高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 階段復(fù)習(xí)課 第2課 推理與證明學(xué)案 新人教A版選修22

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1、 第二課 推理與證明 [核心速填] 1.合情推理: (1)歸納推理:由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理. (2)類比推理:由特殊到特殊的推理. (3)合情推理: 歸納和類比是常用的合情推理,都是根據(jù)已有的事實(shí),經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想,再進(jìn)行歸納類比,然后提出猜想的推理. 2.演繹推理: (1)演繹推理是由一般到特殊的推理. (2)三段論是演繹推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情況; ③結(jié)論——根據(jù)一般原理,對(duì)特殊情況做出的判斷. 3.直接證明與間接證明 (1)直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法: ①綜合法是從條件

2、推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法; ②分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法; (2)間接證明一種方法是反證法,它是從結(jié)論反面成立出發(fā),推出矛盾的證明方法. 4.?dāng)?shù)學(xué)歸納法: 數(shù)學(xué)歸納法主要用于解決與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.證明時(shí),它的兩個(gè)步驟缺一不可.它的第一步(歸納奠基)n=n0時(shí)結(jié)論成立. 第二步(歸納遞推)假設(shè)n=k時(shí),結(jié)論成立,推得n=k+1時(shí)結(jié)論也成立. 特別要注意n=k到n=k+1時(shí)增加的項(xiàng)數(shù). [體系構(gòu)建] [題型探究] 合情推理  (1)觀察下列等式: 1-=, 1-+-=+, 1-+-+-=++, ……, 據(jù)此規(guī)律,第n個(gè)等式可為____

3、____. (2)類比三角形內(nèi)角平分線定理:設(shè)△ABC的內(nèi)角A的平分線交BC于點(diǎn)M,則=.若在四面體P-ABC中,二面角B-PA-C的平分面PAD交BC于點(diǎn)D,你可得到的結(jié)論是________,并加以證明. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062174】 [解析] (1)等式的左邊的通項(xiàng)為-,前n項(xiàng)和為1-+-+…+-;右邊的每個(gè)式子的第一項(xiàng)為,共有n項(xiàng),故為++…+. (2)畫出相應(yīng)圖形,如圖所示. 由類比推理得所探索結(jié)論為=. 證明如下:由于平面PAD是二面角B-PA-C的平分面,所以點(diǎn)D到平面BPA與平面CPA的距離相等,所以=.?、? 又因?yàn)椋剑?② 由①②知=成立. [答案] (1)

4、1-+-+…+-=++…+ (2)= [規(guī)律方法] 1.歸納推理的特點(diǎn)及一般步驟  2.類比推理的特點(diǎn)及一般步驟 [跟蹤訓(xùn)練] 1.(1)觀察如圖21中各正方形圖案,每條邊上有n(n≥2)個(gè)點(diǎn),第n個(gè)圖案中圓點(diǎn)的總數(shù)是Sn. 圖21 按此規(guī)律,推出Sn與n的關(guān)系式為________. (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有:設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn, 則T4,________,________, 成等比數(shù)列. [解析] (1)依圖的構(gòu)造規(guī)律可以看出: S2=24-4, S3=

5、34-4, S4=44-4(正方形四個(gè)頂點(diǎn)重復(fù)計(jì)算一次,應(yīng)減去). …… 猜想:Sn=4n-4(n≥2,n∈N*). (2)等差數(shù)列類比于等比數(shù)列時(shí),和類比于積,減法類比于除法,可得類比結(jié)論為:設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn,則T4, , , 成等比數(shù)列. [答案] (1)Sn=4n-4(n≥2,n∈N*) (2)   綜合法與分析法  若a、b、c是△ABC的三邊長,m>0,求證:+>. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062175】 [思路探究] 根據(jù)在△ABC中任意兩邊之和大于第三邊,再利用分析法與綜合法結(jié)合證明不等式成立. [證明] 要證明+>, 只需證明+->0即可

6、. ∵+-= , ∵a>0,b>0,c>0,m>0, ∴(a+m)(b+m)(c+m)>0, ∵a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)=abc+abm+acm+am2+abc+abm+bcm+bm2-abc-bcm-acm-cm2=2abm+am2+abc+bm2-cm2=2abm+abc+(a+b-c)m2, ∵△ABC中任意兩邊之和大于第三邊, ∴a+b-c>0,∴(a+b-c)m2>0, ∴2abm+abc+(a+b-c)m2>0, ∴+>. 母題探究:1. (改變條件)本例刪掉條件“m>0”,證明:>. [證明] 要證 >. 只需

7、證a+b+(a+b)c>(1+a+b)c. 即證a+b>c.而a+b>c顯然成立. 所以>. 2.(變換條件)本例增加條件“三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列”,求證:+=. [證明] 要證+=, 即證+=3,即證+=1. 即證c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 即證c2+a2=ac+b2. ∵△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列. ∴B=60. 由余弦定理,有b2=c2+a2-2cacos 60, 即b2=c2+a2-ac. ∴c2+a2=ac+b2成立,命題得證. [規(guī)律方法] 分析綜合法的應(yīng)用 綜合法由因?qū)Ч?,分析法?zhí)果索因,因此在實(shí)際解題時(shí),常常

8、把分析法和綜合法結(jié)合起來使用,即先利用分析法尋找解題思路,再利用綜合法有條理地表述解答過程. 反證法  已知x∈R,a=x2+,b=2-x,c=x2-x+1,試證明a,b,c至少有一個(gè)不小于1. [證明] 假設(shè)a,b,c均小于1,即a<1,b<1,c<1, 則有a+b+c<3, 而a+b+c=2x2-2x++3=22+3≥3, 兩者矛盾,所以假設(shè)不成立, 故a,b,c至少有一個(gè)不小于1. [規(guī)律方法] 反證法的關(guān)注點(diǎn) (1)反證法的思維過程:否定結(jié)論?推理過程中引出矛盾?否定假設(shè)肯定結(jié)論,即否定——推理——否定(經(jīng)過正確的推理導(dǎo)致邏輯矛盾,從而達(dá)到新的“否定”(即肯定原

9、命題)). (2)反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題;涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命題時(shí),也常用反證法. [跟蹤訓(xùn)練] 2.若x,y,z∈(0,2),求證:x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于1. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062176】 [證明] 假設(shè)x(2-y)>1,且y(2-z)>1,且z(2-x)>1均成立,則三式相乘有xyz(2-x)(2-y)(2-z)>1,① 由于0

10、 ②與①矛盾,故假設(shè)不成立. 所以x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于1. 數(shù)學(xué)歸納法  設(shè)a>0,f(x)=,令a1=1,an+1=f(an),n∈N*. (1)寫出a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論. [解] (1)∵a1=1, ∴a2=f(a1)=f(1)=; a3=f(a2)=;a4=f(a3)=. 猜想an=(n∈N*). (2)證明:①易知,n=1時(shí),猜想正確. ②假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí)猜想正確, 即ak=, 則ak+1=f(ak)== ==. 這說明,n=k+1時(shí)猜想正確.

11、由①②知,對(duì)于任何n∈N*,都有an=. [規(guī)律方法] 1.數(shù)學(xué)歸納法的兩點(diǎn)關(guān)注 (1)關(guān)注點(diǎn)一:用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是數(shù)學(xué)歸納法的常見題型,其關(guān)鍵點(diǎn)在于“先看項(xiàng)”,弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式兩邊各有多少項(xiàng),初始值n0是多少. (2)關(guān)注點(diǎn)二:由n=k到n=k+1時(shí),除等式兩邊變化的項(xiàng)外還要利用n=k時(shí)的式子,即利用假設(shè),正確寫出歸納證明的步驟,從而使問題得以證明. 2.與“歸納—猜想—證明”相關(guān)的常用題型的處理策略 (1)與函數(shù)有關(guān)的證明:由已知條件驗(yàn)證前幾個(gè)特殊值正確得出猜想,充分利用已知條件并用數(shù)學(xué)歸納法證明. (2)與數(shù)列有關(guān)的證明:利用已知條件,當(dāng)直接證明

12、遇阻時(shí),可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法. [跟蹤訓(xùn)練] 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式++…+>(n≥2,n∈N*) [證明]?、佼?dāng)n=2時(shí),+=>. ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2且k∈N*)時(shí)不等式成立, 即++…+>, 那么當(dāng)n=k+1時(shí), ++…+=++…+ +++- =++->++-=+-=+>. 這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立. 由①②可知,原不等式對(duì)任意大于1的正整數(shù)都成立. 轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用  已知α,β≠kπ+(k∈Z),且sin θ+cos θ=2sin α,sin θcos θ=sin2β. 求證:= 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062177】 [證明] 要

13、證=成立, 即證=, 即證cos2α-sin2α=(cos2β-sin2β), 即證1-2sin2α=(1-2sin2β), 即證4sin2α-2sin2β=1, 因?yàn)閟in θ+cos θ=2sin α, sin θcos θ=sin2 β, 所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=4sin2α,所以1+2sin2β=4sin2 α, 即4sin2 α-2sin2β=1. 故原結(jié)論正確. [規(guī)律方法] 轉(zhuǎn)化與化歸思想 轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法,數(shù)學(xué)中的一切問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸,轉(zhuǎn)化與化歸的原則是將不熟悉的或難解的問

14、題轉(zhuǎn)化為熟知的、易解或已經(jīng)解決的問題;將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的直觀的問題;將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題;將一般性的問題轉(zhuǎn)化為直觀的特殊問題;將實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.本章中無論是推理過程還是用分析法、綜合法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法證明問題的過程中都用到了轉(zhuǎn)化與化歸思想. [跟蹤訓(xùn)練] 4.已知函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),a,b∈R. (1)求證:如果a+b≥0,那么f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b); (2)判斷(1)中的命題的逆命題是否成立?并證明你的結(jié)論. [解] (1)證明:當(dāng)a+b≥0時(shí),a≥-b且b≥-a. ∵f(x)在R上是增函數(shù), ∴f(a)≥f(-b),f

15、(b)≥f(-a), ∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). (2)(1)中命題的逆命題為“如果f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),那么a+b≥0”,此命題成立. 用反證法證明如下: 假設(shè)a+b<0,則a<-b,∴f(a)<f(-b). 同理可得f(b)<f(-a). ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),這與f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)矛盾,故假設(shè)不成立, ∴a+b≥0成立,即(1)中命題的逆命題成立. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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