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1、
第11課時(shí) 5.4 算法案例
重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：通過(guò)案例分析，體會(huì)算法思想，熟練算法設(shè)計(jì)，進(jìn)一步理解算法的基本思想，發(fā)展有條理的思考和表達(dá)能力，提高邏輯思維能力。
難點(diǎn)：在分析案例的過(guò)程中設(shè)計(jì)規(guī)范合理的算法學(xué)習(xí)要求
1．理解剩余定理的內(nèi)涵
2．能利用剩余定理解決“韓信點(diǎn)兵—孫子問(wèn)題”
【課堂互動(dòng)】
歷史背景：
韓信是秦末漢初的著名軍事家，據(jù)說(shuō)有一次漢高祖劉邦在衛(wèi)士的簇?fù)硐聛?lái)到練兵場(chǎng)，劉邦問(wèn)韓信有什么辦法，不要逐個(gè)報(bào)數(shù)，就能知道場(chǎng)上士兵的人數(shù)。
韓信先令士兵排成3列縱隊(duì)，結(jié)果有2人多余；接著他立刻下令將隊(duì)形改為5列縱隊(duì)，這一改，又多出3人；隨后他又下令改為7列縱隊(duì)，這
2、一次又剩下2人無(wú)法成整行。韓信看此情形，立刻報(bào)告共有士兵2333人。
眾人都愣了，不知韓信用什么辦法清點(diǎn)出準(zhǔn)確人數(shù)的。
這個(gè)故事是否屬實(shí)，已無(wú)從查考，但這個(gè)故事卻引出一個(gè)著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題，即聞名世界的“孫子問(wèn)題”。
這種神機(jī)妙算，最早出現(xiàn)在我國(guó)《算經(jīng)十書(shū)》之一的《孫子算經(jīng)》中，原文是：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？答曰：二十三。”
所以人們將這種問(wèn)題的通用解法稱為“孫子剩余定理”。
【解析】
“孫子問(wèn)題”相當(dāng)于求關(guān)于x，y，z的不定方程組
的正整數(shù)解。
根據(jù)題意，m應(yīng)該滿足三個(gè)條件：
（1）m被3除后余2，即
（2）m被5除后余3，即
3、
（3）m被7除后余2，即
在自然數(shù)中可能存在滿足條件的數(shù)，首先讓m=2開(kāi)始檢驗(yàn)條件，若三個(gè)條件中有任何一個(gè)不滿足，則檢驗(yàn)下一個(gè)數(shù)，即m遞增1，如此循環(huán)下去，一直到m滿足三個(gè)條件為止。
這種解決問(wèn)題的方法也稱為“窮舉法”，這種方法在利用計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題時(shí)非常有效，因?yàn)橛?jì)算機(jī)最擅長(zhǎng)重復(fù)機(jī)械的操作。
【流程圖】
N
Y
m←m+1
結(jié)束
輸出m
開(kāi)始
1
m←2
【偽代碼】
m←2
End While
Print m
4、
【思考】
上述算法只能求出最小的滿足條件的數(shù)，如果要求出10個(gè)滿足條件的數(shù)，程序要做何修改？
你能否用數(shù)學(xué)上最小公倍數(shù)的知識(shí)分析出解決該問(wèn)題的方法嗎？
可以這樣考慮：5和7的公倍數(shù)中能被3除余2的最小的公倍數(shù)是35；3和7的公倍數(shù)中能被5除余3的最小的公倍數(shù)是63；3和5的公倍數(shù)中能被7除余2的最小的公倍數(shù)是30；因此滿足條件的其中的一個(gè)數(shù)就應(yīng)是35+63+30，為128，若減去3、5、7的最小公倍數(shù)105得23，23就是滿足題目要求的最小的數(shù)。
你能畫(huà)出這種算法的流程圖嗎？
【解】算法流程圖如下:
輸出
且
且
開(kāi)始
結(jié)束
5、
經(jīng)典范例
例 古今中外，許多人致力于圓周率的研究與計(jì)算。我國(guó)東漢的數(shù)學(xué)家劉徽利用“割圓術(shù)”計(jì)算圓的面積及圓周率?！案顖A術(shù)”被稱為千古絕技，它的原理是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去逼近圓的面積。具體計(jì)算如下：
在單位圓內(nèi)作正六邊形，其面積記為A1，邊長(zhǎng)為a1，在此基礎(chǔ)上作圓內(nèi)接十二邊形，面積記為A2，邊長(zhǎng)為a2,……，一直做下去，記該圓的內(nèi)接正邊形面積為，邊長(zhǎng)為。由于所考慮的是單位圓，計(jì)算出的的值即是圓周率的一個(gè)近似值，且越大，與圓周率越接近。你能否設(shè)計(jì)一個(gè)算法，計(jì)算圓周率的近似值？
思路點(diǎn)撥:畫(huà)圖可知，，，
【解】算法步驟如下：
6、
【追蹤訓(xùn)練】
1. 是一正整數(shù),對(duì)兩個(gè)正整數(shù),若是的倍數(shù),則稱模同余,用符號(hào)表示.則中,的取值可能為 ( )
A.11 B.22 C.27 D.32
2.有一堆圍棋子,五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù),最后余下2個(gè)；七個(gè)七個(gè)地?cái)?shù),最后余下3個(gè)；九個(gè)九個(gè)地?cái)?shù),最后余下4個(gè).請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種算法,求出這堆棋子至少有多少個(gè).
【解】 算法如下:
3.（李白買(mǎi)酒)無(wú)事街上走，提壺去買(mǎi)酒，遇店加一倍，見(jiàn)花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中酒．設(shè)計(jì)求酒壺中原有多少酒的一個(gè)算法并寫(xiě)出偽代碼．
【解】 算法如下:
4.求方程(其中為自然數(shù))的所有小于100的的正整數(shù)解.
【解】 算法如下:
4
用心 愛(ài)心 專心
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