大學物理動量和角動量演示文檔

大學物理,第四章 動量和角動量,本章主要內容：,1. 動量定理及守恒定律,2. 角動量定理及守恒定律,3. 質心運動定理,4. 碰撞,一、動 量,質點動力學問題,度量質點運動的量,動 量,與質量和速度有關的狀態(tài)量,1、瞬時性2、矢量性3、相對性,在直角坐標系中,在國際單位制（SI）千克·米/秒（kg·m/s）,二、質點的動量定理(動量的變化與作用量的關系）,由牛頓第二定律：,表示力的時間累積，叫時間d t 內合外力 的沖量。,1）微分形式：,2）積分形式：,若為恒力：,1、 沖量(impulse),力對時間的積累產生的效果是什么呢 ？,沖量是力對時間的積累。,2、動量定理,1）微分形式：,由 得：,在一個過程中，質點所受合外力的沖量等于質點動量的增量。,2）積分形式：,對上式積分，,1、反映了過程量與狀態(tài)量的關系。,3、只適用于慣性系。,從動量定理可以知道，在相等的沖量作用下，不同質量的物體，其速度變化是不相同的，但它們的動量的變化卻是一樣的，所以從過程角度來看，動量比速度能更恰當?shù)胤从沉宋矬w的運動狀態(tài)。因此，一般描述物體作機械運動時的狀態(tài)參量，用動量比用速度更確切些。動量和位矢是描述物體機械狀態(tài)的狀態(tài)參量。,3、動量定理分量形式,即系統(tǒng)所受合外力的沖量在某一方向上的分量等于系統(tǒng)動量在該方向上分量的增量。,在直角坐標系中，動量定理的分量式為,在低速運動情況下，質點的質量是恒量，動量定理可寫為,1) 沖力 : 碰撞過程中物體間相互作用時間極短，相互作用力 很大，而且往往隨時間變化，這種力通常稱為沖力。,若沖力很大, 其它外力可忽略時, 則：,若其它外力不可忽略時, 則 是合外力的平均。,2) 平均沖力 : 沖力對碰撞時間的平均值。,即：,4、動量定理的應用 增大、減小沖力作用,例題4-1 人在跳躍時都本能地彎曲關節(jié)，以減輕與地面的撞擊力。 若有人雙腿繃直地從高處跳向地面，將會發(fā)生什么情況？,解 設人的質量為M，從高h 處跳向地面，落地的速率為v0 ，與地面碰撞的時間為t ，重心下移了s 。,由動量定理得：,設人落地后作勻減速運動到靜止，則：,設人從 2m 處跳下，重心下移 1cm，則：,可能發(fā)生骨折。,設人的體重為70 kg，此時平均沖力：,例4-2 質量為m=0.2kg的皮球，向地板落下，以8m/s的速率與地板相碰，并以近似相同的速率彈回，接觸時間為10-3s。求1)地板對球的平均沖力 2)沖力的沖量和重力的沖量。,中的F 實為合外力，除沖力外還有重力。,即,2)沖力的沖量：,重力的沖量：,外力的沖量可忽略,由兩個質點組成的質點系：,n 個質點組成的質點系：, 質點系的動力學方程,即：,即質點系所受合外力等于系統(tǒng)總動量的變化率。,三、質點系的動力學方程,1、微分形式：,動量定理的微分式,它表明在一個過程中，系統(tǒng)所受合外力的沖量等于 系統(tǒng)在同一時間內動量的增量。,2 、積分形式：,由 得：,對上式積分，,動量定理的積分式,即：,四、質點系的動量定理：,內力可以改變一個質點的動量，但對系統(tǒng)總動量 的改變無貢獻。,3 、動量定理分量形式,即系統(tǒng)所受合外力的沖量在某一方向上的分量等于系統(tǒng)動量 在該方向上分量的增量。,在直角坐標系中，動量定理的分量式為,解 選取車廂和車廂里的煤 m 和即將落入車廂的煤 d m 為研究的系統(tǒng)。取水平向右為正。,t 時刻系統(tǒng)的水平總動量：,t + dt 時刻系統(tǒng)的水平總動量:,dt 時間內水平總動量的增量：,由動量定理得：,例題4-3 一輛裝煤車以v = 3m/s 的速率從煤斗下面通過，每秒落入車廂的煤為m = 500kg。如果使車廂的速率保持不變，應用多大的牽引力拉車廂？ （摩擦忽略不計),一、動量守恒定律,對質點系，由,知，當,時,動量守恒定律,應用動量守恒定律時應注意,系統(tǒng)的動量守恒.并不意味著每個質點的動量不變，,在內力的作用下，每個質點一般均不斷改變著其動量。但總的動量和保持不變，即內力不改變總動量，這一結論與內力的性質無關。, 若外力與內力相比較小得多時，可認為近似滿足動量守恒條件。例如碰撞、打擊、爆炸等現(xiàn)象中重力和摩擦力等可忽略不計。,當質點系所受的合外力為零時，質點系的總動量就保持不變。,不受外力。,外力矢量和為零, 動量守恒定律由牛頓定律導出，但它比牛頓定律應用的范圍更廣泛。不僅適用于宏觀現(xiàn)象而且適用于微觀現(xiàn)象。, 動量和力是矢量，可沿坐標軸分解，當沿某坐標方向所受合外力為零時，總動量沿該方向的分量守恒。, 動量守恒定律只適用于慣性系。,例題4-4 質量為M，仰角為的炮車發(fā)射了一枚質量為m的炮彈，炮彈發(fā)射時相對炮身的速率為u，不計摩擦，求(1)炮彈出口時炮車的速率；()發(fā)射炮彈過程中，炮車移動的距離(炮身長為L)。,解()選炮車和炮彈為系統(tǒng),地面為參考系,系統(tǒng)所受合外力為N,mg,Mg都沿豎直方向，水平方向合外力為零，系統(tǒng)總動量x分量守恒。設炮彈出口時相對于地面的水平速度為vx,炮身的反沖速度為vx,對地面參考系有,由相對速度的概念可得,得,負號表示炮車反沖速度與x軸正向相反。,（）若以u(t)表示炮彈在發(fā)射過程中任一時刻炮彈相對炮車的速率，則此時炮車相對地面的速率,設炮彈經(jīng)t1s出口，在t1s內炮車沿水平方向移動了,解得,負號表示炮身沿x軸負向后退。,例題4-5：光滑水平面與半徑為R的豎直光滑半圓環(huán)軌道相接，兩滑塊A,B的質量均為m,彈簧的倔強系數(shù)為k，其一端固定在O點，另一端與滑塊A接觸，開始時滑塊B靜止于半圓環(huán)軌道的底端，今用外力推滑塊A,使彈簧壓縮一段距離x后再釋放，滑塊A脫離彈簧后與B作完全彈性碰撞，碰后B將沿半圓環(huán)軌道上升，升到C點與軌道脫離，OC與豎直方向成60°，求彈簧被壓縮的距離x.,解：設滑塊A離開彈簧時速度為v,在彈簧恢復原形的過程中機械能守恒,A脫離彈簧后速度不變，與B作完全彈性碰撞，交換速度，A靜止，B以初速v沿圓環(huán)軌道上升。,B在圓環(huán)軌道上運動時，它與地球系統(tǒng)的機械能守恒,當滑塊B沿半圓環(huán)軌道上升到C點時，滿足,（4）,（1）、（2）、（3）、（4）聯(lián)立求解可得,例題4-5如圖，兩個帶理想彈簧緩沖器的小車A和B，質量分別為m1和m2B不動，A以速度 與B碰撞，如已知兩車的緩沖彈簧的勁度系數(shù)分別為k1和k2，在不計摩擦的情況下，求兩車相對靜止時，其間的作用力為多大？（彈簧質量略而不計）,解：兩小車碰撞為彈性碰撞，在碰撞過程中當兩小車相對靜止時，兩車速度相等。,在碰撞過程中，以兩車和彈簧為系統(tǒng)，動量守恒，機械能守恒。,x1、x2分別為相對靜止時兩彈簧的壓縮量由牛頓第三定律,相對靜止時兩車間的相互作用力,一、質心,質點系運動時，各質點的運動情況可能是各不相同的，很復雜的，為了簡潔描述質點系的運動狀態(tài)，引入質量中心(簡稱質心：質點系的質量中心)的概念。,N個質點組成的系統(tǒng),位矢分別為,質點系的動量為,取質量為,并與質點系具有相同動量的質點C,其位矢為,其速度為,，則有,C稱為質點系的質心，,稱為質心的位矢。,可以證明：質心相對質點系的位置與坐標系的選取無關，即質心相對于質點系本身是一個特定的位置。,引入質心后，質點系的動量與質點的動量表示式一樣簡潔。得質心C的坐標,對質量連續(xù)分布的質點系,(1)幾何形狀對稱的均勻物體，質心就是幾何對稱中心。(2)有些物體的質心可能不在所求的物體上，但有明確的物理意義。(3)重心是重力合力的作用點，尺寸不大的物體，質心與重心重合。,二、質心運動定理,為質心運動的加速度。由于,質心運動定理,作用于質點系的合外力等于質點系的總質量乘上質心的加速度,說明,質心的運動只由質點系所受的合外力決定，內力對質心的運動不產生影響。,時，,質點系受的合外力在某個方向為零時， 在該方向的投影等于恒矢量，該方向動量守恒。,質心運動定理不能描述各質點的運動情況，每個質點的實際運動應是質心的運動和質點相對質心運動的疊加。,質點系各質點由于內力和外力的作用，其運動情況可能很復雜，但質心的運動可能很簡單。,例題4-6 一長為L，密度分布不均勻的細棒，其質量線密度=0x/L .0為常量，x從輕端算起，求其質心。,解取坐標原點與輕端相重合，x軸沿棒長方向，如圖，取質元,x,例題4-7 質量分別為m1和m2的兩質點組成的質點系，質心處于靜止狀態(tài)。質量為m1的質點以半徑r1，速率v1繞質心作勻速圓周運動，求質點m2的運動規(guī)律。,解 如圖所示，取質心為坐標系的原點，可得 兩質點的位矢滿足如下方程,由于質心靜止，所以質心的動量為零，即,即動量的大小為,如何描述質點系的運動？,SI 中 ： kg·m 2 / s,的方向：用右手螺旋法則確定。,b）、相對性(1)參考系不同，矢徑不同，動量不同，角動量也不同。(2)原點O選取的不同，則位置矢量不同，角動量也不同。 質點對參考點的角動量,1. 質點的角動量,C）、 的直角坐標系中的分量式,1、做圓周運動質點 m 對圓心O 的角動量,方向： 與 同向，垂直于轉動平面， 與質點轉動繞向成右手螺旋關系,結論：做勻速圓周運動的質點對圓心的角動量是恒量。,方向：由右手螺旋定則確定。,質點對O點的角動量為：,3）若O 取在直線上，則：,質量為m 的質點作直線運動。,t1 時刻質點對O點的角動量為：,2、作直線運動質點的角動量,1）若物體作勻速直線運動，對同一參考點O，則,2）對不同的參考點，質點有不同的恒定角動量,大?。?t2 時刻質點對O點的角動量為：,！參考點不能選擇在直線上,2、質點系的角動量：,系統(tǒng)的角動量等于各個質點對同一參考點的角動量之和：,二、質點的角動量定理,將角動量 對時間求導，可得：,定義：作用于質點上的合外力對參考點的力矩,2、在直角坐標系中,方向：由右手螺旋定則確定。,4、作用于質點的合外力矩等于合外力的力矩。,質點的角動量定理,質點所受的合外力矩等于它的角動量的時間變化率。,力矩滿足疊加原理：作用于一個質點上的各個力的力矩的矢量和（合力矩）等于各個力的合力的力矩。,和 是對同一慣性系中同一參考點而言的,3、相對性：依賴于參考點O 的選擇。,（1）、質點角動量微分形式,（2）、質點角動量定理積分形式,角動量定理質點角動量的增量等于質點受到的角沖量。,力矩對時間的積累產生的效應是角動量的變化。,例題4-8 質量為m、線長為l 的單擺，可繞點O 在豎直平面內擺動，初始時刻擺線被拉成水平，然后自由放下。求: 擺線與水平線成角時，擺球所受到的力矩及擺球對點O 的角動量； 擺球到達點 B 時，角速度的大小。,解 任意位置時受力為：重力；張力。,由角動量定理：,瞬時角動量：,重力對O 點的力矩為：,方向：垂直于紙面向里。,張力對O 點的力矩為零。,三、質點系的角動量定理：,作用力和反作用力對同一點力矩的矢量和等于零。,系統(tǒng)的角動量等于各個質點對同一參考點的角動量之和：,方向：垂直板面向外，大小：,方向：垂直板面向里，大?。?作用力與反作用力對同一點的力矩的矢量和為零。,2、積分形式：,質點系角動量的增量等于系統(tǒng)合外力矩的角沖量。,1、微分形式：,只取決于系統(tǒng)所受的外力矩之和，而與內力矩無關， 內力矩只改變系統(tǒng)內各質點的角動量，但不影響系統(tǒng)的 總角動量。,質點系所受的合外力矩等于系統(tǒng)角動量對時間變化率 質點系的角動量定理。,一、 質點的角動量守恒定律,若質點所受的合力矩,若對某一參考點，質點所受外力矩的矢量和恒為零，則此質點對該參考點的角動量保持不變。 質點的角動量守恒定律,例如，地球衛(wèi)星繞地球轉動時，相對地球的角動量守恒。,1、有心力， 與位矢 在同一直線上，從而 。,2、當作用在質點上的合外力矩對某一方向的分量為零時，則質點的角動量沿此方向的分量守恒。,并不等于：,注意：,解 如圖，行星在太陽引力作用下沿橢圓軌道運動，t時間內行星徑矢掃過的面積,由于行星只受有心力作用，其角動量守恒,例題4-9 利用角動量守恒定律證明開普勒第二定律：行星相對太陽的徑矢在單位時間內掃過的面積(面積速度)是常量。,面積速度:,例題4-10 我國在1971年發(fā)射的科學實驗衛(wèi)星在以地心為焦點的橢圓軌道上運行已知衛(wèi)星近地點的高度h1=226km，遠地點的高度h2=1823km，衛(wèi)星經(jīng)過近地點時的速率v1=8.13km/s，試求衛(wèi)星通過遠地點時的速率和衛(wèi)星運行周期（地球半徑R=6.37×103km）,解 衛(wèi)星軌道如圖所示由于衛(wèi)星所受地球引力為有心力，所以衛(wèi)星對地球中心的角動量守恒,在遠地點時，位矢的大小為,若坐標原點取在地心，則衛(wèi)星在軌道的近地點時，位矢的大小為,設衛(wèi)星在遠地點時的速率為v1,且近地點和遠地點處的速度與該處的徑矢垂直，故由角動量守恒定律可得,故有,設橢圓軌道的面積為S，衛(wèi)星的面積速度為dS/dt，則衛(wèi)星的運動周期,a、b分別為橢圓軌道的長半軸和短半軸，分別為,可得,例題補 用繩系一小球使它在光滑的水平面上作勻速率圓周運動， 其半徑為r0 ，角速度為 ?，F(xiàn)通過圓心處的小孔緩慢地往下拉繩使半徑逐漸減小。求當半徑縮為r 時小球的角速度。,解 選取平面上繩穿過的小孔O為原點。,所以小球對O 點的角動量守恒。,因為繩對小球的的拉力 沿繩指向小孔，則力 對O 點的力矩：,二、質點系的角動量守恒定律：, 角動量守恒定律,1、角動量守恒的條件是合外力矩等于零。合外力為零不一定 合外力矩等于零。,3、系統(tǒng)角動量守恒，各質點的角動量可交換。,4、適用于慣性系，也可適用于微觀現(xiàn)象。,當質點系所受合外力矩對某參考點為零時，質點系的角動量對該參考點守恒。,例：力偶的合力等于零，合力矩不等于零。,2、分量形式的角動量守恒定律仍然成立。,三、力偶 力偶矩,大小相等、方向相反、不在同一條直線上的一對力稱為力偶。,合力矩：,例題4-11 兩人質量相等,位于同一高度，各由繩子一端開始爬繩， 繩子與輪的質量不計，軸無摩擦。他們哪個先達頂？,解 選兩人及輪為系統(tǒng)，O 為參考點，取垂直板面向外為正。,系統(tǒng)所受外力如圖。,產生力矩的只有重力。,即兩人同時到達頂點。,由角動量定理：,法二: ( 角動量守恒 ),1、若其中一個人不動，外力矩情況依然，內力矩對角動量 無貢獻，因而角動量守恒。,即輕者先到達。,2、若m1m2，則,系統(tǒng)所受的合外力矩為零，則角動量守恒。,解 取三個小球和細桿組成的系統(tǒng)，O點為參考點，各質點受的重力和桌面的支持力大小相等方向相反，對O點的力矩的矢量和為零。O點對細桿的作用力對點的力矩為零系統(tǒng)所受的合外力矩為零所以，系統(tǒng)的角動量守恒,解 取小球與地球為系統(tǒng)，機械能守恒。,由角動量守恒得,聯(lián)立解得,例題4-13 質量為m的小球A,以速度v0沿質量為M半徑為R的地球表面切向水平向右飛出，地軸OO與v0平行，小球A的運動軌道與軸OO相交于點C,OC=3R,若不考慮地球的自轉和空氣阻力，求小球A在點C的速度與OO軸之間的夾角。,一、碰撞及其分類,3、碰撞分類彈性碰撞碰撞后形變消失，無機械能損失；非彈性碰撞碰撞后，形變不能恢復。部分機械能變成熱能；完全非彈性碰撞碰撞后粘在一起，不再分開，以相同的速度運動，機械能損失最大。,二、正碰,1.碰撞定律兩個小球相互碰撞，如果碰后的相對運動和碰前的相對運動是同一條直線的，這種碰撞稱為正碰或對心碰撞。,牛頓認為碰撞后的分離速度(v2-v1)與碰撞前兩球的接近速度(v10-v20)成正比，比值由兩球的材料決定，即,e 稱為恢復系數(shù),當e =0 時為完全非彈性碰撞,時 非彈性碰撞.,動量守恒,2. 一維正碰,和碰撞定律,聯(lián)立解得,當e =0 時為完全非彈性碰撞,當e =1 時為彈性碰撞,正碰中質量相等的兩個小球在彈性碰撞中彼此交換速度。一個質量很小的物體與一個質量很大的靜止物體相碰，質量小的物體改變運動方向，而質量大的靜止物體幾乎保持不動。,表示碰后兩物體以同一速度運動，并不分開。,3.碰撞過程中動能的損失,三、斜碰（二維碰撞）,系統(tǒng)的動量守恒,y方向上有,x方向上（按正碰）有,與一維碰撞一樣，二維碰撞也分為彈性碰撞和非彈性碰撞。對于彈性碰撞仍然遵守機械能守恒定律。,例題4-15 質量分別為m和m的兩個小球，系于等長線上，構成連于同一懸掛點的單擺，如圖所示。將m拉至h高處，由靜止釋放。在下列情況下，求兩球上升的高度。（1）碰撞是完全彈性的；（2）碰撞是完全非彈性的。,解 （1）碰撞前小球m的速度 ，由于碰撞是完全彈性的，所以滿足動量守恒，并且碰撞前后動能相等。設兩小球碰撞后的速度分別為v和v，則有,可解得,上升的高度分別為H和H,（2）完全非彈性碰撞，設兩球的共同速度為u，由動量守恒定律可得,二球上升的高度為,例題4-16： 熱中子被靜止氦核散射。氦核M,熱中子m,且M/m=4,散射為彈性碰撞。中子的散射角111°，求中子在散射過程中損失了多少能量？,解：系統(tǒng)的動量守恒和機械能守恒,化簡得,三式聯(lián)立得,散射后與散射前中子動能之比為,所以動能損失了50%。,一、對稱性與守恒定律：,1、對稱性對某種幾何形體施行某種操作，使它的形狀和位置都不顯現(xiàn)任何可覺察的變化。稱這種形體具有幾何對稱性。雪花、昆蟲、晶體。,舉例：球體通過任意中心軸的旋轉，旋轉對稱性,若球體上加記號“·”，不再具有旋轉對稱性，稱為“對稱性破缺”。,2、物理學中的對稱性:,系統(tǒng)從一個狀態(tài) 另一個狀態(tài)變換或操作。一個變換使系統(tǒng)從一個狀態(tài) 另一個與之等價的狀態(tài)，稱該系統(tǒng)對這一變換(操作)是對稱的。這個變換(操作)叫該系統(tǒng)的一個對稱操作。,物理學中兩類不同性質的對稱性：,(1)系統(tǒng)或某具體事物的對稱性(例如,兩質點系統(tǒng)具有軸對稱),(2)物理規(guī)律的對稱性經(jīng)一定的變換(操作),物理規(guī)律的 形式保持不變。例如:牛頓定律經(jīng)伽利略變換具有形式不變性,稱為具有對稱性。,3、物理定律的對稱性,研究物理定律在某種操作下的不變性。,1） 、物理定律時間平移不變性 物理定律對時間的均勻性。不改變實驗條件的情況下，今天與明天應得到相同的結果。,2） 、物理定律空間平移不變性 空間具有對稱性。不同地點做實驗，應得到相同的結果。,4） 、物理定律鏡像不變性空間左右對稱。例如：鏡像鐘、鏡像電動機，遵守相同的規(guī)律。,5） 、物理定律的慣性系變換不變性 慣性系之間是完全對稱的。低速下，牛頓定律在 伽利略變換下具有形式不變性； 高速下，在洛 倫茲變化下，牛頓定律不具有形式不變性，故需 將它改造為相對論力學規(guī)律。,3） 、物理定律空間轉動不變性,物理定律的對稱性可用一種否定形式來敘述：,我們不可能通過物理實驗來確定我們所處的時間的絕對值，空間的絕對位置，空間的絕對方向，空間絕對的左或絕對的右，所在參考系的絕對的速度。,物理定律的對稱性反映時空特性。,守恒定律與物理規(guī)律在一定變換(操作)下的不變性密切相連。,諾特定理(1918)：如果物理規(guī)律在某一個不明顯依賴時間的變換下具有不變性，必然有一個守恒定律存在。,諾特定理的意義：,二、時空對稱性與三大守恒定律,它對某一個運動規(guī)律在某一個變化下的形式不變性與守恒定律的存在聯(lián)系起來了。而且指出：若運動規(guī)律在某一個變換群中所有變換都具有不變性,則:守恒定律數(shù)=變換群中變換數(shù)。,1 、空間平移不變性與動量守恒,在這樣的條件下，粒子1和粒子2所受到的力分別為：,兩個粒子體系的總動量不隨時間改變,2.空間的各向同性與角動量守恒定律,B粒子固定,A粒子沿B的圓弧運動,相對勢能的改變?yōu)?而上述操作不改變相對勢能,兩粒子的相互作用力沿兩者的連線，與角動量守恒是等價的。,時間的均勻性能量守恒定律,粒子之間的相互作用可用相互作用勢能表示，時間的均勻性意味著這種相互作用勢能只與兩粒子之間的相對位置有關，而不應隨時間的平移而改變。在這種情況下系統(tǒng)的能量總是守恒的,運動規(guī)律對空間原點選擇的平移不變性決定了動量守恒；運動規(guī)律對空間轉動的不變性決定了角動量守恒；運動規(guī)律對時間原點選擇的平移不變性決定了能量守恒。,3. 時間均勻性與能量守恒,如果系統(tǒng)的力學性質與計算時間的起點無關，則稱這個系統(tǒng)具有時間平移不變性或時間均勻性。從微觀角度看，在所有的系統(tǒng)中，粒子與粒子之間的相互作用可用相互作用勢能來表示，時間均勻性意味著這種相互作用勢能只與兩粒子之間的相對位置有關，而不應隨時間的平移而改變，在這種情況下，系統(tǒng)的總能量是守恒的。,