3示范教案13集合的基本運算第1課時

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1、 或 1.1.3 集合的基本運算 整體設計 教學分析 課本從學生熟悉的集合出發(fā),結合實例,通過類比實數(shù)加法運算引入集合間的運算,同時,結合相關內容介紹子集和全集等概念.在安排這部分內容時,課本繼續(xù)注重體現(xiàn)邏輯思考的方法,如類比等. 值得注意的問題:在全集和補集的教學中,應注意利用圖形的直觀作用,幫助學生理解補集的概念,并能夠用直觀圖進行求補集的運算. 三維目標 1.理解兩個集合的并集與交集、全集的含義,掌握求兩個簡單集合的交集與并集的方法,會求給定子集的補集,感受集合作為一種語言,在表示數(shù)學內容時的簡潔和準確,進一步提高類比的能力. 2.通過觀察和類比,借助Venn圖理解集

2、合的基本運算.體會直觀圖示對理解抽象概念的作用,培養(yǎng)數(shù)形結合的思想. 重點難點 教學重點:交集與并集,全集與補集的概念. 教學難點:理解交集與并集的概念,以及符號之間的區(qū)別與聯(lián)系. 課時安排 2課時 教學過程 第1課時 導入新課 思路1.我們知道,實數(shù)有加法運算,兩個實數(shù)可以相加,例如5+3=8.類比實數(shù)的加法運算,集合是否也可以“相加”呢? 教師直接點出課題. 思路2.請同學們考察下列各個集合,你能說出集合C與集合A、B之間的關系嗎? (1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6}; (2)A={x|x是有理數(shù)},B={x|x是無理數(shù)}

3、,C={x|x是實數(shù)}. 引導學生通過觀察、類比、思考和交流,得出結論.教師強調集合也有運算,這就是我們本節(jié)課所要學習的內容. 思路3.(1)①如圖1131甲和乙所示,觀察兩個圖的陰影部分,它們分別同集合A、集合B有什么關系？ 圖1-1-3-1 ②觀察集合A與B與集合C={1,2,3,4}之間的關系. 學生思考交流并回答,教師直接指出這就是本節(jié)課學習的課題:集合的運算. (2)①已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},寫出由集合A,B中的所有元素組成的集合C. ②已知集合A={x|x>1},B={x|x<0},在數(shù)軸上表示出集合A與B,并寫出由集合A與B中的所有元素組

4、成的集合C. 推進新課 新知探究 提出問題 ①通過上述問題中集合A與B與集合C之間的關系,類比實數(shù)的加法運算,你發(fā)現(xiàn)了什么？ ②用文字語言來敘述上述問題中,集合A與B與集合C之間的關系. ③用數(shù)學符號來敘述上述問題中,集合A與B與集合C之間的關系. ④試用Venn圖表示A∪B=C. ⑤請給出集合的并集定義. ⑥求集合的并集是集合間的一種運算,那么,集合間還有其他運算嗎？ 請同學們考察下面的問題,集合A與B與集合C之間有什么關系？ (ⅰ)A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8}; (ⅱ)A={x|x是國興中學2007年9月入學的高一年級女同學},

5、B={x|x是國興中學2007年9月入學的高一年級男同學},C={x|x是國興中學2007年9月入學的高一年級同學}. ⑦類比集合的并集,請給出集合的交集定義？并分別用三種不同的語言形式來表達. 活動：先讓學生思考或討論問題,然后再回答,經教師提示、點撥,并對回答正確的學生及時表揚,對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路,主要引導學生發(fā)現(xiàn)集合的并集和交集運算并能用數(shù)學符號來刻畫,用Venn圖來顯示. 討論結果： ①集合之間也可以相加,也可以進行運算,但是為了不和實數(shù)的運算相混淆,規(guī)定這種運算不叫集合的加法,而是叫做求集合的并集.集合C叫集合A與B的并集.記為A∪B=C,讀作A并B.

6、 ②所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成了集合C. ③C={x|x∈A,或x∈B}. ④如圖1131所示. ⑤一般地,由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合,稱為集合A與B的并集.其含義用符號表示為A∪B={x|x∈A,或x∈B},用Venn圖表示,如圖1131所示. ⑥集合之間還可以求它們的公共元素組成集合的運算,這種運算叫求集合的交集,記作A∩B,讀作A交B.(ⅰ)A∩B=C,(ⅱ)A∪B=C. ⑦一般地,由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合,稱為A與B的交集. 其含義用符號表示為: A∩B={x|x∈A,且x∈B}. 用Venn圖表示,如圖1132所示.

7、 圖1-1-3-2 應用示例 思路1 1.設A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B,A∩B. 圖1-1-3-3 活動：讓學生回顧集合的表示法和交集、并集的含義,由于本例題難度較小,讓學生自己解決,重點是總結集合運算的方法.根據(jù)集合并集、交集的含義,借助于Venn圖寫出.觀察這兩個集合中的元素,或用Venn圖來表示,如圖1133所示. 解：A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.A∩B={4,5,6,8}∩{3,5,7,8}={5,8}. 點評：本題主要考查集合的并集和交集.用列舉法表示的集合,運算時常利用Venn圖或

8、直接觀察得到結果. 本題易錯解為A∪B={3,4,5,5,6,7,8,8}.其原因是忽視了集合元素的互異性.解決集合問題要遵守集合元素的三條性質. 變式訓練 1.集合M={1,2,3},N={-1,5,6,7},則M∪N=________.M∩N=________. 答案：{-1,1,2,3,5,6,7} 2.集合P={1,2,3,m},M={m2,3},P∪M={1,2,3,m},則m=_________. 分析:由題意得m2=1或2或m,解得m=-1,1,,,0.因m=1不合題意,故舍去. 答案：-1,,,0 3.2007河南實驗中學月考,理1滿足A∪B={0,2}的集

9、合A與B的組數(shù)為 ( ) A.2 B.5 C.7 D.9 分析:∵A∪B={0,2},∴A{0,2}.則A=或A={0}或A={2}或A={0,2}.當A=時,B={0,2};當A={0}時,則集合B={2}或{0,2};當A={2}時,則集合B={0}或{0,2};當A={0,2}時,則集合B=或{0}或{2}或{0,2},則滿足條件的集合A與B的組數(shù)為1+2+2+4=9. 答案：D 4.2006遼寧高考,理2設集合A={1,2},則滿足A∪B={1,2,3}的集合B的個數(shù)是 ( )

10、 A.1 B.3 C.4 D.8 分析:轉化為求集合A子集的個數(shù).很明顯3A,又A∪B={1,2,3},必有3∈B,即集合B中至少有一個元素3,其他元素來自集合A中,則集合B的個數(shù)等于A={1,2}的子集個數(shù),又集合A中含有22=4個元素,則集合A有22=4個子集,所以滿足條件的集合B共有4個. 答案：C 2.設A={x|-1

11、：將A={x|-10},求A∪B,A∩B. 答案：A∪B=R,A∩B={x|2

12、 答案：A∪B={3,2},A∩B=. 3.2007惠州高三第一次調研考試,文1設集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},則A∩B等于( ) A.［0,2］ B.［1,2］ C.［0,4］ D.［1,4］ 分析:在同一條數(shù)軸上表示出集合A、B,如圖1135所示.由圖得A∩B=［0,2］. 圖1-1-3-5 答案：A 課本P11例6、例7. 思路2 1.A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},則A∩B,B∪C,A∩B∩C分別是什么? 活動： 學生先思考集合中元素特征,明確集合中的元素

13、.將集合中元素利用數(shù)形結合在數(shù)軸上找到,那么運算結果尋求就易進行.這三個集合都是用描述法表示的數(shù)集,求集合的并集和交集的關鍵是找出它們的公共元素和所有元素. 解：因A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},在數(shù)軸上表示,如圖1136所示,所以A∩B={x|00},A∩B∩C=. 圖1-1-3-6 點評：本題主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集時,①明確集合中的元素;②依據(jù)并集和交集的含義,借助于直觀(數(shù)軸或Venn圖)寫出結果. 變式訓練 1.設A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N},求A∩B,A

14、∪B. 解：對任意m∈A,則有m=2n=22n-1,n∈N*,因n∈N*,故n-1∈N,有2n-1∈N,那么m∈B, 即對任意m∈A有m∈B,所以AB. 而10∈B但10A,即AB,那么A∩B=A,A∪B=B. 2.求滿足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的個數(shù). 解：滿足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3,B={3};還可含1或2其中一個,有{1,3},{2,3};還可含1和2,即{1,2,3},那么共有4個滿足條件的集合B. 3.設A={-4,2,a-1,a2},B={9,a-5,1-a},已知A∩B={9},求a. 解：因A∩B={9},則9∈A,a-

15、1=9或a2=9, a=10或a=3, 當a=10時,a-5=5,1-a=-9; 當a=3時,a-1=2不合題意. 當a=-3時,a-1=-4不合題意. 故a=10,此時A={-4,2,9,100},B={9,5,-9},滿足A∩B={9}. 4.2006北京高考,文1設集合A={x|2x+1<3},B={x|-3-3} D.{x|x<1} 分析:集合A={x|2x+1<3}={x|x<1}, 觀察或由數(shù)軸得

16、A∩B={x|-3

17、解, 則Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1. 當B≠時,若集合B僅含有一個元素,則Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1, 此時,B={x|x2=0}={0}A,即a=-1符合題意. 若集合B含有兩個元素,則這兩個元素是-4,0, 即關于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0. 則有 解得a=1,則a=1符合題意. 綜上所得,a=1或a≤-1. 變式訓練 1.已知非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},則能使A(A∩B)成立的所有a值的集合是什么？ 解：由題意知A(A∩B),即AB,A非空,利

18、用數(shù)軸得解得6≤a≤9, 即所有a值的集合是{a|6≤a≤9}. 2.已知集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m-1},且A∪B=A,試求實數(shù)m的取值范圍. 分析:由A∪B=A得BA,則有B=或B≠,因此對集合B分類討論. 解：∵A∪B=A,∴BA. 又∵A={x|-2≤x≤5}≠,∴B=,或B≠. 當B=時,有m+1>2m-1,∴m<2. 當B≠時,觀察圖1-1-3-7: 圖1-1-3-7 由數(shù)軸可得解得-2≤m≤3. 綜上所述,實數(shù)m的取值范圍是m<2或-2≤m≤3,即m≤3. 點評：本題主要考查集合的運算、分類討論的思想,以及集合間關系的應用.

19、已知兩個集合的運算結果,求集合中參數(shù)的值時,由集合的運算結果確定它們的關系,通過深刻理解集合表示法的轉換,把相關問題化歸為其他常見的方程、不等式等數(shù)學問題.這稱為數(shù)學的化歸思想,是數(shù)學中的常用方法,學會應用化歸和分類討論的數(shù)學思想方法解決有關問題. 知能訓練 課本P11練習1、2、3. 【補充練習】 1.設a={3,5,6,8},B={4,5,7,8}, (1)求A∩B,A∪B. (2)用適當?shù)姆?、)填空: A∩B________A,B________A∩B,A∪B________A,A∪B________B,A∩B________A∪B. 解：(1)因A、B的公共元素為5

20、、8,故兩集合的公共部分為5、8, 則A∩B={3,5,6,8}∩{4,5,7,8}={5,8}. 又A、B兩集合的元素3、4、5、6、7、8, 故A∪B={3,4,5,6,7,8}. (2)由文氏圖可知 A∩BA,BA∩B,A∪BA,A∪BB,A∩BA∪B. 2.設A={x|x<5},B={x|x≥0},求A∩B. 解：因x<5及x≥0的公共部分為0≤x<5, 故A∩B={x|x<5}∩{x|x≥0}={x|0≤x<5}. 3.設A={x|x是銳角三角形},B={x|x是鈍角三角形},求A∩B. 解：因三角形按角分類時,銳角三角形和鈍角三角形彼此孤立.故A、B兩集合沒有公

21、共部分. 所以A∩B={x|x是銳角三角形}∩{x|x是鈍角三角形}=. 4.設A={x|x>-2},B={x|x≥3},求A∪B. 解：在數(shù)軸上將A、B分別表示出來,得A∪B={x|x>-2}. 5.設A={x|x是平行四邊形},B={x|x是矩形},求A∪B. 解：因矩形是平行四邊形,故由A及B的元素組成的集合為A∪B,A∪B={x|x是平行四邊形}. 6.已知M={1},N={1,2},設A={(x,y)|x∈M,y∈N},B={(x,y)|x∈N,y∈M},求A∩B,A∪B. 分析:M、N中元素是數(shù).A、B中元素是平面內點集,關鍵是找其元素. 解：∵M={1},N={1

22、,2},則A={(1,1),(1,2)},B={(1,1),(2,1)},故A∩B={(1,1)},A∪B={(1,1),(1,2), (2,1)}. 7.2006江蘇高考,7若A、B、C為三個集合,A∪B=B∩C,則一定有( ) A.AC B.CA C.A≠C D.A= 分析:思路一:∵(B∩C)B,(B∩C)C,A∪B=B∩C, ∴A∪BB,A∪BC.∴ABC.∴AC. 思路二:取滿足條件的A={1},B={1,2},C={1,2,3},排除B、D, 令A={1,2},B={1,2},C={1,2},則此時也滿足條

23、件A∪B=B∩C, 而此時A=C,排除C. 答案：A 拓展提升 觀察：(1)集合A={1,2},B={1,2,3,4}時,A∩B,A∪B這兩個運算結果與集合A,B的關系; (2)當A=時,A∩B,A∪B這兩個運算結果與集合A,B的關系; (3)當A=B={1,2}時,A∩B,A∪B這兩個運算結果與集合A,B的關系. 由(1)(2)(3)你發(fā)現(xiàn)了什么結論？ 活動：依據(jù)集合的交集和并集的含義寫出運算結果,并觀察與集合A,B的關系.用Venn圖來發(fā)現(xiàn)運算結果與集合A,B的關系.(1)(2)(3)中的集合A,B均滿足AB,用Venn圖表示,如圖1138所示,就可以發(fā)現(xiàn)A∩B,A∪B與集

24、合A,B的關系. 圖1-1-3-8 解：A∩B=AABA∪B=B. 可用類似方法,可以得到集合的運算性質,歸納如下: A∪B=B∪A,A(A∪B),B(A∪B);A∪A=A,A∪=A,ABA∪B=B; A∩B=B∩A;(A∩B)A,(A∩B)B;A∩A=A;A∩=;ABA∩B=A. 課堂小結 本節(jié)主要學習了: 1.集合的交集和并集. 2.通常借助于數(shù)軸或Venn圖來求交集和并集. 作業(yè) 1.課外思考:對于集合的基本運算,你能得出哪些運算規(guī)律？ 2.請你舉出現(xiàn)實生活中的一個實例,并說明其并集、交集和補集的現(xiàn)實含義. 3.書面作業(yè):課本P12習題1.1A組6、7、8. 設計感想 由于本節(jié)課內容比較容易接受,也是歷年高考的必考內容之一,所以在教學設計上注重加強練習和拓展課本內容.設計中通過借助于數(shù)軸或Venn圖寫出集合運算的結果,這是突破本節(jié)教學難點的有效方法. (設計者：尚大志) 中鴻智業(yè)信息技術有限公司