn)、推理等活動(dòng)中積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）中提出：數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的結(jié)果。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在“學(xué)生主動(dòng)地從事觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流”等數(shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行的。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的產(chǎn)物，也是學(xué)生認(rèn)識(shí)和實(shí)踐的基礎(chǔ)。1經(jīng)歷觀察、操作過(guò)程，積累體驗(yàn)性經(jīng)驗(yàn) 在教學(xué)“數(shù)學(xué)廣角”時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證，進(jìn)行動(dòng)手操作（如擺、畫(huà)、做等），讓學(xué)生逐漸地意會(huì)、體驗(yàn)、感悟。為了讓學(xué)生“動(dòng)”起來(lái)，在“動(dòng)”的過(guò)程中體驗(yàn)知識(shí)的形成過(guò)程，教材不斷地提出問(wèn)題，抓住數(shù)量關(guān)系做重點(diǎn)分析。放手讓學(xué)生想一想、畫(huà)一畫(huà)、說(shuō)一說(shuō)，既滿足了學(xué)生的表現(xiàn)欲望，又培養(yǎng)了學(xué)生自主探究的能力，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給了學(xué)生。學(xué)生對(duì)植樹(shù)棵數(shù)和段數(shù)的關(guān)系有了初步的感性認(rèn)識(shí)后，讓學(xué)生再任意畫(huà)一畫(huà)、種一種，更豐富了學(xué)生的感性材料，為學(xué)生順利發(fā)現(xiàn)并總結(jié)規(guī)律打下了基礎(chǔ)。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生慢慢積累分析和解決問(wèn)題的一些經(jīng)驗(yàn)，然后將這些經(jīng)驗(yàn)遷移運(yùn)用到后面的數(shù)學(xué)活動(dòng)中。而這些經(jīng)驗(yàn)是我們老師沒(méi)法“教”給學(xué)生的，必須由學(xué)生經(jīng)歷大量的數(shù)學(xué)活動(dòng)逐步獲得，也就是我們以前常說(shuō)的“做中學(xué)”之后所留下的，有關(guān)數(shù)學(xué)活動(dòng)的直接感受、體驗(yàn)和個(gè)人感悟。2經(jīng)歷探究、思考過(guò)程，積累方法性經(jīng)驗(yàn)這里的“探究”指的是融行為操作與思維操作于一體的活動(dòng)。本冊(cè)的“數(shù)學(xué)廣角植樹(shù)問(wèn)題”教材編者意圖是讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)“化繁為簡(jiǎn)”的思想，并通過(guò)各種活動(dòng)，借助直觀圖理解“間隔數(shù)與棵數(shù)”之間的數(shù)量關(guān)系。如“100米太長(zhǎng)了，怎么辦？”“如果小路長(zhǎng)度不是20米了，樹(shù)的棵數(shù)又發(fā)生了什么變化呢？”“25米、30呢？”“不畫(huà)了，你發(fā)現(xiàn)了什么？”不斷提出新的要求，產(chǎn)生新的矛盾，使學(xué)生的思維處于碰撞之中，掌握解決問(wèn)題的有效方法。3經(jīng)歷概括、反思過(guò)程，積累“數(shù)學(xué)地思考”的經(jīng)驗(yàn)概括是形成和掌握概念的直接前提。如果沒(méi)有概括，就無(wú)法進(jìn)行邏輯推理，思維的深刻性和批判性就無(wú)從談起；沒(méi)有概括，就不可能產(chǎn)生靈活的遷移，思維的靈活性和創(chuàng)造性就無(wú)法形成；沒(méi)有概括，就無(wú)法實(shí)現(xiàn)思維的“縮減”與“濃縮”，思維的敏捷性也就無(wú)從體現(xiàn)，學(xué)生掌握概念，直接受思維概括水平的制約。教師教學(xué)時(shí)可以在課堂中讓學(xué)生根據(jù)自己的體驗(yàn)，用自己的思維方式去探究，去發(fā)現(xiàn)，再反饋結(jié)果，根據(jù)不同的結(jié)果進(jìn)行交流、討論。通過(guò)學(xué)生的觀察、思考、交流，在獲得直接經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上感受“一一對(duì)應(yīng)”的思想方法是教學(xué)活動(dòng)重中之重。經(jīng)過(guò)學(xué)生的探討之后，教師再引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)模型（棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系），接著再用抽象出來(lái)的模型解決一般性的問(wèn)題，最后再遷移、變通。