高考數(shù)學(xué)試題匯編：第7章 直線和圓的方程 第2節(jié)線性規(guī)劃

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1、 第七章 直線和圓的方程 二 線性規(guī)劃 【考點(diǎn)闡述】 用二元一次不等式表示平面區(qū)域．簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題． 【考試要求】 （3）了解二元一次不等式表示平面區(qū)域． （4）了解線性規(guī)劃的意義，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用． 【考題分類】 （一）選擇題（共15題） 1.（安徽卷文8）設(shè)x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值是 （A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8 【答案】.C 【解析】不等式表示的區(qū)域是一個(gè)三角形，3個(gè)頂點(diǎn)是，目標(biāo)函數(shù)在取最大值6。 【規(guī)律總結(jié)】線性規(guī)劃問(wèn)題首先作出可行域，若為封

2、閉區(qū)域（即幾條直線圍成的區(qū)域）則區(qū)域端點(diǎn)的值是目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值，求出直線交點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值. 2.（北京卷理7）設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若指數(shù)函數(shù)y=的圖像上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則a 的取值范圍是 （A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ] 【答案】A． 解析：這是一道略微靈活的線性規(guī)劃問(wèn)題，作出區(qū)域D的圖象，聯(lián)系指數(shù)函數(shù)的圖象，能夠看出，當(dāng)圖象經(jīng)過(guò)區(qū)域的邊界點(diǎn)（2,9）時(shí)，a可以取到最大值3，而顯然只要a大于1，圖象必然經(jīng)過(guò)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)。 3.（福建卷理8）設(shè)不等

3、式組所表示的平面區(qū)域是，平面區(qū)域與關(guān)于直線對(duì)稱。對(duì)于中的任意點(diǎn)與中的任意點(diǎn)，的最小值等于 A． B．4 C． D．2 - 2 - / 10 【答案】B 【解析】由題意知，所求的的最小值，即為區(qū)域中的點(diǎn)到直線的距離的最小值的兩倍，畫出已知不等式表示的平面區(qū)域，如圖所示， 可看出點(diǎn)（1，1）到直線的距離最小，故的最小值為 ，所以選B。 【命題意圖】本題考查不等式中的線性規(guī)劃以及兩個(gè)圖形間最小距離的求解、基本公式（點(diǎn)到直線的距離公式等）的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力。 4.（福建卷文5）設(shè)x,y,且,則的最小值等于( ) A.2

4、 B.3 C.5 D.9 【答案】B 【解析】畫出不等式表示的平面區(qū)域如圖陰影所示， 當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)（1，1）時(shí)，取得最小 值3，故選B。 【命題意圖】本題考查不等式中的線性規(guī)劃，在線性約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題，考查同學(xué)們數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。 5.（全國(guó)Ⅰ卷理3文3）若變量滿足約束條件則的最大值為 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 .B 【命題意圖】本小題主要考查線性規(guī)劃知識(shí)、作圖、識(shí)圖能力及計(jì)算能力. 【解析】畫出可行域（如右圖），由圖

5、可知,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,-1)時(shí)，z最大，且最大值為 . x A L0 A 6.（全國(guó)Ⅰ新卷文11）已知ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），點(diǎn)（x，y）在ABCD的內(nèi)部，則z=2x-5y的取值范圍是 （A）（-14，16） （B）（-14，20） （C）（-12，18） （D）（-12，20） 【答案】B 解析：由已知條件得，由得，所以當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，4）時(shí)，最大，即取最小為；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（0，）時(shí)，最小，即取最大為20，又由于點(diǎn)在四邊形的內(nèi)部，故．

6、7.（全國(guó)Ⅱ卷理3文5）若變量滿足約束條件則的最大值為 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【答案】C 【命題意圖】本試題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題. 【解析】可行域是由構(gòu)成的三角形，可知目標(biāo)函數(shù)過(guò)C時(shí)最大，最大值為3，故選C. 8.（山東卷理10）設(shè)變量x、y滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)z=3x－4y的最大值和最小值分別為 （A）3，－11 （B) －3, －11 (C)11, －3 (D)11,3 【答案】A 【解析】畫出平面區(qū)域如圖所示： 可知當(dāng)直線平移到點(diǎn)（

7、5，3）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值3；當(dāng)直線平移到點(diǎn)（3， 5）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值-11，故選A。 【命題意圖】本題考查不等式中的線性規(guī)劃知識(shí)，畫出平面區(qū)域與正確理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解答好本題的關(guān)鍵。 9.（上海卷文15）滿足線性約束條件的目標(biāo)函數(shù) 的最大值是（ ） （A）1. （B）. （C）2. （D）3. 解析：當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)B(1,1)時(shí)，z最大值為2 10.（四川卷理7文8）某加工廠用某原料由車間加工出產(chǎn)品，由乙車間加工出產(chǎn)品.甲車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)10小時(shí)可加工出7千克產(chǎn)品，每千克產(chǎn)品獲利40元.乙車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)

8、6小時(shí)可加工出4千克產(chǎn)品，每千克產(chǎn)品獲利50元.甲、乙兩車間每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙車間耗費(fèi)工時(shí)總和不得超過(guò)480小時(shí)，甲、乙兩車間每天獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃為 （A）甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱 y 0 x 70 48 80 70 (15,55) （B）甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱 （C）甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱 （D）甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱 解析：設(shè)甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱 則 目標(biāo)函數(shù)z＝280x＋300y 結(jié)合圖象可得：當(dāng)x＝15,y＝55時(shí)z最大 本題

9、也可以將答案逐項(xiàng)代入檢驗(yàn). 答案：B 11.（天津卷文2）設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=4x+2y的最大值為 （A）12 （B）10 （C）8 （D）2 【答案】B 【解析】畫出平面區(qū)域可知，當(dāng)直線z=4x+2y經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，1）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=4x+2y取得最大值10，故選B。 【命題意圖】本題考查不等式中的線性規(guī)劃知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。 12.（浙江卷理7）若實(shí)數(shù)，滿足不等式組且的最大值為9，則實(shí)數(shù) （A） （B） （C）1 （D）2 解析：將最大值轉(zhuǎn)化

10、為y軸上的截距，將m等價(jià)為斜率的倒數(shù)，數(shù)形結(jié)合可知答案選C，本題主要考察了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題 13.（浙江卷文7）若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組合 ，則x+y的最大值為 （A）9 （B） （C）1 （D） 解析：將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距，可知答案選A，本題主要考察了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題 14.（重慶卷理4）設(shè)變量x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值為 A.—2 B. 4 C.

11、 6 D. 8 【答案】C 解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示 當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)B（3,0）的時(shí)候，z取得最大值6. 15.（重慶卷文7）設(shè)變量滿足約束條件則的最大值為 （A）0 （B）2 （C）4 （D）6 【答案】C 【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示， 當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)B時(shí)，在y軸上截距最小，z最大 由B（2,2）知4 （二）填空題（共6題） 1.（安徽卷理13）設(shè)滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為8，則的最小值為_(kāi)_______。 【答案】4 【解析】不等式表示的區(qū)域是一個(gè)四邊形，4個(gè)頂點(diǎn)是 ，

12、易見(jiàn)目標(biāo)函數(shù)在取最大值8， 所以，所以，在時(shí)是等號(hào)成立。所以的最小值為4. 【規(guī)律總結(jié)】線性規(guī)劃問(wèn)題首先作出可行域，若為封閉區(qū)域（即幾條直線圍成的區(qū)域）則區(qū)域端點(diǎn)的值是目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值，求出直線交點(diǎn)坐標(biāo)代入得，要想求的最小值，顯然要利用基本不等式. 2.（北京卷文11）若點(diǎn)p（m，3）到直線的距離為4，且點(diǎn)p在不等式＜3表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m = 。 3.（湖北卷理12文12）已知，式中變量，滿足約束條件，則的最大值為_(kāi)__________. 【答案】5 【解析】依題意，畫出可行域（如圖示）， 則對(duì)于目標(biāo)函數(shù)y=2x-z， 當(dāng)直線經(jīng)過(guò)A（2，－1）時(shí)，

13、 z取到最大值，. 4.（遼寧卷理14文15）已知且，則的取值范圍是_______（答案用區(qū)間表示） 5.（陜西卷理14）鐵礦石A和B的含鐵率a ，冶煉每萬(wàn)噸鐵礦石的的排放量b及每萬(wàn)噸鐵礦石的價(jià)格c如下表： a B(萬(wàn)噸) C（百萬(wàn)元） A 50％ 1 3 B 70％ 0.5 6 某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9（萬(wàn)噸）鐵，若要求的排放量不超過(guò)2（萬(wàn)噸）則購(gòu)買鐵礦石的最少費(fèi)用為 （萬(wàn)元） 【答案】15 【解析】設(shè)鐵礦石購(gòu)買了萬(wàn)噸，鐵礦石購(gòu)買了萬(wàn)噸，購(gòu)買鐵礦石的費(fèi)用為百萬(wàn)元，則由題設(shè)知，本題即求實(shí)數(shù)滿足約束條件，即（*）時(shí)，的最小值.

14、 作不等式組(*)對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示.現(xiàn)讓直線，即平移分析即知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值. 又解方程組得點(diǎn)坐標(biāo)為. 故. 6.（陜西卷文14）設(shè)x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z＝3x－y的最大值為 . 【答案】5 （三）解答題（共1題） 1.（廣東卷理19文19）某營(yíng)養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)定午餐和晚餐。已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物6個(gè)單位蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C；一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營(yíng)養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物，42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素C. 如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營(yíng)養(yǎng)要求，并且花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)定多少個(gè)單位的午餐和晚餐？ 解：設(shè)該兒童分別預(yù)訂個(gè)單位的午餐和晚餐，共花費(fèi)元，則。 可行域?yàn)? 即 作出可行域如圖所示： 經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，花費(fèi)最少，為元． 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！