2019屆九年級數(shù)學下冊 小專題（四）二次函數(shù)與幾何圖形綜合練習 （新版）湘教版.doc

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小專題(四)　二次函數(shù)與幾何圖形綜合 1．如圖，拋物線y＝x2＋x－5與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C.若點E為x軸下方拋物線上的一動點，當S△ABE＝S△ABC時，求點E的坐標． 解：令y＝x2＋x－5＝0，即x2＋2x－15＝0， 解得x1＝－5，x2＝3. ∴A(－5，0)，B(3，0)． ∴AB＝8. 令x＝0，則y＝－5， ∴C(0，－5)．∴OC＝5. ∴S△ABC＝ABOC＝20. 設點E到AB的距離為h， ∵S△ABE＝S△ABC，∴8h＝20.∴h＝5. ∵點E在x軸下方，∴點E的縱坐標為－5. 當y＝－5時，x2＋x－5＝－5. ∴x1＝－2，x2＝0(與點C重合，舍去)． ∴E(－2，－5)． 2．如圖，拋物線y＝－x2＋x＋3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點D(2，2)是拋物線上一點，那么在拋物線的對稱軸上，是否存在一點P，使得△BDP的周長最小，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由． 解：令y＝－x2＋x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝－2. ∴點A的坐標為(－2，0)． 連接AD，交對稱軸于點P，則P為所求的點． 設直線AD的表達式為y＝kx＋t.將點A，D的坐標代入，得 解得 ∴直線AD的表達式為y＝x＋1. ∵拋物線的對稱軸為直線x＝－＝， 將x＝代入y＝x＋1，得y＝. ∴點P的坐標為(，)． 3．如圖，二次函數(shù)y＝－x2＋mx＋n的圖象經過點A(－1，4)，B(1，0)，y＝－x＋b經過點B，且與二次函數(shù)y＝－x2＋mx＋n交于點D. (1)求二次函數(shù)的表達式； (2)點N是二次函數(shù)圖象上一點(點N在BD上方)，過N作NP⊥x軸，垂足為P，交BD于點M，求MN的最大值． 解：(1)∵二次函數(shù)y＝－x2＋mx＋n的圖象經過點A(－1，4)，B(1，0)， ∴ 解得 ∴二次函數(shù)的表達式為y＝－x2－2x＋3. (2)∵y＝－x＋b經過點B， ∴－1＋b＝0.解得b＝. ∴y＝－x＋. 設M(t，－t＋)，則N(t，－t2－2t＋3)， ∴MN＝－t2－2t＋3－(－t＋)＝－t2－t＋＝－(t＋)2＋. ∴MN的最大值為. 4．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2－4x－5與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C.若點D是y軸上的一點，且以B，C，D為頂點的三角形與△ABC相似，求點D的坐標． 解：令y＝x2－4x－5＝0， 解得x1＝－1，x2＝5. ∴A(－1，0)，B(5，0)． 令x＝0，則y＝－5，∴C(0，－5)． ∴OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45. ∴AB＝6，BC＝5. 要使以B，C，D為頂點的三角形與△ABC相似，需有＝或＝. ①當＝時，CD＝AB＝6，∴D(0，1)． ②當＝時，＝， ∴CD＝. ∴D(0，)． 綜上，點D的坐標為(0，1)或(0，)． 5．如圖，已知拋物線y＝－x2－2x＋3與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，頂點為P.若以A，C，P，M為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標． 解：y＝－x2－2x＋3中，當x＝0時，y＝3， ∴C(0，3)． y＝－x2－2x＋3中，令y＝0，即－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1. ∴A(－3，0)，B(1，0)． ∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， ∴頂點P的坐標為(－1，4)． 如圖，分別過△PAC的三個頂點作對邊的平行線，三條直線兩兩相交， 產生3個符合條件的點M1，M2，M3. ∵AM1∥CP，且C(0，3)，P(－1，4)，A(－3，0)，∴M1(－4，1)． ∵AM2∥PC，且P(－1，4)，C(0，3)，A(－3，0)，∴M2(－2，－1)． ∵CM3∥AP，且A(－3，0)，P(－1，4)，C(0，3)，∴M3(2，7)． 綜上所述，點M的坐標為(－4，1)或(－2，－1)或(2，7)． 6．如圖，已知拋物線y＝x2－x－2與x軸交于A，B兩點(點A在點B的右邊)，與y軸交于點C. (1)求點A，B，C的坐標； (2)此拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△ACP是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由． 解：(1)令y＝0，得x2－x－2＝0， 解得x1＝－2，x2＝4. ∴A(4，0)，B(－2，0)． 令x＝0，得y＝－2. ∴C(0，－2)． (2)存在點P，使得△ACP是等腰三角形． 設P(1，a)， 則AP2＝a2＋9，CP2＝(a＋2)2＋1＝a2＋4a＋5，AC2＝20. ①當AP＝CP時，即a2＋9＝a2＋4a＋5， 解得a＝1.∴P1(1，1)； ②當CP＝AC時，即a2＋4a＋5＝20， 解得a＝－2. ∴P2(1，－2＋)，P3(1，－2－)； ③當AP＝AC時，即a2＋9＝20， 解得a＝.∴P4(1，)，P5(1，－)． 綜上所述，滿足條件的點P的坐標為P1(1，1)，P2(1，－2＋)，P3(1，－2－)，P4(1，)，P5(1，－)．