同濟(jì)大學(xué)微積分課件.ppt

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預(yù)備知識(shí),1.集合的概念,在數(shù)學(xué)中，把具有某種特定性質(zhì)的事物組成的總體稱,,否則，記為,,一、集合,如果元素在集合中，記為,為一個(gè)集合.集合中的事物稱為該集合的元素.,只有有限個(gè)元素的集合稱為有限集，否則稱為無(wú)限集.,常用數(shù)集:,自然數(shù)集:,整數(shù)集:,有理數(shù)集:,復(fù)數(shù)集:,,,,2.集合的運(yùn)算,集合的交:,集合的并:,集合的差:,,,,設(shè)是兩個(gè)集合，由此定義如下幾個(gè)集合：,集合的運(yùn)算滿足如下運(yùn)算率：,交換率:,結(jié)合率:,分配率:,,3.區(qū)間和鄰域,開(kāi)區(qū)間:,閉區(qū)間:,,,,設(shè)是實(shí)數(shù)，且,,,,,,,,,,,,,半開(kāi)半閉區(qū)間:,,,,,,,,,,,,,,,,無(wú)窮區(qū)間:,注意：無(wú)窮端不能寫成閉的記號(hào),,,,,,,,,,,,,設(shè)是實(shí)數(shù)，且則定義點(diǎn)的鄰域?yàn)榧希?鄰域：,,,,,,,,,,,如果把鄰域的中心去掉，所得到的集合稱為點(diǎn)的空,心鄰域：,,,,,,,,,,,1.映射的概念,,,二、映射,,設(shè)是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則使得,而元素稱為的象，記作，即,,對(duì)中的每個(gè)元素按此法則在中有唯一的元素,與之對(duì)應(yīng)，那么稱為從到的映射，記作,,,,,,,,,,,,,,,,,,例設(shè),則是到的映射.,例設(shè),則是到的映射.,2.幾類重要映射,一一對(duì)應(yīng)：既單又滿的映射稱為一一對(duì)應(yīng).,例在前面的兩例中，例2是一一對(duì)應(yīng)，而例1則不是.,,,,設(shè)是到的映射.,滿射：若即使得,單射：若則必有,3.逆映射與復(fù)合映射,則：,,,,逆映射：設(shè)是到的一一映射，則對(duì)中任一元素,例設(shè),可以確定中的唯一元素滿足稱此對(duì)應(yīng),關(guān)系為映射的逆映射，記為,,復(fù)合映射：設(shè)有映射其中,稱此映射為由構(gòu)成的復(fù)合映射，記為,,,,,,,,,,由此可以確定一個(gè)從到的映射,,,,例：設(shè),則復(fù)合映射為,1.概念,,,三、一元函數(shù),,從數(shù)集到實(shí)數(shù)集的任一映射稱為定義在上的,稱為的圖象.而數(shù)集則稱為函數(shù),一元函數(shù)，通常記為而中的集合,的定義域.,注：在以后的討論中，更多的是函數(shù)的定義域以默認(rèn)的,例則定義域?yàn)?,,,例則定義域?yàn)?方式給出，即定義域?yàn)槭贡磉_(dá)式有效的一切實(shí)數(shù).,以下例中函數(shù)的定義域均為實(shí)數(shù)集。,,,,例3符號(hào)函數(shù),,,,例取整函數(shù),2.函數(shù)的幾種特性,,,,,有界,,,,,無(wú)界,,有界性設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閿?shù)集,如果都有就稱,在上有界,否則稱為無(wú)界函數(shù).,,,,,,,,例在上是有界函數(shù)，,在上無(wú)界.,域內(nèi)是無(wú)界函數(shù).,例試說(shuō)明函數(shù)在的任何空心鄰,解設(shè)，取，,其中,則,所以無(wú)界.,,,,,單調(diào)性設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間,如果對(duì)任意的當(dāng)時(shí)，總有,則稱函數(shù)為區(qū)間上的單調(diào)增加函數(shù)；,如果時(shí)，總有,則稱函數(shù)為區(qū)間上的單調(diào)減少函數(shù).,圖形特征：,,單調(diào)增加函數(shù)圖形,單調(diào)減少函數(shù)圖形,,,,奇偶性設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，,如果對(duì)任意的都有,就稱為偶函數(shù)；,如果對(duì)任意的都有,就稱為奇函數(shù).,圖形特征：,,偶函數(shù),奇函數(shù),,,,,使得對(duì)任意的當(dāng)總有,通常我們說(shuō)的周期指的是最小正周期.,周期函數(shù)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槿绻嬖跀?shù),就稱為周期函數(shù)，稱為的周期.,例如，的最小正周期是,,,,,,,,,例：狄利克雷函數(shù),則任何非零有理數(shù)都是其周期，但沒(méi)有最小正周期.,,,,3.反函數(shù)和復(fù)合函數(shù),,反函數(shù)設(shè)函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)，則其逆映,注：習(xí)慣上用表示為自變量，所以函數(shù)的,射為的反函數(shù).,的反函數(shù)仍表示為,,,,注：函數(shù)與它的反函數(shù)的圖形,關(guān)于對(duì)稱.,,,,,,,復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)本質(zhì)上是復(fù)合映射在函數(shù)上的推廣.,,當(dāng)復(fù)合映射定義中的幾個(gè)集合均為數(shù)集時(shí)，即得到復(fù)合,函數(shù)的定義.,4.基本初等函數(shù),,⑴冪函數(shù)（是常數(shù)）,,,,,,,,⑵指數(shù)函數(shù),,,,⑶對(duì)數(shù)函數(shù),,,,⑷三角函數(shù),①正弦函數(shù),,,,,,,,,②余弦函數(shù),,,,,③正切函數(shù),,,,,,,④余切函數(shù),,,,,,,,③正割函數(shù),④余割函數(shù),,⑸反三角函數(shù),①反正弦函數(shù),②反余弦函數(shù),,③反正切函數(shù),③反余切函數(shù),,5.初等函數(shù),由常數(shù)函數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次的四則運(yùn)算和,有限次的復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)稱為初等函數(shù).,,6.雙曲函數(shù),最后再簡(jiǎn)單介紹在工程技術(shù)中經(jīng)常用到的一類函數(shù),⑴雙曲正弦函數(shù),⑵雙曲余弦函數(shù),——雙曲函數(shù).,,