教材例題畫法幾何.ppt

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例2-1：已知點(diǎn)A的水平投影a和正面投影a’，求其側(cè)面投影a”，如圖2－9(a)所示。分析：由點(diǎn)的投影規(guī)律得知，點(diǎn)的正面投影與側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸，故a”必在過a’所作的OZ軸的垂線（OX軸的平行線）上。又知點(diǎn)的側(cè)面投影到OZ軸的距離等于水平投影到OX軸的距離，即a”az=aax。因此，只要在過a’對OZ軸所作的垂線上截取aza”＝aax，即可得a”。,例2-2：已知點(diǎn)B的正面投影b‘和側(cè)面投影b”，求其水平投影b，如圖2—10（a）所示。,例2－3：已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（20、10、15），求作點(diǎn)A的三面投影a、a’和a”。分析：從點(diǎn)A的三個(gè)坐標(biāo)值可知，點(diǎn)A到W面的距離為20，到V面的距離為10倒H面的距離為15。根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律和點(diǎn)的三面投影與其3個(gè)坐標(biāo)的關(guān)系，即可求得點(diǎn)A的3個(gè)投影。,例2－4：在圖2—13（a）所給出的三投影面體系中，畫出點(diǎn)A（20，12，15）的三面投影及點(diǎn)A的空間位置。,例2-5：過點(diǎn)A向右上方作一正平線AB，使其實(shí)長為25，與H面的傾角α=300，如圖2-19（a）所示。分析：由正平線的投影特性可知，正平線的正面投影反映實(shí)長，它與OX軸的夾角反映直線對H面的傾角α，故本題只有一個(gè)解。,例2-6：已知直線AB的正面投影a’b’和點(diǎn)A的水平投影a，并知AB=25，求AB的水平投影ab及AB對V面的傾角β，如圖2-23(a)所示。分析：由點(diǎn)的投影規(guī)律可知，b應(yīng)在過b’所作的OX軸的垂線上，因此只要求出AB兩點(diǎn)的y坐標(biāo)差，即可確定b。根據(jù)直角三角形法的原理，以a’b’為一直角邊。以25為斜邊作一直角三角形，它的另一直角邊即為AB兩點(diǎn)的y坐標(biāo)差，y坐標(biāo)差所對的角即為AB對V面的傾角β。本題有兩個(gè)解。,例2-7:已知直線AB的水平投影ab和點(diǎn)A的正面投影a’，并知AB對H面傾角為300，求:AB的正面投影a’b’。分析：由于點(diǎn)A的正面投影a’（即其z坐標(biāo)）已知，所以只要求出A、B兩點(diǎn)的z坐標(biāo)差，即可確定點(diǎn)B的正面投影b’。由上述直角三角形法的原理可知，以ab為一直角邊，作一銳角為300的直角蘭角形，則300角所對的直角邊，即為A、B兩點(diǎn)的Z坐標(biāo)差。,例2-8：根據(jù)圖2－26（a）所示，在直線AB上找一點(diǎn)K，使AK：KB=3：2分析：由上述投影特性可知，AK：KB=3：2，則其投影ak：kb=a’k’：k’b’＝3：2。因此，只要用平面幾何作圖的方法，把a(bǔ)b或a’b’為3：2，即可求得點(diǎn)K的投影。,例2－9：判定點(diǎn)K是否在側(cè)平線AB上（圖2－27a〕。分析：由直線上點(diǎn)的投影特性可知，如果點(diǎn)K在直線AB上，ak：kb=a’k’：k’b’，因此，可用這一等比關(guān)系來判定K是否在直線AB上。另外，如果點(diǎn)K在直線AB上，則k”應(yīng)在a”b”上。所以，也可作出它們的側(cè)面投影來判定。,例2-10：已知：直線AB和CD相交于點(diǎn)K，并知AK：KB=1：2，根據(jù)圖給的投影，求AB的正面投影a’b’和CD的水平投影cd分析：由直線上的點(diǎn)分線段為定比的性質(zhì)可知，若AK：KB=1：2，則ak：bk也必等于1：2，由此可求得交點(diǎn)K的水平投影。又因交點(diǎn)K是兩直線AB和CD的公有點(diǎn)，故k’必在c’d’上。點(diǎn)C的水平投影和點(diǎn)B的正面投影分別位于dk和a’k’的延長線上。,例2-11：已知矩形ABCD的一邊AB平行于H面，根據(jù)圖給的投影，完成該矩形的兩面投影。分析：因矩形的兩邊AB⊥AC，又知AB∥H面，故ab⊥ac。又因矩形的對邊互相平行，所以ab∥cd，a’b’∥c’d’；ac∥bd，a’c’∥b’d’。據(jù)此即可完成該矩形的投影。,例2—12：過點(diǎn)C作直線CD與正平線AB相交垂直。分析：已知CD⊥AB，其中AB平行于V面，故其正面投影c’d’⊥a’b’，由此即可確定CD的投影c’d’和cd。,例2-13:在兩相交直線AB和CD所決定的平面內(nèi)，另外任取兩條直線（圖2-47（a））。分析：根據(jù)直線在平面內(nèi)的幾何條件，可在AB和CD上分別取一點(diǎn)M、N，則M、N連線必在該平面內(nèi)；再過AB或CD上的任一點(diǎn)作一直線平行于CD或AB，則該直線也必在該平面內(nèi)。,例2－14已知ΔABC內(nèi)點(diǎn)K的水平投影k，求其正面投影k’（圖2-48（a））。分析：點(diǎn)K在ΔABC內(nèi)，它必在該平面內(nèi)的一條直線上，k和k’應(yīng)分別位于該直線的同面投影上。因此，欲求點(diǎn)K的投影，須先在西ABC內(nèi)作出過點(diǎn)K的輔助線的投影。,例2-15：判定點(diǎn)K是否在兩平行直線AB和CD所決定的平面內(nèi)（圖2－49（a））。分析：如果點(diǎn)K在給定的平面內(nèi)，它必在該平面內(nèi)的一條直線上。因此，只要通過點(diǎn)K的某一投影在（或k‘），在給定的平面內(nèi)作一條直線的投影，看點(diǎn)K的另一投影k’（或k）是否在該直線的同面投影上，即可判定點(diǎn)K是否在所給定的平面內(nèi)。,例2—16：已知平面四邊形ABCD的水平投影abcd和正面投影a’b’d’，完成該四邊形的正面投影見圖2—50（a）。分析：因?yàn)锳BCD為一平面四邊形，所以點(diǎn)C必在ABD所決定的平面內(nèi)，因此點(diǎn)C的正面投影C’可運(yùn)用在平面內(nèi)取點(diǎn)的方法求得。,例2—17：在兩平行直線AB、CD所決定的平面內(nèi)，作一距H面為15的水平線，如圖(2-52(a))分析：水平線的正面投影平行于OX軸，它到OX軸的距離，反映水平線到H面的距離，雖然平面內(nèi)所有的水平線，其正面投影都平行于OX軸，但距OX軸為15的只有一條，故應(yīng)先作其正面投影，再求其水平投影。,例2-18:過ΔABC的頂點(diǎn)B，作該平面內(nèi)的正平線見圖2-53（a）。分析：由直線在平面內(nèi)的幾何條件可知，過頂點(diǎn)B作直線L，平行于西ABC的一條直線，則直線L必在該平面內(nèi)。如果所作的直線L，平行于ΔABC的一條正平線，則直線L即為該平面內(nèi)過頂點(diǎn)B的正平線。因此，欲過頂點(diǎn)B作該平面內(nèi)的正平線，須在ΔABC內(nèi)先任作一條正平線。,例2—19：求ΔABC（alc，a’b’c’）與H面的傾角，見圖2一55（a）。分析：ΔABC與H面的傾角，就是該平面的最大坡度線與H面的傾角。因此，只要求出該平面的最大坡度線的兩個(gè)投影，然后利用直角三角形法，即可求得最大坡度線與H面的傾角α。,例2－20包含點(diǎn)A（a，a‘）作一用跡線表示的鉛垂面P，且與V面的傾角為300［圖2-56（a）］。分析：因?yàn)殂U垂面的水平跡線有積聚性，所以PH必通過點(diǎn)A的水平投影a；又因水平跡線與OX軸的夾角，反映該平面與V面的傾角，故PH的方向可定。,例2－21：包含水平線AB作一與H面傾角為300的平面，見圖2—57（a）。分析：平面對H面的傾角α，就是該平面最大坡度線與H面的傾角；最大坡度線又與平面內(nèi)的水平線垂直；因此只要作一條與AB相交垂直、且與H面成300角的直線（即為所求平面的最大坡度線），該直線與AB所決定的平面，即為所求的平面。,例3-1：過點(diǎn)A作一水平線AB，與ΔCDE平行，見圖3-2（a）。分析：ΔCDE（Δcde，c’d’e’）的空間位置一經(jīng)給定，該平面水平線的方向也就隨之而定。雖然過點(diǎn)A可作無數(shù)條水平線，而與ΔCDE平行的直線只有一條，它必與ΔCDE內(nèi)的水平線平行。,例3-2:判定直線AB與ΔCDE是否平行（圖3-3（a））。分析：由直線與平面平行的幾何條件可知，如果AB∥ΔCDE，則在西CDE內(nèi)必能作出與AB平行的直線，否則AB不平行于ΔCDE。,例3－3：判定直線AB與正垂面P是否平行（圖3-4）分析判定：正垂面P內(nèi)的所有直線（包括水平投影與ab平行的直線）的正面投影，都積聚在Pv上。因?yàn)轭}中給出a’b’∥Pv，故可以判定直線AB與正垂面互相平行。,例3－4:求直線AB與鉛垂面P的交點(diǎn)K，并判定投影的可見性(3－6（a）)。分析：因?yàn)榻稽c(diǎn)K是直線AB與鉛垂面P的公有點(diǎn)，鉛垂面P的水平投p有積聚性，所以直線AB的水平投影ab與p的交點(diǎn)k，即為AB與平面P交點(diǎn)K的水平投影。,例3-5：求正垂線AB與ΔCDE的交點(diǎn)，并判定投影的可見性，參見圖3-7（a）。分析：由于交點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，而正垂線的正面投影有積聚性，所以交點(diǎn)的正面投影與正垂線的正面投影重合。又因交點(diǎn)也是平面上的點(diǎn)，故可用在平面內(nèi)取點(diǎn)的方法，求交點(diǎn)的水平投影。,例3-6：求直線AB與ΔCDE的交點(diǎn)，并判定投影的可見性，見圖3－9（a）。,例3－7：求圖3-10（a）所示的直線AB與ΔCDE的交點(diǎn)，并判定投影的可見性。,例3-8：過點(diǎn)M作直線MN垂直于ΔABC，并求其垂足，如圖3-12（a）所示。,例3-9：過點(diǎn)A作平面與直線MN垂直（圖3-13（a））。分析：由直線與平面垂直的幾何條件可知，只要過點(diǎn)A作兩條相交直線均與MN垂直，則這兩條相交直線所決定的平面，既包含點(diǎn)A，又與MN垂直。,例3-10：判定圖3-14（a）所示的直線AB與平面P是否垂直。分析：如果AB⊥P，則AB的水平投影ab，必垂直于平面P內(nèi)水平線的水平投影；同時(shí)AB的正面投影a’b’，必垂直于平面P內(nèi)正平線的正面投影。,例3-11：判定圖3-15所示的直線AB與鉛垂面P是否垂直。分析判定：因?yàn)殂U垂面P內(nèi)水平線的水平投影，與它的水平投影p重合；鉛垂面內(nèi)平行于V面的直線，又只能是鉛垂線；所以與鉛垂面P垂直的直線，一定是水平線，而且其水平投影與平面的水平投影（有積聚性）垂直。從圖中可以看出，雖然ab⊥P，但a’b’不平行于OX軸，故直線AB與鉛垂面P不垂直。同理，與正垂面垂直的直線，一定是正平線，而且其正面投影與正垂面的正面投影垂直，由此可判定，直線與正垂面是否垂直。,例3-12：過點(diǎn)A作一平面，與兩條平行線DE和FG所決定的平面平行，如圖3-17。分析：由兩平面互相平行的幾何條件可知，只要過點(diǎn)A作兩條相交直線，與已知平面內(nèi)的兩條相交直線對應(yīng)平行（其同面投影都對應(yīng)平行），則過點(diǎn)A的這兩條相交直線所決定的平面，必與已知平面平行。,例3-13：判定圖3-18（a）所示的ΔABC與ΔDEF是否平行。分析：如果ΔABC∥ΔDEF，則在ΔDEF內(nèi)必能作出兩相交直線，與ΔABC的兩邊對應(yīng)平行（其同面投影都對應(yīng)平行），否則ΔABC不平行于ΔDEF。,例3-14：求圖3－21(a)所示的鉛垂面P與ΔABC的交線，并判定其投影的可見性。,例3-15：求圖3－22(a)所示的正平面ΔABC與鉛垂面P的交線，并判定其投影的可見性。,例3-16：求圖3—23（a）所示的ΔABC與水平面P的交線，并判定其投影的可見性。,例3-17：求圖3－25（a）所示的ΔABC與ΔDEF的交線，并判定其投影的可見性。分析：為了作圖簡便起見，求交點(diǎn)時(shí)所選的直線，最好與相交平面的各投影都有重影部分（因?yàn)橹挥羞@樣的直線與平面的交點(diǎn)，才有可能在平面圖形的范圍之內(nèi)），如DE、DF與ΔABC的兩投影，以及AC與ΔDEF的兩投影都有重影部分，所以宜在DE、DF和AC中任選兩條，求與另一平面的交點(diǎn)。,例3-18：求圖3－26（a）所示的ΔABC與ΔDEF的交線，并判定其投影的可見性,例3-19：求圖3-28（a）所示的ΔABC與ΔDEF的交線。,例3-20：包含直線MN作一平面，與ΔABC垂直，如圖3-30（a）所示。分析：由兩平面垂直的幾何條件可知，只要過直線MN上的任一點(diǎn)，作一條直線與ΔABC垂直，則這兩條相交直線所決定的平面必與ΔABC垂直。,例3－21：判定圖3-31（a）所示的平面P與ΔABC是否垂直。分析：由兩平面垂直的幾何條件可知，如果P⊥ΔABC，則在ΔABC內(nèi)必包含平面P的垂線。因此，欲判定P與ΔABC是否垂直，可過ΔABC內(nèi)的任一點(diǎn)作平面P的垂線，然后根據(jù)直線在平面內(nèi)的幾何條件，判定該垂線是否在ΔABC內(nèi)。,例3-22：判定圖3-32（a）所示的ΔABC與鉛垂面P是否垂直。分析：由于與鉛垂面垂直的直線只能是水平線，所以欲判定ΔABC與鉛垂面P是否垂直，只要看ΔABC內(nèi)的水平線的水平投影，與鉛垂面的水平投影p是否垂直即可。,綜合性問題例3-23：如圖3-33（a）所示，過點(diǎn)M作一直線MN與ΔABC平行。并與直線KL相交。分析：圖3-33（a）過點(diǎn)M可作無數(shù)條直線與ΔABC平行。這些直線的軌跡，是過點(diǎn)M，且與ΔABC平行的平面Q；平面Q內(nèi)的所有直線，都與ΔABC平行。而在平面Q內(nèi)過點(diǎn),與M相交的直線，只能是直線KL與平面Q的交點(diǎn)N和點(diǎn)M的連線。,,例3-24：已知直角ΔABC的直角邊BC=25，并位于直線MN上，∠B=900；根據(jù)圖3-34(a)所給定的條件，完成該直角三角形。分析：ΔABC的一直角邊BC位于MN上，則其另一直角邊AB，必位于過點(diǎn)A。且垂直于MN的平面內(nèi)。因此，過點(diǎn)A作MN的垂面，該垂面與MN的交點(diǎn)，即為直角ΔABC的頂點(diǎn)B，過點(diǎn)B在MN上截取BC=25，可得另一頂點(diǎn)C（圖3-34（b）；分別連接A、B和A、C的同面投影，即得直角ΔABC的投影。因?yàn)閺狞c(diǎn)B可以在MN上向M和N兩個(gè)方向截取BC=25，故該題有兩個(gè)解。,例3-25：求圖3－35（a）所示的兩交叉直線AB和CD的公垂線。分析：如圖3－35（b）所示，假設(shè)KL是兩交叉直線AB和CD的公垂線。如果過直線AB上的任一點(diǎn)B，作BE∥CD，那么KL必垂直于由AB和BE所決定的平面Q；再過CD上的任一點(diǎn)C，作。CF⊥Q，那么AB與CD和CF所決定的平面P的交點(diǎn)，就是垂足K。因?yàn)镵L∥CF,且同位于平面P內(nèi)，據(jù)此即可求得另一垂足L。,例3－26：求圖3-36（a）所示的直線AB與平面P的夾角。分析：如圖3-36（b）所示，根據(jù)初等幾何的定義，直線AB與平面P的夾角，應(yīng)為直線AB與其在平面P上的正投影AlBl的夾角θ,例4-1：如圖4-12（a）所示，求點(diǎn)A到平面BCDE的距離及垂足K。分析：過點(diǎn)A作平面BCDE的垂線，求得垂足，點(diǎn)A到垂足的線段實(shí)長即為所求的距離由于平面BCDE是一般位置平面，所以它的垂線也一定是一般位置直線，因而直線的實(shí)長及垂足的位置在V/H體系中不能直接反映出來。如果把平面BCDE變換為新投影面的垂直面，則其垂線將平行于新投影面．它的實(shí)長及其垂足的位置就能直接反映出來。所以本題用一次更換投影面即可解決。,例4-2：求圖4-13所示兩交叉直線AB及CD之間的距離。分析：如圖4-13（b）所示，兩交叉直線的距離就是它們公垂線的實(shí)長?，F(xiàn)有兩條直線都是一般位置直線，作圖較繁（見圖3—35）。如果把交叉的兩條直線之一（如CD）變換為投影酗垂直線，則它們的公垂線MN即為新投影面的平行線，其新投影反映實(shí)長，且與另一條直線AB在該投影面上的投影反映直角。這樣，便有利于求解。由于兩條交叉直線均為一般位置直線，所以要經(jīng)過兩次變換。另一種方法，即將兩條交叉直線AB、CD經(jīng)過投影變換，使其同時(shí)平行于一個(gè)新投影面P，這時(shí)兩條直線的公垂線IWN必然垂直于P面，它的實(shí)長可以在與P面垂直的投影面上反映出來，如圖4-14(a）所示。,例4-3：如圖4—15(a)所示．已知直線AB及線外一點(diǎn)M，試在直線AB上找一點(diǎn)C，使直線MC與直線AB的夾角為600。分析：點(diǎn)M與直線N決定一個(gè)平面，而MC在該平面內(nèi)，如將該平面變換成投影面g的平行面，則直線AB與MC的夾角其實(shí)際大小可以直接作出來。該平面是一般位置平面，如B變換成投影面的平行面，要進(jìn)行兩次變換。,例4-4：求圖4-16（a）所示ΔABC和ΔDEF的交線。分析：ΔABC和ΔDEF都是一般位置平面，如果將其中一個(gè)平面變換為投影面的垂面，就可以利用新投影的積聚性求出其交線。,例4-5：如圖4-24（a）所示，求點(diǎn)E到平面ΔABC的距離。分析：如果平面ΔABC是投影面的垂直面，則點(diǎn)到平面的距離可以直接反映出來?，F(xiàn)在平面ΔABC為一般位置平面，因此要把它旋轉(zhuǎn)成投影面的垂直面。應(yīng)該注意的是：在旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)E與ΔABC必須繞同一軸、按同一方向、旋轉(zhuǎn)同一角度，這樣才能保持它們的相對位置不變。,,例4-6：求直線AB與平面P的夾角（圖4-25(a)）分析：如圖4-25（b）所示，平面P與直線AB都處于一般位置，欲求得它們之間的夾角，可以把平面P變換成投影面的垂直面，同時(shí)把直線AB變換成投影面的平行線，這樣它們之間的夾角θ就可以在投影上直接反映出來。,,例5-1：已知三棱錐表面上的點(diǎn)K和線段MN的正面投影k’和m’n’，如圖5-4（a）所示，求作它們的其他兩投影。分析：從圖中可以看出k’是可見的，所以點(diǎn)K在三棱錐表面SBC上，過點(diǎn)K在SBC上任作一條輔助線，例如SD，求出SD的各投影，點(diǎn)K的各投影即在線段SD的同面投影上。,例5-2：已知三棱柱表面上點(diǎn)A的正面投影a’和點(diǎn)B的水平投影b，求它們的其他兩投影。分析：由于a’是可見的，所以點(diǎn)A在三棱柱的前左棱面上，而該三棱柱的各棱面都是鉛垂面，其水平投影有積聚性，所以由a’可直接求出點(diǎn)A的水平投影a，然后再求出其側(cè)面投影a”；同樣，b為可見，說明點(diǎn)B位于三棱柱的上底面，上底面為水平面，其正面投影和側(cè)面投影都有積聚性，所以由b可直接求出b’和b”。,,例5-3：如圖5-4所示，求正垂面P與三棱錐的截交線。分析：截平面P與三校錐的三條棱線SA、SB，SC相交，可采用求棱線與截平面交點(diǎn)的方法，分別求出三條棱線與截平面的交點(diǎn)I、Ⅱ、Ⅲ，連接起來即為截交線。,例5-4：如圖5-8（a）所示，求四棱柱被截切后的三面投影圖及截面的實(shí)形。分析：截平面P與四棱柱的4個(gè)棱面及上底面相交，所以截交線是一個(gè)凸五邊形，它的五個(gè)頂點(diǎn)分別是截平面與四棱柱三條棱線及上底面的兩條邊線的交點(diǎn)。由于平面P為正垂面，所以截交線的正面投影重合于Pv。四棱柱的各棱面為鉛垂面，它們與平面P交線的水平投影和各棱面的水平投影重合。截平面與棱柱上底面的交線為正垂線，其正面投影積聚為一點(diǎn)，水平投影反映實(shí)長。根據(jù)對正面投影和水平投影的分析，可知截交線的側(cè)面投影是比實(shí)形縮小的五邊形。,例5-5：如圖5-9（a）所示，畫全有切口四棱錐的水平投影和側(cè)面投影。；分析：四棱錐的切口，可以看作是由水平面P和正垂面Q截切而成的，因此，除了要分別求出P、Q兩平面與四棱錐表面的交線之外，還要求出P、Q兩截平面的交線。P、Q兩截平面的正面投影有積聚性，所有各棱線與截平面交點(diǎn)的正面投影可以直接得到，由此可求出它們的水平投影和側(cè)面投影；P、Q兩截平面的交線與棱面的交點(diǎn)可用輔助線法求得。,例5-6：求圖5-10（a）所示直線AB與三棱錐的貫穿點(diǎn)，并判定其可見性。分析：圖5-10（a）直線AB及各棱面都是一般位置，可包含AB作輔助平面P，求出P與三棱錐的截交線Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ，AB與該截交線的交點(diǎn)在為直線AB與三棱錐的貫穿點(diǎn)。,例5-7：求圖5-11（a）所示直線AB與四棱柱的貫穿點(diǎn)，并判定其可見性。分析：圖5—11（b）該四棱柱各棱面的水平投影和底面的正面投影都有積聚性，利用其積聚性可以直接求出貫穿點(diǎn)M和N。,例5-8：求圖5-13（a）所示三棱錐與四棱柱的相貫線。分析：根據(jù)正面投影可以看出，四棱柱整個(gè)貫穿三棱錐，為全貫，產(chǎn)生前后兩條相貫線，四棱柱各棱面的正面投影有積聚性，所以相貫線的正面投影積聚在四棱柱各棱面的正面投影上。因此，只需要求出相貫線的水平投影和側(cè)面投影。,例5-9：求圖5-14（a）所示三棱柱與三棱錐的相貫線。分析：三棱柱的各棱面均為鉛垂面，其水平投影有積聚性。從水平投影中可以看出棱柱的前一條棱線和棱錐的后兩條棱線參與相貫，兩立體為互貫，所以只有一條相貫線。相貫線上各轉(zhuǎn)折點(diǎn)就是參與相貫的棱線與另一立體表面的交點(diǎn)。因此，可以利用求貫穿點(diǎn)的方法人出上述三條棱線對另一立體表面的交點(diǎn)，并按前述原則連接起來，即可作出相貫線。,例5-10：求圖5-15（a）所示兩個(gè)五棱柱的相貫線。分析：如圖5-15（b）所示，由于兩個(gè)相貫的五棱柱并不是前后貫通的，所以只在前面有一條相貫線；又因?yàn)檫@兩個(gè)五棱柱下面的水平棱面同在一個(gè)平面上，所以它們的相貫線是一條不封閉的空間折線。從圖上還可以看出，這兩個(gè)五棱柱棱面又分別垂直于V面和W面，所以相貫線的正面投影和側(cè)面投影都是已知的，需要求出的只是其水平投影。,同坡屋面的交線在坡頂屋面中，同一個(gè)屋頂?shù)母鱾€(gè)坡面，對水平面的傾角相同，稱為同坡屋面。對于各屋檐等高的四坡頂同坡屋面[圖5—16（a）]，屋面交線及其投影有如下的規(guī)律：1．屋檐線相互平行的兩坡面如相交，則必交成水平屋脊，屋脊的水平投影必平行于屋檐線的水平投影，且與兩屋檐線的水平投影等距離。如圖5-16（a）所示，ab平行于cd、ef；gh平行于id、jf。2．屋檐線相交的兩坡面必交成斜脊線或天溝線，其水平投影為兩屋檐線水平投影夾角分角線。斜脊線位于凸墻角處，天溝位于四墻角處。因?yàn)槲蓍芫€相交為直角，所以無論是斜線或天溝線，它們的水平投影都與屋檐線的水平投影成450角。,如圖5-16（b）所示，dg為天溝線的水平投影，ac、ae等為斜脊線的水平投影，它們分別屋檐線的水平投影成450角。3．屋面上若有一斜脊與天溝相交于一點(diǎn)，則必有一條水平屋脊相交于該點(diǎn)。如圖5-16,例5-10：已知圖5-17（a）所示四坡頂屋面的平面形狀及坡面的傾角a，求屋面交線。,例6-1：已知點(diǎn)A、B、C為圓柱面上的點(diǎn)，根據(jù)圖6—9(a)所給的投影，求它們的其余兩投影。分析：因?yàn)閳A柱面的水平投影為有積聚性的圓，所以A、B、C三點(diǎn)的水平投影必落在該圓周上，根據(jù)所給投影的位置和可見性，可以判定點(diǎn)A在圓柱面的右前部分，點(diǎn)B在圓柱面的左后部分，點(diǎn)C在圓柱面的最后素線上。因此，點(diǎn)A的水平投影a應(yīng)位于圓柱面水平投影的前半圓周上，點(diǎn)B（的水平投影b、C則位于后半圓周上。,例6-2：已知圓錐面上點(diǎn)A、B的投影a’、b，如圖6-11（a）所示，求作點(diǎn)A、B的其余兩投影。分析：由點(diǎn)A、B的已知投影a’、b可以判定，點(diǎn)A位于前半錐面的左半部，點(diǎn)B位于后半錐面的右半部。,例6-3：根據(jù)圖6—13（a）所給出的圓球面上點(diǎn)A、B的投影a’、（b），求作點(diǎn)A、B其余兩投影。,例6-4：如圖6-15（a）所示，已知圓環(huán)面上點(diǎn)A、B的投影a、b’，求作點(diǎn)A、B的另一投影。分析：在圓環(huán)面上確定點(diǎn)的投影，只能應(yīng)用輔助緯圓法。由點(diǎn)A、B的已知投影a、b’，可以確定點(diǎn)A在外圓環(huán)面左前上部，點(diǎn)B在外環(huán)面右前下部。,例6-5：如圖6—17（a）所示，直母線MN繞與其交叉的鉛垂線O旋轉(zhuǎn)，已知兩面投影mn、m’n’和o、o’，求作此單葉回轉(zhuǎn)雙曲面的兩面投影。,例6-6：如圖6—19（a）所示，已知單葉回轉(zhuǎn)雙曲面上的點(diǎn)A、B的投影（a’）、b，求作其另一投影。分析：根據(jù)點(diǎn)A、B已知投影的位置，可以確定點(diǎn)A在回轉(zhuǎn)面右后半部分，點(diǎn)B在回轉(zhuǎn)面的左前半部分。在單葉回轉(zhuǎn)雙曲面上確定點(diǎn)的投影，可以采用輔助緯圓法和輔輔線法。由于回轉(zhuǎn)面的軸線垂直H面，由a’求作a時(shí)，可以用輔助緯圓法。由b求作b’時(shí)，可應(yīng)用輔助緯圓法和輔助素線法。,例7-1：求圖7-1（a）所示圓柱被正垂面P截切后的側(cè)面投影及截面的實(shí)形。分析：由于正垂面P傾斜于圓柱軸線，截交線是一橢圓，截交線的H面投影與圓柱面具有積聚性的H面投影重合，是一圓。截交線的W面投影仍是一橢圓。由于截平面與圓柱軸線的夾角小于450，橢圓長軸的投影仍為橢圓投影的長軸。,例7-2：求圖7—2（a）所示帶切口圓柱的水平投影。分析：該圓柱的切口是由兩個(gè)正垂面P和R截切圓柱形成的。P和R的交線為一正垂線。由于兩個(gè)截平面和圓柱軸線傾斜，截交線均為橢圓，即切口由兩個(gè)部分橢圓所組成，其V面投影有積聚性，在H中，除需要分別作出兩部分橢圓的投影外，還應(yīng)作出兩截平面交線的投影。,例7-3：求圖7-3（a）所示的圓錐被正垂面截切后的水平和側(cè)面投影。分析：由于截平面平行于圓錐的一條素線，故其截交線為拋物線（如表7-2中所示第四種情況），V面投影有積聚性對面、W面投影仍為拋物線。截平面與圓錐底面的交線是一直線段，和拋物線組成一個(gè)封閉平面圖形。截交線的H面、W面投影可以根據(jù)已知的V面投影用在曲面上定點(diǎn)的方法求出。,,例7-4：已知圖7-4（a）所示切口圓錐的正面投影，求作其他兩面投影。分析：圓錐的切口可以看成是由一個(gè)水平面P和一個(gè)正垂面R相交截切圓錐形成的。水平面P垂直于圓錐軸線，與錐面的截交線為水平圓，正垂面R與圓錐軸線斜交，與錐面的截交線為橢圓，所以切口由一部分水平圓和一部分橢圓組成。根據(jù)切口的正面投影，水平回部分可以直接作出，橢圓部分可以利用輔助線法來作圖。,例7-5：求圖7-（a）所示圓球被鉛垂面P截切后的投影。分析：由于平面P垂直于H面，與V面、W面傾斜，截交線的H面投影為PH上的直線段，長度等于圓的直徑，V面、W面投影是橢圓。橢圓長軸是截交線圓中垂直于H面的直徑的投影，短軸是圓中平行于H面直徑的投影。,例7-6：已知圖7-6（a）所示半球被截切后的H面投影，求作其余兩投影。分析：圖7-6（a）給出的是一個(gè)半球被兩對對稱的投影面平行面截切后的H面投影。其中一對正平面截切半球所得截交線的V面投影反映圓弧的實(shí)形，W面投影成為兩鉛垂線，一對側(cè)平面截切半球所得截交線的W面投影反映圓弧的實(shí)形，V面投影成為兩鉛垂線。4個(gè)截平面的交線為四條等長的鉛垂線，如圖7-6（b）所示。,,例7-7：求圖7-8（a）所示直線與圓柱的貫穿點(diǎn)。分析：圓柱的軸線垂直于H面，圓柱面的水平投影和底面的正面投影都有積聚性，可利用其積聚性直接求出貫穿點(diǎn)。,例7-9：如圖7-10（a）所示直線AB與斜柱的貫穿點(diǎn)。分析：如圖7-10（b）所示，直線AB與柱面對投影面均處于一般位置，求貫穿點(diǎn)應(yīng)用輔助平面法。為了作圖簡便起見，可通過點(diǎn)A作一直線AM1，平行于柱面素線，則由AB、AM1所決定的輔助平面，將在柱面上截得素線Ⅰ-Ⅳ、Ⅱ-Ⅲ，AB與Ⅰ-Ⅳ、Ⅱ-Ⅲ的一對交點(diǎn)D、E，即為對斜柱的貫穿點(diǎn)。,,例7-11：求圖7—12（a）所示直線AB和球的貫穿點(diǎn)。分析：直線AB處于一般位置，但過AB作垂直于某一投影面的輔助平面與球的截交線的其他投影為橢圓，不便于作圖，故應(yīng)采用換面法，作平行于直線AB的新投影面，求出貫穿點(diǎn)在新投影體系中的投影，然后再求貫穿點(diǎn)在原投影體系中的投影。,,例7-12：求作圖7—13（a）所示四棱錐和圓柱的相貫線。分析：圖7—13（b）為四棱錐和圓柱的軸線重合，其相貫線是由棱錐的四個(gè)棱面截切圓柱面所得的四段橢圓弧組合而成的封閉曲線。四條棱線與圓柱面的四個(gè)貫穿點(diǎn)就是這些橢圓弧的結(jié)合點(diǎn)，四個(gè)貫穿點(diǎn)的高度相同。由于圓柱表面垂直于H面，相貫線的水平投影就位于圓柱的H面投影上，所以只需要求出V面投影。,例7-13：求圖7-14（a）所示正三棱柱與半圓球的相貫線。分析：圖7-14（b）為正三棱柱與半圓球的相貫線由3個(gè)棱面與球面的三條截交線組成，它們的空間形狀都是圓弧，其中棱面BC是正平面，它與球面截交線的V面投影反映圓弧的實(shí)形，另外兩個(gè)棱面傾斜于V面，所以它們的截交線的V面投影是橢圓的一部分。,,,例7-14：求作圖7-15（a）所示兩圓柱的相貫線。分析：兩圓柱軸線正交，水平圓柱貫入豎放圓柱，相貫線是一封閉的空間曲線，如圖7-15（b）所示。在投影圖中，由于兩圓柱軸線分別垂直H面、W面，所以豎放圓柱的H面和水平圓柱的w面投影有積聚性，故相貫線的w面投影是圓，H面投影是水平圓柱的一段圓弧。故可采用在立體表面上定點(diǎn)的方法，由相貫線的H面投影和W面投影越V面投影。由于兩個(gè)圓柱的軸線所決定的平面平行于V面，相貫線前、后對稱，投影重合，且兩圓柱V面投影輪廓線的交點(diǎn)，就是相貫線上點(diǎn)的投影。,例7-15：求作圖7-16（a）所示圓球和圓錐的相貫線。分析：圓球面初圓錐面的兩面投影均無積聚性，相貫線的V面、H面投影需用輔助平面法求出共有點(diǎn)，然后連接共有點(diǎn)的同面投影。根據(jù)球和圓錐的形狀特征及其相對位置，可選擇水平面作輔助平面，它與球和圓錐的輔助截交線均為水平圓，如圖7-16（b）所示。；,例8-1:如圖8-5(a）所示，已知軸測軸OX、OY、OZ（軸向伸縮系數(shù)分別為p=1，q=0.5，r=1)和點(diǎn)M的正投影圖，畫點(diǎn)M的軸測投影。,例8-2:畫圖8-8(a)所示正六棱柱的正等軸測圖。分析:由于六棱柱的前后、左右都有對稱軸線，故可把坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在頂面的中心處，由上向下作圖較為簡便。,例8-3:畫圖8-9(a)所示木榫頭的正等軸測圖。分析:木榫頭可視為由一長方體切割而成，畫軸測圖時(shí)，也可采用切割法。,例8-4：畫如圖8—13（a）所示帶有三個(gè)相同圓柱孔的立方體的正等軸測圖。分析：3個(gè)圓柱孔的頂圓，分別位于立方體3個(gè)相鄰的側(cè)面上，如果將坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在立方體的左前上角，各坐標(biāo)軸與棱線重合,那么3個(gè)圓柱孔的頂圓即為3個(gè)坐標(biāo)面的圓。3個(gè)底圓則分別平行于相應(yīng)的坐標(biāo)面。這些圓的正等軸測圖，都是形狀和大小相同的橢圓，它們的長軸應(yīng)與相應(yīng)的棱線垂直。,例8-5：畫圖8—14(a）所示的被切圓柱正等軸測圖。分析：圓柱上半部被切部分左右對稱，頂面和中間截面都是水平圓的一部分。以頂圓的圓心作為坐標(biāo)原點(diǎn)（Q1Z1軸為圓柱軸線），由上向下作圖，可省去不可見部分的作圖線。,例8-6：畫圖8—18(a)所示擋土墻的正面斜等測圖。,例8-7：畫出圖8-18(a)所示鋼箍的立面斜二測圖。,例8-7：畫圖8-21(a)所示建筑群的水平斜二測圖。,例8-9：畫圖8-24(a)所示壓蓋的剖切正面斜二測圖。分析：壓蓋上所有圓和圓弧所在平面都與V面平行，它們的正面斜二測圖都反映實(shí)形。畫圖時(shí)，可先畫出剖切了后的前端面和剖切斷面的形狀，然后再畫內(nèi)、外的可見輪廓線。,,,例10-1：求圖10-5中AB直線的坡度和平距，并求C點(diǎn)的標(biāo)高。,【解】直線的坡度i=IAB/LAB。其中IAB為A、B兩點(diǎn)的高差，即IAB=24－12=12。LAB為A、B兩點(diǎn)間的水平距離，用比例尺量得為36，所以i=12／36=1／3。直線的平距l(xiāng)=1／i=3。因?yàn)閕=IAB/LAB=i=IAc/LAc1／3，所以IAC=1／3=LAC。由比例尺量得為15，由此得IAC=1／315=5，所以C點(diǎn)的標(biāo)高為24-5＝19，標(biāo)為C19。,例10-2：如圖10一9（a）所示，已知A、B、C三點(diǎn)的標(biāo)高投影a1、b6、c2。求由這3點(diǎn)所決定的平面的平距和傾角。分析：平面的平距及與基面的傾角就是平面上最大坡度線的平距和傾角。而平面的最B大坡度線又垂直于平面內(nèi)的等高線，所以本例要解決的問題，就是在平面上求作等高線。,例10-3：求作圖10-10（a）所示平面的等高線。分析：A和B的高差是5-2=3，若在整數(shù)標(biāo)高處各作一條等高線，應(yīng)作出4條。其中過a2和b5各有一條標(biāo)高分別為2和5的等高線，它們之間的距離L應(yīng)為該平面平距的三倍。而平面的平距l(xiāng)=1/i=1／0．5=2，即L=31=3X2=6。這就是等高線5到等高線2的水平距離。于是問題就變成過點(diǎn)a2作等高線2與點(diǎn)b5距離為6。因此可按圖10—10（c）的思路解決：即以b5為圓心，底圓半徑為6作一高度等于3的正圓錐，則等高線2必為過a2向錐底圓所作的切線。錐頂B與切點(diǎn)K的連線BK，即為該平面的最大坡度線。,分析：兩平面的交線是兩平面內(nèi)同高等高線交點(diǎn)所連的直線。從題所給條件可知，兩等高線5的交點(diǎn)a5即為交線上的一點(diǎn)，根據(jù)l＝2（因?yàn)閕＝1/2）可求出平面P的另一等高線（如等高線2），從而求出另一交點(diǎn)。,例10-6：如圖10—16所示，已知直管線兩端A、B的標(biāo)高分別為21.5和23.5，求管線AB與地面的交點(diǎn)。分析:本例實(shí)際是求直線與地面的貫穿點(diǎn)。求直線與曲面立體的貫穿點(diǎn)相似。即先包含直線作一輔助平面與地面相交，從而得到地形的斷面輪廓(叫作地形斷面圖)，再求直線（管線）與斷面輪廓的交點(diǎn)。,例l0-7:求圖10-17所示地面與坡度為2／3的坡面的交線。分析:平面與地面的交線，即先求出平面與地面上標(biāo)高相同等高線的交點(diǎn)，然后順次連成平滑曲線。,例l0-8:一斜坡道與主干道相連，設(shè)地面標(biāo)高為零，主干道路面標(biāo)高為5，斜坡道路面坡度及各坡面坡度如圖10-18(a）所示，求它們的填筑范圍及各坡面的交線。分析:求主干道和斜坡道的填筑范圍，就是求它們的坡面與地面的交線，亦就是求各坡面上高度為零的等高線，俗稱坡腳線。坡面間交線是各相交坡面上高度相同等高線交點(diǎn)的連線。為此，先根據(jù)已知坡度計(jì)算各坡面自坡頂至坡腳線間的水平距離。其中LI＝115=1／（1／5）5＝55=25；L2=125=1／（2／3）5=1.55=7.5；L3=135＝1／15＝5。,例10-9：如圖10-19（a）所示，已知道路路基的邊坡坡度均為1／2，試求作此路基邊坡與地形面的交線。分析:因?yàn)槁访娓叱虨?50，所以，地形面高于路面的部分要挖去（稱為挖方），低于路面的部分要填上（稱為填方）、挖方與填方的分界線就是250等高線。路基邊緣與地形面250等高線的交點(diǎn)m250和n250，就是路基邊緣線上挖方與填方的分界點(diǎn)。除保證路面的寬度和高程250外，路基兩側(cè)還要有坡度為1/2且逐漸上升（挖方路段）或逐漸下降（填方路段）的邊坡，這些邊坡與地形面的交線，分別是路基的挖方與填方在地形面上的施工范圍線。,例10-10：如圖10-20（a）所示，已知廣場的填方邊坡坡度為1/2，挖方邊坡坡度為1/1，求作廣場一角的邊坡與地形面的交線。分析:從圖中可以看出，地形面一部分低于廣場高程臨（58）為填方；一部分高于廣場高程為挖方。根據(jù)填、挖方邊坡坡度得出平距，填方時(shí)l1＝2單位，挖方時(shí)l2=1單位。注意，與廣場圓弧線相連的邊坡為圓錐面，其等高線為圓弧。,,畫,