天津大學(xué)化工數(shù)學(xué)偏微分方程演示文檔

第七章：偏微分方程,一、 幾個基本概念,例：,1、方程的階數(shù),方程中出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)即為方程的階數(shù),一階,二階,2、線性、非線性、擬線性,方程經(jīng)過有理化并消去分式后，若方程中沒有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的乘積或冪等非線性項，稱該方程為線性,線性：,擬線性：,在非線性方程中，如果未知函數(shù)的所有最高階導(dǎo)數(shù)不是非線性，則稱此方程為擬線性,完全非線性：,除擬線性之外的非線性方程,二階，線性,二階，擬線性,二階，完全非線性,3、齊次、非齊次,不含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項,自由項：,自由項為零的方程,齊次方程：,自由項不為零的方程,非齊次方程：,非齊次,齊 次,二、 二階線性偏微分方程的分類,，,設(shè),則二階線性偏微分方程一般可表示為：,A,B,C,D,E,G,f 都是x,y的函數(shù),二階線性方程的分類 ：,為方程中自變量域內(nèi)任意一點，,則分類判別條件如下：,（）若在點M處有：,則方程在該點處為雙曲線型,例如,（）若在點M處有：,則方程在該點處為拋物線型,例如,波動方程,熱傳導(dǎo)方程,（）若在點M處有：,則方程在該點處為橢圓型,例如,例1：判別下列方程的分類,當(dāng) ，即 異號，M點在二、四象限內(nèi)，,該區(qū)域內(nèi)方程是雙曲型,當(dāng) ，即 同號，M點在一、三象限內(nèi)，,該區(qū)域內(nèi)方程是橢圓型,當(dāng)x或y為零，方程在x或y軸上是拋物型,拉普拉斯方程,三、三種典型方程的建立,建立理論模型的原則步驟, 抽象出系統(tǒng)的物化模型并簡化、假設(shè), 確定輸入、輸出變量和模型參數(shù)，建立數(shù)學(xué)模型, 模型 求解, 檢驗和修正所得的模型,1、均勻弦的微小橫振動方程的建立,設(shè)有一根均勻柔軟的細弦，張緊后兩端固定如圖，給弦以擾動，使其產(chǎn)生振動。,確定弦上各點振動規(guī)律，即 確定位移 滿足的方程。,解：取一小微元段 ，分析受力情況,x 方向：,u 方向：,A,B,T1,T2,0,x,xx,x,u,1,2,G,(1),(2),簡化假設(shè),（1）弦是均勻的，所以質(zhì)量均布，設(shè)單位長度弦的質(zhì)量為 kg/m,（5）弦是絕對柔軟的，不能抗彎，因此弦上各點張力與該點切 線方向一致。,（2）弦的細小的，自重相比于張力顯得很小，可以忽略。,（3）振動方向與弦長方向相垂直，且振動保持在一固定平面內(nèi),（4）振動是微小的，即弦上各點位移及弦的彎曲斜率很小,微元段的質(zhì)量：,G = 0,x 方向無運動，即：,無外力的均勻弦微小橫振動方程, 齊次一維波動方程,x 方向：,u 方向：,F(x,t),x 方向：,u 方向：,假設(shè)振動過程中，除了張力外，還有其它外力作用，,設(shè)單位長度弦上的橫向外力為,弦的強迫振動方程,非齊次一維波動方程,2、熱傳導(dǎo)方程,一根長為l的均勻細桿側(cè)面是絕熱，橫截面積足夠小以至,在任何時刻都可以把斷面上所有點的溫度看作是相同。,設(shè)桿的截面積為S，比熱為C，導(dǎo)熱系數(shù)為k，密度為。,試確定溫度分布函數(shù) 滿足的方程。,x=0,x=l,x,x+x,0,熱量衡算：輸入輸出產(chǎn)生累計,一維熱傳導(dǎo)方程:,x處輸入的熱速率:,xx處輸出的熱速率:,微元段累計的熱速率:,一維熱傳導(dǎo)方程,一維波動方程,（無外力）,（有外力）,（無內(nèi)熱源）,三維熱傳導(dǎo)方程,若物體內(nèi)部有一個熱流，,T(x,y,z,t),其分布函數(shù)為,M(x,y,z),3、穩(wěn)態(tài)方程（拉普拉斯方程）,熱傳導(dǎo)持續(xù)進行下去，如果達到穩(wěn)定狀態(tài)，溫度的空間分布不再變動，即,則方程,變?yōu)?穩(wěn)態(tài)濃度分布方程,穩(wěn)態(tài)溫度分布方程,三種典型方程,是方程,其中f 是任意函數(shù) ,如,的通解,可以驗證,對于方程：,可以驗證,為其通解,泛定方程,暫停：休息,四、定解條件和定解問題,1、初始條件（I.C.)：,初始時刻的狀態(tài),（一）定解條件,例1 對于弦的微小橫振動問題，假設(shè)初始速度為零， 初始位移符合正弦函數(shù),初始條件給定的是整個系統(tǒng)的狀態(tài)，而不是某個局部（如入口、出口等）的狀態(tài)。,特別注意：,應(yīng)是位置坐標(biāo)的函數(shù)。,（1）第一類邊界條件已知函數(shù),直接給出未知函數(shù) 在邊界 上的值,（狄里赫利（Dirichlet）,例2 一根弦長為l ，兩端固定進行微小橫振動 ，建立其邊界條件。,2、邊界條件（B.C.）,例3 細桿導(dǎo)熱問題中，桿長l，兩端分別保持溫度T1和T2 ，建立邊界條件。,（2）第二類邊界條件已知導(dǎo)數(shù),（牛曼（Noumann）條件）,例4 細桿導(dǎo)熱問題中，桿長l，一端絕熱，另一端有恒定熱流q輸入，試建立邊界條件。,x=0,x=l,熱流輸出怎樣？,（3）第三類邊界條件混合邊界條件,給出邊界上函數(shù)值與其法向?qū)?shù)構(gòu)成的線性關(guān)系,（Robin條件）,例4 細桿導(dǎo)熱問題中，桿長l，一端溫度為T0，另一端與溫度為T1的環(huán)境進行對流熱交換，試建立邊界條件。,x=0,x=l,（4）積分微分邊界條件,（5）銜接條件,內(nèi)外層壁：,（二）定解問題,初值問題：,只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題,邊值問題：,沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題,混合問題：,既有初始條件又有邊界條件的定解問題,定解問題,泛定方程（P.D.E),定解條件,初始條件（B.C.）,邊界條件（I.C.）,五、線性迭加原理,所謂迭加：即幾種不同因素綜合作用于系統(tǒng)，產(chǎn)生的效果等于各因素獨立作用產(chǎn)生的效果之總和,線性迭加原理：,則級數(shù) 也是該方程之解,假設(shè)函數(shù),是線性齊次微分方程,的特解。,（i=1，2）,六、分離變量法,例1、設(shè)兩端固定的有界弦微小自由橫振動過程， 初始位移為(x)，初始速度為（x）,解：（1）分離變量,設(shè),（1）,（2）,（3）,（4）,到33頁,代入方程式（1）得,分離變量得,=,設(shè),于是可得到兩個常微分方程,到35頁,=,=,+,對于二階線性常系數(shù)常微分方程：,先求特征方程的解：,分三種情況,（）特征方程的根r1,r2為實數(shù)時,復(fù) 習(xí),（）特征方程的根r1=r2=r為重實數(shù)時,（）特征方程的根為復(fù)數(shù)，即 r1=+i r2= - i,返回31頁,由邊界條件式（2）知,因為,所以只能,（5）,（6）,（）設(shè)>0，則方程式（5）通解為,（5）,由,由,（2）解定解問題,解固有值問題,到37頁,解上述線性代數(shù)方程組得：,即,所以,（）設(shè) =0，方程（5）通解為,由,由,即,所以,（）設(shè) <0，,令 ，,此時通解為,由,由,因為B不能為零，所以只能,所以,稱為固有值（或本征值）,-稱為固有函數(shù)（或本征函數(shù)）,（7）,返回36頁,返回54頁,（3）求解不構(gòu)成本征問題的常微分方程的通解,（6）,將 代入上式,（8）,將式（7）與式（8）相乘，得到一組特解,其中， 是任意常數(shù),（8）,（7）,（4）應(yīng)用線性疊加原理求,（5）由傅里葉級數(shù)確定系數(shù),（9）,暫停：休息,復(fù)習(xí),f(x)在l，l區(qū)間上的傅里葉展開式：,在0，l區(qū)間上的只有余弦項的傅里葉展開式：,在0，l區(qū)間上的只有正弦項的傅里葉展開式：,傅里葉展開是基于三角函數(shù)的正交性,根據(jù)正交性可直接確定系數(shù)：,（10）,至此， （9）（11）即構(gòu)成了例1中定解問題的解,（11）,總結(jié)分離變量求解的關(guān)鍵點,1、假設(shè),代入齊次方程進行分離變量；,2、分離齊次邊界條件，組構(gòu)本征值問題，并求解確定 本征值本征函數(shù)；,3、求解另外一個常微分方程；,4、用線性疊加原理寫出問題的解；,5、代入初始條件，并用傅里葉展開法確定解中的常數(shù)。,例 2 一維導(dǎo)熱問題（第三邊值條件）,長為l 的均勻細桿，其側(cè)面（圓弧面）絕熱，桿的一端保持在0狀態(tài)下，另一端則與溫度為0環(huán)境介質(zhì)進行自由熱交換。假設(shè)初始時刻溫度分布為(x)。試確定桿上各點溫度隨時間變化規(guī)律。,（1）,（2）,（3）,（4）,到第52頁,（1）分離變量，設(shè),代入方程（1）得：,于是得：,（5）,（6）,比較波動問題得到兩個常微分方程 ：,返回上一頁,由邊界條件式（2）（3）知,（2） 解本征值問題,（7）,（8）,式（5）與式（7）、式（8）構(gòu)成本征值問題,同前述同樣方法討論本征值的三種取值情況,經(jīng)討論僅當(dāng)<0時才有非零解,設(shè),于是方程式（5）通解為,由式（7）得,由式（8）得,則,即,得本征值,(n =1，2，3 ),得本征函數(shù),（,(3） 將本征值代入式（6）并求解,（4）由線性迭加原理得定解問題級數(shù)形式解,(Cn =BnAn),（5）確定系數(shù),由初始條件,由本證函數(shù)的正交性,例 3、求解穩(wěn)態(tài)問題,解：（1）分離變量,設(shè),（1）,（2）,（3）,能否用分離變量法 求解？,能！,代入方程式（1）得,分離變量得,=,設(shè),于是可得到兩個常微分方程,由邊界條件（3）,（5）,（6）,（5）,（2）解本征值問題,憑經(jīng)驗當(dāng) <0，時有非零解,令,由,由,因為B不能為零能,所以,（7）,（3）求解不構(gòu)成本征問題的常微分方程的通解,（6）,將 代入上式,（8）,（,將式（7）與式（8）相乘，得到一組特解,其中， 是任意常數(shù),（4）應(yīng)用線性疊加原理求,（5）由傅里葉級數(shù)確定系數(shù),（9）,（10）,（9）,n 為偶數(shù)時,n 為奇數(shù)時,1、只能用分離變量法直接求解齊次方程、 齊次邊界定解問題,2、本征值和本征函數(shù)由邊界條件類型確定,3、另外一個二階常微分方程的形式及解 由泛定方程的類型確定,總 結(jié),（b）,（c）,（d）,（a）,一維波動問題,一維熱傳導(dǎo)問題,二維穩(wěn)態(tài)問題,暫停：休息,七、非齊次邊界的處理,方法： 將定解問題（A）轉(zhuǎn)化為齊次邊界問題,（A）,設(shè),使 滿足相應(yīng)的齊次邊界條件，即,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,則,設(shè),由條件式（6）確定：,（6）,（7）,則,由條件式（7）確定：,將以上結(jié)果代入,（B）,（a）,（a）,（b）,（c）,（d）,則V（x,t）滿足的定解問題為：,設(shè),例4,設(shè)一均勻細桿，初始時全桿有一均一溫度 ，然后使其一端保持不變溫度 ，另一端則有恒定的熱流 輸入，試求溫度分布規(guī)律。,解：問題可由下述數(shù)學(xué)形式表述,（1）,（2）,（3）,設(shè),使,則,設(shè),則由式（6）求得,（4）,（5）,（6）,（7）,則,代入原問題得,設(shè),W（x,t）,由經(jīng)驗，知 唯 時有解,設(shè),則,由邊界，得,所以,（,=0，1，2）,（n = 0，1，2）,于是固有函數(shù)為,最后由初始條件定常數(shù),暫停：休息,八、非齊次的泛定方程,設(shè),例 5 兩端固定的弦的強迫振動問題,=0,設(shè),解:,而,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,轉(zhuǎn)到82頁,（b）,（c）,（d）,（a）,返回上一頁,將式（4），式（5）代入式（1）得,所以,將式（3）,代入所設(shè)：,這里,（5）,（6）,（7）,（8）,根據(jù)傅立葉展開,于是有：,因已設(shè),設(shè),則,（6）,對方程式（6）兩邊拉氏變換,由卷積定理知,=,暫停：休息,例 6 用本征函數(shù)系展開法解非齊次熱傳導(dǎo)問題,解：,（1）,（2）,（3）,將上兩式代入方程式（1）得,0,由初始條件式（3）,于是方程（5）解為,所以：,最終解為,（4）,（5）,于是方程（4）解為, 重點掌握的內(nèi)容： 拉氏變換的定義和前5條性質(zhì)；三種常用求解逆變換的方法；應(yīng)用求解常微分方程，積分-微分方程的方法。, 本章主要內(nèi)容： 1、拉氏變換的概念和性質(zhì)； 2、求拉氏逆變換的方法； 3、拉氏變化的應(yīng)用，如何求解微分、積分方 程、差分方程等。,第五章：拉普拉斯變換,第六章：場論初步, 本章重點內(nèi)容： 1、方向?qū)?shù)、通量、環(huán)量的概念及計算； 2、梯度、散度、旋度的概念及計算； 3、散度定理、斯托克斯定理； 4、無源場、有勢場（勢函數(shù)）、調(diào)和場（調(diào)和函數(shù)）概念、性質(zhì)及計算； 5、會用用場論方法簡單的建模，重點是課上講的例題。,第七章：偏微分方程, 本章重點內(nèi)容： 1、會用分離變量法求解二階齊次方程、齊次邊界問題； 2、會建立簡單的方程（類似三種典型方程）和定解條件； 3、掌握方程的分類和線性性判別； 4、了解非齊次邊界處理方法和非齊次方程的本征函數(shù)求解方法,2012級化工數(shù)學(xué)期末考試信息,時間：2014.6.30（第19周周一）？:00？:00,地點：？樓？,（）設(shè)>0，則方程式（5）通解為,由,由,解上述線性代數(shù)方程組得：,即,所以,（）設(shè) =0，方程（5）通解為,由,由,即,（）設(shè) <0，,令 ，,此時通解為,由,由,所以綜合有：,-稱為固有函數(shù)（或本征函數(shù)）,（7）,返回88頁,