解線性方程組的直接法.ppt

第2章解線性方程組的直接法,計(jì)算方法,2.1消元過程與矩陣的三角分解,1.3基本的三角分解法(Doolittle法),上式可記為,同樣,由,綜合以上分析,有,因此可以推導(dǎo)出,U的第一行,L的第一列,-(1),-(2),U的第r行,L的第r列,-(3),-(4),稱上述(1)(4)式所表示的分解過程為Doolittle分解,對(duì)于線性方程組,系數(shù)矩陣非奇異,經(jīng)過Doolittle分解后,線性方程組可化為下面兩個(gè)三角形方程組,上述解線性方程組的方法稱為直接三角分解法的Doolittle法,例1.用Doolittle法解方程組,解:,由Doolittle分解,Doolittle法在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)是比較容易的,第2章解線性方程組的直接法,2.2Gauss列主元消去法,計(jì)算方法,2.2Gauss列主元消去法,例1.,用Gauss消去法解線性方程組(用3位十進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算）,解:,本方程組的精度較高的解為,用Gauss消去法求解(用3位十進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算),一、Gauss列主元消去法的引入,9999,回代后得到,與精確解相比,該結(jié)果相當(dāng)糟糕,究其原因,在求行乘數(shù)時(shí)用了很小的數(shù)0.0001作除數(shù),主元,如果在求解時(shí)將1,2行交換,即,0.9999,回代后得到,這是一個(gè)相當(dāng)不錯(cuò)的結(jié)果,例2.,解線性方程組(用8位十進(jìn)制尾數(shù)的浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算),解:,這個(gè)方程組和例1一樣,若用Gauss消去法計(jì)算會(huì)有小數(shù)作除數(shù)的現(xiàn)象,若采用換行的技巧,則可避免,經(jīng)過回代后可得,事實(shí)上,方程組的準(zhǔn)確解為,例2所用的方法是在Gauss消去法的基礎(chǔ)上,利用換行避免小主元作除數(shù),該方法稱為Gauss列主元消去法,第2章解線性方程組的直接法,2.4平方根法,計(jì)算方法,2.4平方根法,一、對(duì)稱正定矩陣的三角分解(Cholesky分解),記為,-(1),因此,Diagonal:對(duì)角,為非奇異下三角陣,為非奇異上三角陣,-(2),-(3),因此,所以,綜合以上分析,則有,-(4),-(5),定理1.(Cholesky分解),且該分解式唯一,這種關(guān)于對(duì)稱正定矩陣的分解稱為Cholesky分解,-(6),-(7),-(8),二、對(duì)稱正定線性方程組的解法,線性方程組,-(10),-(11),則線性方程組(10)可化為兩個(gè)三角形方程組,-(12),-(13),-(14),-(15),對(duì)稱正定方程組的平方根法,例1.,用平方根法解對(duì)稱正定方程組,解:,即,所以原方程組的解為,本例中出現(xiàn)了大量的根式運(yùn)算,原因?yàn)?考慮改變分解方式,請(qǐng)求解例1.,三、平方根法的數(shù)值穩(wěn)定性,用平方根法求解對(duì)稱正定方程組時(shí)不需選取主元,由,可知,因此,平方根法是數(shù)值穩(wěn)定的,第二章解線性方程組的直接法,2.5追趕法,計(jì)算方法,其中,-(1),2.5追趕法,以下以Doolittle分解導(dǎo)出三對(duì)角線性方程組的解法,設(shè),二對(duì)角陣,得,得,例1.,用追趕法解三對(duì)角線性方程組,解:,因此原線性方程組的解為,