解線性方程組的直接法.ppt

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第2章解線性方程組的直接法,計算方法,2.1消元過程與矩陣的三角分解,,1.3基本的三角分解法(Doolittle法),,,上式可記為,,,,,,,,,,,,,,,,,同樣,由,,,,,,,,綜合以上分析,有,因此可以推導出,U的第一行,L的第一列,------(1),------(2),,,,,,,U的第r行,L的第r列,------(3),------(4),稱上述(1)~(4)式所表示的分解過程為Doolittle分解,,,對于線性方程組,系數(shù)矩陣非奇異,經(jīng)過Doolittle分解后,線性方程組可化為下面兩個三角形方程組,,,,,,,,,,,,,,,,上述解線性方程組的方法稱為直接三角分解法的Doolittle法,例1.用Doolittle法解方程組,解:,由Doolittle分解,,,,,,,,,,,,,,,,,Doolittle法在計算機上實現(xiàn)是比較容易的,,,第2章解線性方程組的直接法,2.2Gauss列主元消去法,計算方法,2.2Gauss列主元消去法,例1.,用Gauss消去法解線性方程組(用3位十進制浮點數(shù)計算）,,解:,本方程組的精度較高的解為,用Gauss消去法求解(用3位十進制浮點數(shù)計算),一、Gauss列主元消去法的引入,,,,,,9999,,回代后得到,與精確解相比,該結(jié)果相當糟糕,究其原因,在求行乘數(shù)時用了很小的數(shù)0.0001作除數(shù),主元,,,,,如果在求解時將1,2行交換,即,0.9999,,回代后得到,這是一個相當不錯的結(jié)果,,,,,例2.,解線性方程組(用8位十進制尾數(shù)的浮點數(shù)計算),,解:,這個方程組和例1一樣,若用Gauss消去法計算會有小數(shù)作除數(shù)的現(xiàn)象,若采用換行的技巧,則可避免,,,,,,,,,經(jīng)過回代后可得,,,事實上,方程組的準確解為,,,,例2所用的方法是在Gauss消去法的基礎(chǔ)上,利用換行避免小主元作除數(shù),該方法稱為Gauss列主元消去法,,,第2章解線性方程組的直接法,2.4平方根法,計算方法,,,,,,,2.4平方根法,一、對稱正定矩陣的三角分解(Cholesky分解),記為,-------------(1),,,,,,,,,,,因此,,,,,,,,,Diagonal:對角,為非奇異下三角陣,為非奇異上三角陣,----------(2),--------(3),,,,,,,,,,,因此,所以,,綜合以上分析,,則有,-------------(4),-------------(5),,,,,定理1.(Cholesky分解),且該分解式唯一,這種關(guān)于對稱正定矩陣的分解稱為Cholesky分解,,,,,,,,,,,,,,,,,,-------------(6),-------------(7),-------------(8),,,,,,,二、對稱正定線性方程組的解法,線性方程組,-------------(10),-------------(11),則線性方程組(10)可化為兩個三角形方程組,,-------------(12),-------------(13),,,,------(14),,------(15),對稱正定方程組的平方根法,,,例1.,用平方根法解對稱正定方程組,解:,,,,,,,,即,,,,,所以原方程組的解為,本例中出現(xiàn)了大量的根式運算,原因為,考慮改變分解方式,請求解例1.,,,,,,三、平方根法的數(shù)值穩(wěn)定性,用平方根法求解對稱正定方程組時不需選取主元,由,可知,因此,平方根法是數(shù)值穩(wěn)定的,第二章解線性方程組的直接法,2.5追趕法,計算方法,其中,--------(1),,,2.5追趕法,以下以Doolittle分解導出三對角線性方程組的解法,設,,,二對角陣,,,,,,得,,,得,,,例1.,用追趕法解三對角線性方程組,解:,,,,,,因此原線性方程組的解為,,,