線性方程組求解的數(shù)值方法.ppt

第三章線性方程組求解的數(shù)值方法,3.1Gauss消去法與矩陣的LU分解,3.2Cholesky分解,3.3向量范數(shù)與矩陣范數(shù),3.4古典迭代法的構(gòu)造,3.5迭代法的分析,3.6超松弛迭代（SOR）及分塊迭代方法,3.7線性方程組的條件,3.8稀疏矩陣的計算,線性方程組求解的數(shù)值方法,3.1Gauss消去法與矩陣的LU分解,基本思想：用逐次消去未知數(shù)的方法把原方程組化為三角形方程組再求解。消元：用初等變換將原方程組的系數(shù)矩陣化為三角形矩陣（簡稱三角陣）再求解的方法?；卮航獬鋈切畏匠探M的最后一個方程，將求得的值逐步往前一個方程代入的方法。,消元,為什么選主元,避免方法：高斯主元消元法,functionX=uptrbk(A,b)%A是一個n階矩陣。%b是一個n維向量。%X是線性方程組AX=b的解。NN=size(A);X=zeros(1,N+1);Aug=Ab;forp=1:N-1Y,j=max(abs(Aug(p:N,p);C=Aug(p,:);Aug(p,:)=Aug(j+p-1,:);Aug(j+p-1,:)=C;,高斯主元消去法的MATLAB實現(xiàn),ifAug(p,p)=0A是奇異陣，方程無惟一解breakendfork=p+1:Nm=Aug(k,p)/Aug(p,p);Aug(k,p:N+1)=Aug(k,p:N+1)-m*Aug(p,p:N+1);endend%這里用到程序8-1中定義的函數(shù)backsub來進(jìn)行回代。X=backsub(Aug(1:N,1:N)，Aug(1:N,N+1)；,A=0.00123;-13.7124.623;-21.0725.643;>>b=123;>>uptrbk(A,b),比較計算結(jié)果：主元消元法-0.4904-0.05100.3675用x=Ab-0.4904-0.05100.3675一般消元法-0.4-0.099800.4,functionX=backsub(A,b)%A是一個n階上三角非奇異陣。%b是一個n維向量。%X是線性方程組AX=b的解。n=length(b);X=zeros(n,1);X(n)=b(n)/A(n,n);fork=n-1:-1:1X(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*X(k+1:n)/A(k,k);End,用回代法求解上三角線性方程組AX=B，其中A為非奇異。,矩陣的LU分解,functionX=lufact(A,b)%A為n階矩陣。%b是n維向量。%X是所求的AX=b的解。N,N=size(A);X=zeros(N,1);Y=zeros(N,1);C=zeros(1,N);R=1:N;forp=1:N-1max1,j=max(abs(A(p:N,p);C=A(p,:);A(p,:)=A(j+p-1,:);A(j+p-1,:)=C;d=R(p);R(p)=R(j+p-1);R(j+p-1)=d;ifA(p,p)=0A是奇異陣，方程組無惟一解,breakendfork=p+1:Nmult=A(k,p)/A(p,p);A(k,p)=mult;A(k,p+1:N)=A(k,p+1:N)-mult*A(p,p+1:N);endendY(1)=b(R(1);fork=2:NY(k)=b(R(k)-A(k,1:k-1)*Y(1:k-1);endX(N)=Y(N)/A(N,N);fork=N-1:-1:1X(k)=(Y(k)-A(k,k+1:N)*X(k+1:N)/A(k,k);end,3.2Cholesky分解（平方根法),3.3向量范數(shù)與矩陣范數(shù),向量的收斂,矩陣范數(shù),常用的矩陣范數(shù),矩陣的收斂,譜半徑,3.4三種迭代法,雅可比迭代法的Matlab程序,functionX=jacobi(A,b,P,delta,max1)%A是n維非奇異陣。%b是n維向量。%P是初值。%delta是誤差界。%max1是給定的迭代最高次數(shù)。%X為所求的方程組AX=b的近似解。N=length(b);fork=1:max1forj=1:NX(j)=(b(j)-A(j,1:j-1,j+1:N)*P(1:j-1,j+1:N)/A(j,j);enderr=abs(norm(X-P);P=X；if(err<delta)breakendendX=X;k,err;,functionX=gseid(A,b,P,delta,max1)%A是n維非奇異陣。%b是n維向量。%P是初值。%delta是誤差界。%max1是給定的迭代最高次數(shù)。%X為所求的方程組AX=b的近似解。N=length(b);fork=1:max1forj=1:Nifj=1X(1)=(b(1)-A(1,2:N)*P(2:N)/A(1,1);elseifj=NX(N)=(b(N)-A(N,1:N-1)*(X(1:N-1)/A(N,N);elseX(j)=(b(j)-A(j,1:j-1)*X(1:j-1)-A(j,j+1:N)*P(j+1:N)/A(j,j);endenderr=abs(norm(X-P);P=X；if(err<delta)breakendendX=X;err,k,塞德爾迭代法的迭代程序：,3.5迭代法的收斂性,