2018-2019學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊 第27章 圓本章總結(jié)提升同步練習(xí) （新版）華東師大版.doc

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圓 本章總結(jié)提升 問題1　與圓有關(guān)的概念 直徑與弦有什么關(guān)系？弦與弧有什么區(qū)別？優(yōu)弧與劣弧如何表示？長度相等的弧是等弧嗎？ 例1 有下列說法：①圓中最長的弦不一定是直徑；②同一個圓中，優(yōu)弧大于半圓周，劣弧小于半圓周；③等弧的長度一定相等；④經(jīng)過圓內(nèi)一個定點可以作無數(shù)條弦；⑤經(jīng)過圓內(nèi)一個定點可以作無數(shù)條直徑．其中正確的有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 問題2　垂徑定理及其推論 你能說出垂徑定理及其推論的內(nèi)容嗎？垂徑定理常與哪些定理相結(jié)合解決問題？ 例2 如圖27－T－1，CD為⊙O的直徑，弦AB交CD于點E，連結(jié)BD，OB，AC. (1)求證：△AEC∽△DEB； (2)若CD⊥AB，AB＝8，DE＝2，求⊙O的半徑． 圖27－T－1 【歸納總結(jié)】應(yīng)用垂徑定理時應(yīng)注意：①定理中的“直徑”是指過圓心的弦，但在實際應(yīng)用中可以不是直徑，可以是半徑、過圓心的直線或線段等；②在利用垂徑定理思考問題時，常常把問題轉(zhuǎn)化到由半徑、弦的一半、圓心到弦的垂線段三者組成的直角三角形中去解決． 問題2　圓心角、弧、弦之間的關(guān)系 在同圓或等圓中，兩個相等的圓心角以及它們所對的弧、弦有什么關(guān)系？這些關(guān)系和圓的對稱性有什么聯(lián)系？ 例3 已知：如圖27－T－2，AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD⊥BC于點E，交于點D，連結(jié)AC，OC，CD，BD. (1)請寫出六個不同類型的正確結(jié)論； (2)若BC＝4，DE＝1，求⊙O的半徑． 圖27－T－2 【歸納總結(jié)】在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弦、兩條弧中如果有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量也相等，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想． 問題4　圓周角定理及其推論 圓周角的兩個要素是什么？圓周角定理及其推論的內(nèi)容是什么？這個定理及其推論可以解決哪些類型的問題？ 例4 如圖27－T－3，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交AC于點E，交BC于點D，連結(jié)BE，AD交于點P.求證： (1)D是BC的中點； (2)△BEC∽△ADC； (3)ACCE＝2PDAD. 圖27－T－3 【歸納總結(jié)】圓周角定理及其推論的作用：由圓周角定理及其推論的條件和結(jié)論可知，應(yīng)用圓周角定理及其推論可以證明兩角相等、兩弧相等、一角(或弧)等于另一角(或弧)的2倍或一半，判定圓的直徑或直角三角形，求角或弧的度數(shù)等． 問題5　圓內(nèi)接四邊形 什么是圓內(nèi)接四邊形？它有什么性質(zhì)？這個性質(zhì)與圓周角定理有什么關(guān)系？ 例5 如圖27－T－4所示，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，F(xiàn)是上一點，且＝，連結(jié)CF并延長交AD的延長線于點E，連結(jié)AC.若∠ABC＝105，∠BAC＝25，則∠E的度數(shù)為(　　) 圖27－T－4 A．45 B．50 C．55 D．60 【歸納總結(jié)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”，這個性質(zhì)是由圓周角定理推導(dǎo)出來的，其主要作用是計算角度，根據(jù)這個性質(zhì)可以推出“圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角”． 問題6　直線與圓的位置關(guān)系 直線與圓有哪些位置關(guān)系？如何確定一條直線與一個圓是哪種位置關(guān)系？什么是圓的切線？切線的判定定理、切線的性質(zhì)定理、切線長定理的內(nèi)容各是什么？ 例6 如圖27－T－5，⊙O是△ABC的外接圓，AC為直徑，弦BD＝BA，BE⊥DC交DC的延長線于點E，連結(jié)AD. 求證：(1)∠1＝∠BAD； (2)BE是⊙O的切線． 圖27－T－5 【歸納總結(jié)】已知切線想性質(zhì)，要證切線想判定；證明切線時，若明確已知直線與圓的公共點，則用切線的判定定理，若未明確已知直線與圓是否有公共點，則考慮圓心到直線的距離d與半徑r是否相等；多條切線時，莫忘切線長定理． 問題7　求不規(guī)則圖形的面積 什么是不規(guī)則圖形？如何求與扇形有關(guān)的不規(guī)則圖形的面積？求解過程體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？ 例7 如圖27－T－6，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC＝8，BD＝6，以AB為直徑作一個半圓，則圖中陰影部分的面積為(　　) 圖27－T－6 A．25π－6　　　　　　B.－6 C.－6 D.－6 【歸納總結(jié)】計算平面圖形的面積是初中幾何常見的題型之一，其中計算不規(guī)則圖形的面積又是難點，在求與圓有關(guān)的不規(guī)則陰影部分的面積時，通常是運用轉(zhuǎn)化思想將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為圓、扇形、三角形面積的和或差，對圖形進行分解、組合，化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形再求解． 問題8　圓中的計算問題 圓錐的側(cè)面展開圖是什么形狀的？展開圖與圓錐各部分的對應(yīng)關(guān)系如何？怎樣計算圓錐的側(cè)面積與全面積？ 例8 如圖27－T－7，一扇形紙片的圓心角∠AOB為120，弦AB的長為2 cm，用它圍成一個圓錐的側(cè)面(接縫忽略不計)，則該圓錐的底面半徑為(　　) 圖27－T－7 A. cm B.π cm C. cm D.π cm 問題9　正多邊形與圓 正多邊形與圓有什么關(guān)系？什么是正多邊形的中心、半徑、邊心矩、中心角？如何進行正多邊形的相關(guān)計算？怎樣利用正多邊形與圓的關(guān)系畫出正多邊形？ 例9 (1)已知：如圖27－T－8①，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，P為上一動點，求證：PA＝PB＋PC； (2)如圖②，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，P為上一動點，求證：PA＝PC＋PB； (3)如圖③，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，P為上一動點，請?zhí)骄縋A，PB，PC三者之間有何數(shù)量關(guān)系，并給予證明． 圖27－T－8 【歸納總結(jié)】(1)各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形； (2) 各角相等的圓外切多邊形是正多邊形.  教師詳解詳析 【整合提升】 例1　[解析] C　只有②③④正確． 例2　[解析] (1)根據(jù)“在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等”，可以得到這兩個三角形有兩對角分別相等，然后根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明即可． (2)根據(jù)垂徑定理，可以證明E為AB的中點，設(shè)⊙O的半徑為r，則OE＝r－2，根據(jù)勾股定理可得一個關(guān)于r的方程，解方程即可． 解：(1)證明：根據(jù)“在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等”，得∠A＝∠D，∠C＝∠ABD， ∴△AEC∽△DEB. (2)∵CD⊥AB，CD為⊙O的直徑， ∴BE＝AB＝4. 設(shè)⊙O的半徑為r.∵DE＝2， ∴OE＝r－2. 在Rt△OEB中，由勾股定理，得OE2＋BE2＝OB2， 即(r－2)2＋42＝r2，解得r＝5， 即⊙O的半徑為5. 例3　[解析] (1) 此題是結(jié)論開放性問題．由于AB是⊙O的直徑，所以∠ACB＝90(直徑所對的圓周角是直角)．進一步可得AC2＋BC2＝AB2，或∠A＋∠ABC＝90；因為 OD⊥BC于點E，交于點D，所以CE＝BE，CD＝BD，＝(垂徑定理)，OE2＋BE2＝OB2.進一步可得到：∠COD＝∠BOD，∠A＝∠COB＝∠COD＝∠BOD(在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半)；還可以得到AC∥OD，△BOD是等腰三角形等． (2)在Rt△OBE中，根據(jù)垂徑定理和勾股定理可以求出半徑． 解：(1) 答案不唯一，如：BE＝CE，∠BED＝90，∠BOD＝∠A，AC∥OD，AC⊥BC，OE2＋BE2＝OB2，△BOD是等腰三角形等． (2)設(shè)⊙O的半徑為r，則OB＝r, OE＝r－1. ∵OD⊥BC， ∴BE＝CE＝BC＝2. ∵在Rt△OBE中，OE2＋BE2＝OB2, ∴(r－1)2＋22＝r2，解得r＝. 故⊙O的半徑為. 例4　[解析] (1)根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明； (2)兩個三角形有一個公共角，只要再證明一對對應(yīng)角相等即可； (3)由ACCE聯(lián)想到△BEC∽△ADC.再由PDAD聯(lián)想到證明△BPD∽△ABD，綜合可得ACCE＝2PDAD. 證明：(1)∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90，即AD⊥BC. 又∵AB＝AC，∴D是BC的中點． (2)在△BEC與△ADC中， ∵∠C＝∠C，∠CBE＝∠CAD， ∴△BEC∽△ADC. (3)∵△BEC∽△ADC，∴＝. ∵D是BC的中點，∴2BD＝2CD＝BC， ∴＝，則2BD2＝ACCE.① ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD. 又∵∠CAD＝∠CBE， ∴∠CBE＝∠BAD. 又∵∠BDP＝∠ADB，∴△BPD∽△ABD， ∴＝，則BD2＝PDAD.② 由①②得ACCE＝2BD2＝2PDAD， ∴ACCE＝2PDAD. 例5　[解析] B　因為四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，所以∠ADC＝180－∠ABC＝180－105＝75.因為＝，所以∠DCE＝∠BAC＝25.因為∠ADC＝∠DCE＋∠E，所以∠E＝∠ADC－∠DCE＝75－25＝50.故選B. 例6　證明：(1)∵BD＝BA， ∴∠BDA＝∠BAD. 又∵∠1＝∠BDA，∴∠1＝∠BAD. (2)如圖，連結(jié)BO， ∵AC為⊙O的直徑， ∴∠ABC＝90. ∵∠BAD＋∠BCD＝180， ∴∠1＋∠BCD＝180. ∵OB＝OC， ∴∠1＝∠CBO， ∴∠CBO＋∠BCD＝180，∴OB∥DC. ∵BE⊥DC，∴BE⊥OB. 又∵OB是⊙O的半徑，∴BE是⊙O的切線． 例7　[解析] D　由菱形的性質(zhì)，在Rt△ABO中，易得AB＝5，于是以AB為直徑的半圓的面積為π()2＝π，陰影部分的面積為以AB為直徑的半圓的面積減去Rt△ABO的面積，即－6. [點評] 求不規(guī)則圖形的面積的主要方法是將圖形分割成規(guī)則圖形，然后求出各規(guī)則圖形的面積，再用它們的和或差求不規(guī)則圖形的面積． 例8　[解析] A　由∠AOB為120，弦AB的長為2 cm，可以求出OA＝OB＝2 cm，所以扇形的弧長為2π，它等于圓錐的底面周長，即2πr＝2π，解得r＝(cm)． 例9　 解：(1)證明：如圖①，延長BP至點E，使PE＝PC，連結(jié)CE. ∵∠1＝∠2＝60， ∠3＝∠4＝60， ∴∠CPE＝60， ∴△PCE是等邊三角形， ∴CE＝PC，∠E＝∠3＝60. 又∵∠EBC＝∠PAC， ∴△BEC≌△APC， ∴PA＝EB＝PB＋PE＝PB＋PC. (2)證明：如圖②，過點B作BE⊥PB交PA于點E. ∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90， ∴∠1＝∠3. 又易知∠APB＝45， ∴PB＝EB， ∴PE＝PB. 又∵AB＝CB，∴△ABE≌△CBP，∴PC＝EA， ∴PA＝EA＋PE＝PC＋PB. (3)PA＝PC＋PB. 證明：如圖③，在AP上截取AQ＝PC，連結(jié)BQ. 又∵∠BAP＝∠BCP，AB＝CB， ∴△ABQ≌△CBP， ∴QB＝PB. 又易知∠APB＝30， ∴PQ＝PB， ∴PA＝AQ＋PQ＝PC＋PB.