2020版高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.3.3 導數(shù)的實際應用學案（含解析）新人教B版選修1 -1.docx

33.3導數(shù)的實際應用學習目標1.了解導數(shù)在解決實際問題中的作用.2.掌握利用導數(shù)解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題知識點生活中的優(yōu)化問題1生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題2利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的實質(zhì)是求函數(shù)最值3解決優(yōu)化問題的基本思路：上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的數(shù)學建模過程1生活中常見到的收益最高、用料最省等問題就是數(shù)學中的最大、最小值問題()2解決應用問題的關(guān)鍵是建立數(shù)學模型()題型一幾何中的最值問題例1請你設(shè)計一個包裝盒如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)AEFBxcm.(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S最大，則x應取何值？(2)若廣告商要求包裝盒容積V最大，則x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值考點幾何類型的優(yōu)化問題題點幾何體體積的最值問題解(1)由題意知包裝盒的底面邊長為xcm，高為(30x)cm,0<x<30，所以包裝盒側(cè)面積為S4x(30x)8x(30x)828225，當且僅當x30x，即x15時，等號成立，所以若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S最大，則x15.(2)包裝盒容積V2x2(30x)2x360x2(0<x<30)，所以V6x2120x6x(x20)令V>0，得0<x<20；令V<0，得20<x<30.所以當x20時，包裝盒容積V取得最大值，此時包裝盒的底面邊長為20 cm，高為10cm，包裝盒的高與底面邊長的比值為12.反思感悟面積、體積(容積)最大，周長最短，距離最小等實際幾何問題，求解時先設(shè)出恰當?shù)淖兞?，將待求解最值的問題表示為變量的函數(shù)，再按函數(shù)求最值的方法求解，最后檢驗特別注意：在列函數(shù)關(guān)系式時，要注意實際問題中變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域跟蹤訓練1現(xiàn)需設(shè)計某次期中考試的數(shù)學試卷，該試卷含有大小相等的兩個矩形欄目(即圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為720cm2，四周空白的寬度為4cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為2cm，設(shè)試卷的長和寬分別為xcm，ycm.(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求該函數(shù)的定義域；(2)如何確定該試卷長與寬的尺寸(單位：cm)，才能使試卷的面積最小？考點題點解由題意知試卷的長和寬分別為xcm，ycm，則每欄的長和寬分別為，y8，其中x>10，y>8.(1)兩欄面積之和為2(y8)720，由此得y8(x>10)(2)試卷的面積Sxyx，S8，令S0，得x40(負數(shù)舍去)，函數(shù)在(10,40)上單調(diào)遞減，在(40，)上單調(diào)遞增，當x40時，S取得最小值，故當試卷的長為40cm，寬為32cm時，可使試卷的面積最小題型二實際生活中的最值問題命題角度1利潤最大問題例2某工廠共有10臺機器，生產(chǎn)一種儀器元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素的限制，會產(chǎn)生一定數(shù)量的次品根據(jù)經(jīng)驗知道，每臺機器產(chǎn)生的次品數(shù)P(萬件)與每臺機器的日產(chǎn)量x(萬件)(4x12)之間滿足關(guān)系：P0.1x23.2lnx3.已知每生產(chǎn)1萬件合格的元件可以盈利2萬元，但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元(利潤盈利虧損)(1)試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤y(萬元)表示為x的函數(shù)；(2)當每臺機器的日產(chǎn)量x(萬件)為多少時所獲得的利潤最大，最大利潤為多少？考點函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點利用導數(shù)求解最大利潤問題解(1)由題意得，所獲得的利潤為y102(xP)P20x3x296lnx90(4x12)(2)由(1)知，y，當4x6時，y0，函數(shù)在4,6上為增函數(shù)；當6x12時，y0，函數(shù)在6,12上為減函數(shù)，所以當x6時，函數(shù)取得極大值，且為最大值，最大利潤為y20636296ln69096ln678(萬元)反思感悟解決此類有關(guān)利潤的實際應用題，應靈活運用題設(shè)條件，建立利潤的函數(shù)關(guān)系，常見的基本等量關(guān)系有：(1)利潤收入成本(2)利潤每件產(chǎn)品的利潤銷售件數(shù)跟蹤訓練2某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大考點函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點利用導數(shù)求解最大利潤問題解(1)因為當x5時，y11，所以1011，所以a2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y10(x6)2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3<x<6.從而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)極大值42由上表可得，x4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點所以當x4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值為42.答當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大命題角度2用料(費用)最省問題例3某網(wǎng)球中心欲建連成片的網(wǎng)球場數(shù)塊，用128萬元購買土地10000平方米，該中心每塊球場的建設(shè)面積為1000平方米，球場的總建筑面積的每平方米的平均建設(shè)費用與球場數(shù)有關(guān)，當該中心建球場x塊時，每平方米的平均建設(shè)費用(單位：元)可近似地用f(x)800來刻畫為了使該球場每平方米的綜合費用最省(綜合費用是建設(shè)費用與購地費用之和)，該網(wǎng)球中心應建幾個球場？考點函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點利用導數(shù)解決費用最省問題解設(shè)建成x個球場，則1x10，且xZ，每平方米的購地費用為(元)，因為每平方米的平均建設(shè)費用(單位：元)可近似地用f(x)800來表示，所以每平方米的綜合費用為g(x)f(x)800160lnx(1x10且xZ)，所以g(x)(1x10且xZ)，令g(x)0，得x8，當1x<8時，g(x)<0，g(x)為減函數(shù)；當8<x10時，g(x)>0，g(x)為增函數(shù)，所以當x8時，函數(shù)取得極小值，且為最小值故當建成8個球場時，每平方米的綜合費用最省反思感悟費用、用料最省問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象正確書寫函數(shù)表達式，準確求導，結(jié)合實際作答跟蹤訓練3為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)(0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值考點函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點利用導數(shù)解決費用最省問題解(1)由題意知，每年的能源消耗費用為C(x)(0x10)，且C(0)8，故k40，所以C(x)(0x10)設(shè)建造費用為C1(x)，則C1(x)6x.所以f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)因為f(x)6x(0x10)，所以f(x)6.令f(x)0，即6，解得x5(負值舍去)當0x<5時，f(x)<0，f(x)為減函數(shù)；當5<x10時，f(x)>0，f(x)為增函數(shù)故x5是函數(shù)f(x)的極小值點，也是最小值點，對應的最小值為f(5)6570.故當隔熱層修建厚度為5cm時，總費用f(x)達到最小，最小值為70萬元損耗最少問題典例已知A，B兩地相距200千米，一艘船從A地逆水而行到B地，水速為8千米/時，船在靜水中的速度為v千米/時(8<vv0，v0為常數(shù))若船每小時的燃料費與其在靜水中的速度的平方成正比，當v12時，每小時的燃料費為720元，為了使全程燃料費最省，船在靜水的速度為多少？考點題點解設(shè)船每小時航行所需的燃料費為y1元，比例系數(shù)為k(k>0)，則y1kv2.當v12時，y1720，720k122，得k5.設(shè)全程燃料費為y元，由題意，得yy1(8<vv0)，y.令y0，解得v16.若v016，當v(8,16)時，y<0，y為減函數(shù)；當v(16，v0時，y>0，y為增函數(shù)故當v16時，y取得極小值，也是最小值，此時全程燃料費最省若v0<16，當v(8，v0時，y<0，y在(8，v0上為減函數(shù)故當vv0時，y取得最小值，此時全程燃料費最省綜上可得，若v016，則當v16千米/時時，全程燃料費最?。蝗魐0<16，則當vv0時，全程燃料費最省素養(yǎng)評析(1)解決實際應用問題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù)，把“問題情景”譯為數(shù)學語言，要先找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系近似化、形式化、抽象成數(shù)學問題，再化歸為常規(guī)問題，最后選擇合適的數(shù)學方法求解(2)確定函數(shù)模型，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題的要求較高，有利于數(shù)學建模素養(yǎng)的提升1煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，如果第x小時，原油溫度(單位：)為f(x)x3x28(0x5)，那么原油溫度的瞬時變化率的最小值是()A8B.C1D8考點函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點函數(shù)類型的其他問題答案C解析原油溫度的瞬時變化率為f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以當x1時，原油溫度的瞬時變化率取得最小值1.2用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為21，則該長方體的最大體積為()A2m3B3m3C4m3D5m3考點幾何類型的優(yōu)化問題題點幾何體體積的最值問題答案B解析設(shè)長方體的寬為xm，則長為2xm，高為h3x(m)，故長方體的體積為V(x)2x29x26x3，從而V(x)18x18x218x(1x)，令V(x)0，解得x1或x0(舍去)當0<x<1時，V(x)>0；當1<x<時，V(x)<0，故在x1處V(x)取得極大值，并且這個極大值就是V(x)的最大值，從而最大體積VV(1)9126133(m3)3某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)是產(chǎn)品x(千臺)的函數(shù)，y117x2(x>0)；生產(chǎn)總成本y2(萬元)也是x(千臺)的函數(shù)，y22x3x2(x>0)，為使利潤最大，則應生產(chǎn)()A9千臺B8千臺C6千臺D3千臺考點函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點利用導數(shù)求解最大利潤問題答案C解析利潤yy1y217x2(2x3x2)18x22x3(x>0)，求導得y36x6x2，令y0，得x6或x0(舍去)所以當生產(chǎn)6千臺時，利潤最大4容積為256的方底無蓋水箱，它的高為時最省材料考點函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點利用導數(shù)解決費用最省問題答案4解析設(shè)水箱高為h，底面邊長為a，則a2h256，其表面積為Sa24aha24aa2.令S2a0，得a8.當0<a<8時，S<0；當a>8時，S>0，故當a8時，S最小，此時h4.5某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低額x(單位：元，0x21)的平方成正比已知當商品單價降低2元時，每星期多賣出24件(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？考點函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點利用導數(shù)求解最大利潤問題解(1)設(shè)商品降價x元，則每星期多賣的商品數(shù)為kx2.若記商品在一個星期的獲利為f(x)，則有f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2)由已知條件，得24k22，于是k6.所以f(x)6x3126x2432x9072，x0,21(2)由(1)得f(x)18x2252x43218(x2)(x12)當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x0,2)2(2,12)12(12,21f(x)00f(x)極小值極大值故當x12時，f(x)取得極大值因為f(0)9072，f(12)11664.所以當定價為301218(元)時，才能使一個星期的商品銷售利潤最大1利用導數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)(2)求函數(shù)的導函數(shù)f(x)，解方程f(x)0.(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f(x)0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值2正確理解題意，建立數(shù)學模型，利用導數(shù)求解是解答應用問題的主要思路另外需要特別注意：(1)合理選擇變量，正確寫出函數(shù)解析式，給出函數(shù)定義域；(2)與實際問題相聯(lián)系；(3)必要時注意分類討論思想的應用.一、選擇題1已知某廠家生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為yx336x126，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為()A11萬件B9萬件C7萬件D6萬件考點函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點利用導數(shù)求解最大利潤問題答案D解析由yx2360，解得x6或x6(舍去)當0<x<6時，y>0；當x>6時，y<0，在x6時y取最大值2將8分為兩個非負數(shù)之和，使其立方和最小，那么這兩個數(shù)為()A2,6B4,4C3,5D以上都不對考點函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點函數(shù)類型的其他問題答案B解析設(shè)一個數(shù)為x，則另一個數(shù)為8x，其立方和為yx3(8x)3512192x24x2(0x8)，則y48x192.令y0，即48x1920，解得x4.當0x<4時，y<0；當4<x8時，y>0，所以當x4時，y取得極小值，也是最小值所以這兩個數(shù)為4,4.3某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)則當總利潤最大時，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是()A150B200C250D300考點函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點利用導數(shù)求解最大利潤問題答案D解析由題意得，總利潤P(x)P(x)令P(x)0，得x300，當0<x<300時，P(x)>0，當300<x<390時，P(x)<0，又P(300)40000>P(390)31090.故選D.4某工廠要建造一個長方體形狀的無蓋箱子，其容積為48m3，高為3m，如果箱底每1m2的造價為15元，箱壁每1m2的造價為12元，則箱子的最低總造價為()A900元B840元C818元D816元考點函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點利用導數(shù)解決費用最省問題答案D解析設(shè)箱底一邊的長度為xm，箱子的總造價為l元，根據(jù)題意得箱底面積為16(m2)，則箱底另一邊的長度為m，所以l16151224072，l72.令l0，解得x4或x4(舍去)當0<x<4時，l<0；當x>4時，l>0.故當x4時，l取得極小值，也就是最小值，為816.因此，當箱底是邊長為4m的正方形時，箱子的總造價最低，最低總造價為816元5若底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，則其表面積最小時底面邊長為()A.B.C.D2考點幾何類型的優(yōu)化問題題點面積的最值問題答案C解析設(shè)底面邊長為x，則表面積Sx2V(x>0)，S(x34V)令S0，得x.可判斷得當x時，直棱柱的表面積最小6在三棱錐OABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，OC2x，OAx，OBy，且xy3，則三棱錐OABC體積的最大值為()A4B8C.D.考點幾何類型的優(yōu)化問題題點幾何體體積的最值問題答案C解析Vy(0<x<3)，V2xx2x(2x)令V0，得x2或x0(舍去)所以當x2時，V取極大值且為最大值，最大值為.7某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x等于()A20噸B40噸C60噸D80噸考點題點答案A解析設(shè)該公司一年內(nèi)總共購買n次貨物，則n，總運費與總存儲費之和f(x)4n4x4x，令f(x)40，解得x20，x20(舍去)，x20是函數(shù)f(x)的最小值點，故當x20時，f(x)最小8某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價格購進一批商品，若該商品零售價定為p元，則銷售量Q(單位：件)與零售價p(單位：元)有如下關(guān)系：Q8300170pp2，則最大毛利潤為(毛利潤銷售收入進貨支出)()A60元B30元C28000元D23000元考點函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點利用導數(shù)求解最大利潤問題答案D解析由題意知，毛利潤等于銷售額減去成本，即L(p)pQ20QQ(p20)(8300170pp2)(p20)p3150p211700p166000，所以L(p)3p2300p11700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)此時，L(30)23000.因為在p30附近的左側(cè)L(p)>0，右側(cè)L(p)<0，所以L(30)是極大值，根據(jù)實際問題的意義知，L(30)是最大值二、填空題9用邊長為48cm的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒，所做的鐵盒容積最大時，在四角截去的正方形的邊長為cm.考點幾何類型的優(yōu)化問題題點幾何體體積的最值問題答案8解析設(shè)截去的正方形的邊長為xcm，鐵盒的體積為Vcm3，則鐵盒的底面邊長為(482x) cm，由題意，得Vx(482x)2(0<x<24)，V12x2384x230412(x232x192)，令V0，得x8或x24(舍去)，當x8時，V取極大值，這個極大值就是最大值故當截去的正方形的邊長為8cm時，所做的鐵盒容積最大10某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本：C(x)1200x3，產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品的單價為50元，當總利潤最大時，則產(chǎn)量應定為件考點函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點利用導數(shù)求解最大利潤問題答案25解析設(shè)產(chǎn)品單價為a元，產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，即a2xk，由題意知k250000，則a2x250000，所以a.總利潤y500x31200(x>0)，yx2.由y0，得x25，當x(0,25)時，y>0；當x(25，)時，y<0，所以當x25時，y取最大值11統(tǒng)計表明：某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/時)的函數(shù)解析式可以表示為yx8，x(0,120，且甲、乙兩地相距100千米，則當汽車以千米/時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油量最少考點函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點利用導數(shù)解決費用最省問題答案80解析當速度為x千米/時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設(shè)耗油量為y升，由題意，得y(0<x120)，則y(0<x120)，令y0，得x80，當x(0,80)時，y<0，該函數(shù)遞減；當x(80,120)時，y>0，該函數(shù)遞增，故當x80時，y取得最小值三、解答題12某單位用3240萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少15層、每層3000平方米的樓房經(jīng)測算，如果將樓房建為x(x15)層，則每平方米的平均建筑費用為840kx(單位：元)已知樓房建為15層時，每平方米的平均建筑費用為1245元(1)求k的值(2)當樓房建為多少層時，樓房每平方米的平均綜合費用最少？(注：平均綜合費用平均建筑費用平均購地費用，平均購地費用)考點題點解(1)由題意可得84015k1245，解得k27.(2)設(shè)樓房每平方米的平均綜合費用為f(x)，則f(x)(84027x)84027x(x15且xN)，f(x)27，令f(x)0，得x20，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x15,20)20(20，)f(x)0f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以當x20時，f(x)有最小值答為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為20層13已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)萬元，且R(x)(1)求年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)當年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大，并求出最大值考點函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點利用導數(shù)求解最大利潤問題解(1)當0<x10時，WxR(x)(102.7x)8.1x10，當x>10時，WxR(x)(102.7x)982.7x，所以W(2)當0<x10時，由W8.10，得x9.當x(0,9)時，W>0；當x(9,10時，W<0.所以當x9時，W取得最大值，即Wmax8.19931038.6.當x>10時，W9898238，當且僅當2.7x，即x時，W取得最大值38.綜合知，當x9千件時，W取得最大值38.6萬元答當年產(chǎn)量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大，最大利潤為38.6萬元14某銀行準備新設(shè)一種定期存款業(yè)務，經(jīng)預算，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)已知貸款的利率為0.0486，且假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去設(shè)存款利率為x，x(0,0.0486)，若使銀行獲得最大收益，則x的取值為()A0.0162B0.0324C0.0243D0.0486考點函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點利用導數(shù)求解最大利潤問題答案B解析由題意，得存款量是kx2，銀行支付的利息是kx3，獲得的貸款利息是0.0486kx2，其中x(0,0.0486)所以銀行的收益是y0.0486kx2kx3(0<x<0.0486)，則y0.0972kx3kx2(0<x<0.0486)令y0，得x0.0324或x0(舍去)當0<x<0.0324時，y>0；當0.0324<x<0.0486時，y<0.所以當x0.0324時，y取得最大值，即當存款利率為0.0324時，銀行獲得最大收益15.某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱體，左右兩端均為半球體，按照設(shè)計要求容器的體積為立方米假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)已知圓柱體部分每平方米建造費用為3千元，半球體部分每平方米建造費用為4千元設(shè)該容器的總建造費用為y千元(1)將y表示成r的函數(shù)，并求該函數(shù)的定義域；(2)確定r和l為何值時，該容器的建造費用最少，并求出最少建造費用考點函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點利用導數(shù)解決費用最省問題解(1)因為容器的體積為立方米，所以r2l，解得l.所以圓柱的側(cè)面積為2rl2r，兩端兩個半球的表面積之和為4r2，所以y34r248r2.又l>0r<2，所以定義域為(0,2)(2)因為y16r，所以令y>0，得2<r<2；令y<0，得0<r<2.所以當r2時，該容器的建造費用最少，為96千元，此時l.