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1、
課時分層作業(yè)(九) 定積分的概念
(建議用時:40分鐘)
[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]
一、選擇題
1.下列結(jié)論中成立的個數(shù)是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
C [由定積分的概念可知②③正確,①錯誤,故選C.]
2.關(guān)于定積分a= (-2)dx的敘述正確的是( )
A.被積函數(shù)為y=2,a=6
B.被積函數(shù)為y=-2,a=6
C.被積函數(shù)為y=-2,a=-6
D.被積函數(shù)為y=2,a=-6
C [由定積分的概念可知,被積函數(shù)為y=-2,由定積分的幾何意義可知a=-6.故選C.]
3.變速直線運(yùn)動的物體的速度為v(t)≥0,初始t=0時所在位置
2、為s0,則當(dāng)t1秒末它所在的位置為( )
B [由位移是速度的定積分,同時不可忽視t=0時物體所在的位置,故當(dāng)t1秒末它所在的位置為s0+∫t10v(t)dt.]
4.若f(x)dx=1,g(x)dx=-3,則 [2f(x)+g(x)]dx=( )
【導(dǎo)學(xué)號:31062085】
A.2 B.-3
C.-1 D.4
C [ [2f(x)+g(x)]dx=2f(x)dx+g(x)dx=21-3=-1.]
5.若f(x)為偶函數(shù),且f(x)dx=8,則f(x)dx等于( )
A.0 B.4
C.8 D.16
D [∵被積函數(shù)f(x)為偶函數(shù),∴在y軸兩側(cè)的函數(shù)圖象對稱
3、,從而對應(yīng)的曲邊梯形面積相等.]
二、填空題
6.若 [f(x)+g(x)]dx=3, [f(x)-g(x)]dx=1,則 [2g(x)]dx=________.
[解析] [2g(x)]dx= [(f(x)+g(x))-(f(x)-g(x))]dx= [f(x)+g(x)]dx- [f(x)-g(x)]dx
=3-1=2.
[答案] 2
7.曲線y=與直線y=x,x=2所圍成的圖形面積用定積分可表示為________.
【導(dǎo)學(xué)號:31062086】
[解析] 如圖所示,陰影部分的面積可
[答案]
8.物體運(yùn)動的速度和時間的函數(shù)關(guān)系式為v(t)=2t(t的單位
4、:h,v的單位:km/h),近似計算在區(qū)間[2,8]內(nèi)物體運(yùn)動的路程時,把區(qū)間6等分,則過剩近似值(每個ξi均取值為小區(qū)間的右端點)為__________km.
[解析] 以小區(qū)間右端點時的速度作為小區(qū)間的平均速度,可得過剩近似值為s=(23+24+25+26+27+28)1=66(km).
[答案] 66
三、解答題
9.已知,求下列定積分的值.
(1) (2x+x2)dx;(2) (2x2-x+1)dx.
[解] (1) (2x+x2)dx
=2xdx+x2dx
=2+=e2+.
(2) (2x2-x+1)dx=
2x2dx-xdx+1dx,
因為已知,
又
5、由定積分的幾何意義知:1dx等于直線x=0,x=e,y=0,y=1所圍成的圖形的面積,
所以1dx=1e=e,
故 (2x2-x+1)dx
=2-+e=e3-e2+e.
10.利用定積分的幾何意義求下列定積分.
(1) dx;(2) (2x+1)dx;
(3) (x3+3x)dx.
【導(dǎo)學(xué)號:31062087】
[解] (1)曲線y=表示的幾何圖形為以原點為圓心以3為半徑的上半圓如圖①所示.
其面積為S=π32=π.
由定積分的幾何意義知dx=π.
(2)曲線f(x)=2x+1為一條直線. (2x+1)dx表示直線f(x)=2x+1,x=0,x=3圍成的直角梯形O
6、ABC的面積,如圖②.
其面積為S=(1+7)3=12.
根據(jù)定積分的幾何意義知
(2x+1)dx=12.
(3)∵y=x3+3x在區(qū)間[-1,1]上為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱,
∴曲邊梯形在x軸上方部分面積與x軸下方部分面積相等.由定積分的幾何意義知 (x3+3x)dx=0.
[能力提升練]
1.已知f(x)=x3-x+sin x,則f(x)dx的值為( )
A.等于0 B.大于0
C.小于0 D.不確定
A [由題意知f(x)為奇函數(shù),由奇函數(shù)的性質(zhì)有
f(x)dx=-f(x)dx,而f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx=0.]
2.與定積分|sin x
7、|dx相等的是( )
C [當(dāng)x∈(0,π]時,sin x≥0;
當(dāng)x∈時,sin x<0.
∴由定積分的性質(zhì)可得
3.定積分dx的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號:31062088】
[解析] 因為y=,
所以(x-1)2+y2=1,它表示以(1,0)為圓心,1為半徑的圓.定積分dx就是該圓的面積的四分之一,所以定積分dx=.
[答案]
4.汽車以v=(3t+2)m/s做變速直線運(yùn)動時,第1 s到第2 s間的1 s內(nèi)經(jīng)過的路程是________m.
[解析] 由題意知,所求路程為直線x=1,x=2,y=0與y=3x+2所圍成的直角梯形的面積,故s=(5+8)1=
8、6.5(m).
[答案] 6.5
5.如圖155所示,拋物線y=x2將圓x2+y2≤8分成兩部分,現(xiàn)在向圓上均勻投點,這些點落在圓中陰影部分的概率為+,
求.
【導(dǎo)學(xué)號:31062089】
圖155
[解] 解方程組
得x=2.
∴陰影部分的面積為
.
∵圓的面積為8π,
∴由幾何概型可得陰影部分的面積是
8π=2π+.
由定積分的幾何意義得,
=π+.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375