重積分的計(jì)算方法數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

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1、重積分的計(jì)算方法 摘要：本文介紹了幾種重積分的計(jì)算方法，著重從累次積分的計(jì)算、變量代換等方法闡述二重積分的計(jì)算，同時介紹了一類特殊的二重積分的計(jì)算方法，并由二重積分的計(jì)算方法推廣到三重積分的計(jì)算。 關(guān)鍵詞：二重積分，三重積分，變量代換，對稱法 引言：重積分包括二重積分和三重積分，它是定積分的推廣；被積函數(shù)由一元函數(shù)推廣為二元函數(shù)（三元函數(shù)）;積分范圍由數(shù)軸上的區(qū)域推廣為平面域（二重積分）和空間域（三重積分）。我個人在學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)多重積分這一塊時，感到多重積分的計(jì)算比較繁瑣，而在日常生活中多重積分有著很多的應(yīng)用。通過在圖書館查閱資料、以及老師的指點(diǎn)，重積分的計(jì)算方法還是有規(guī)律可循的。為了更好

2、的應(yīng)用重積分，本人結(jié)合前人的經(jīng)驗(yàn)，在這里系統(tǒng)介紹幾種常用的重積分計(jì)算方法，以及一些小技巧。著重介紹累次積分的計(jì)算與變量代換。 一． 二重積分的計(jì)算 1． 常用方法 （1） 化累次積分計(jì)算法 對于常用方法我們先看一個例子（北京師范大學(xué)，2002年） 例1． 計(jì)算二重積分，其中為區(qū)域 解：如圖1所示可分為 在內(nèi)，在內(nèi) 對于重積分的計(jì)算主要采用累次積分法，即把一個二重積分表達(dá)為一個二次積分，通過兩次定積分的計(jì)算求得二重積分值，分析上面的例子累次積分法其主要步驟如下： 第一步：畫出積分區(qū)域的草圖； 第二步：按區(qū)域和被積函數(shù)的情況選擇適當(dāng)?shù)姆e分次序，并確定積分的上、下限；

3、第三步：計(jì)算累次積分。 需要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)的是，累次積分要選擇適當(dāng)?shù)姆e分次序。積分次序的不同將影響計(jì)算的繁簡，有些題這兩種次序的難易程度可以相差很大，甚至對一種次序可以“積出來”，而對另一種次序卻“積不出來”。所以，適當(dāng)選擇積分次序是個很重要的工作。 選擇積分次序的原則是：盡可能將區(qū)域少分塊，以簡化計(jì)算過程；第一次積分的上、下限表達(dá)式要簡單，并且容易根據(jù)第一次積分的結(jié)果作第二次積分。 例2． 計(jì)算，是由 圍成的區(qū)域 解：先畫出區(qū)域的圖形，如圖2 先對后對積分，則由知 如果先對后對積分，由于不能用初等函數(shù)表示，這時重積分“積不出來”。 更換積分次序的理論依據(jù)是什么呢？ 對于給定

4、一個二重積分，若分別把它化為積分次序不同的二次積分而得下列等式： ① ② 則顯然有③ 如果首先給出③式中的一個二次積分（例如左端），而此時又無法計(jì)算結(jié)果或比較麻煩，則我們可以寫出③式中的另一個二次積分（例如右端），這時重積分重要問題則轉(zhuǎn)化為更換積分次序問題。 例3．試更換的積分次序 解：把先對積分更換為先對積分 由原累次積分的上、下限可得 ，即 由的聯(lián)立雙邊不等式可畫出域的圖形，如圖3 再由圖形寫出先對的積分域的聯(lián)立雙邊不等式，為此，作平行于軸的箭頭穿區(qū)域，知先對后對積分必須將分為和，其中 ，如圖4 則 對上面的例題可得更換積分次序的

5、一般步驟為： ⅰ.由原累次積分的上、下限列出表示積分域的聯(lián)立雙邊不等式，例如 ⅱ.根據(jù)上列聯(lián)立雙邊不等式畫出區(qū)域的圖形 ⅲ.按新的累次積分次序，列出與之相應(yīng)的區(qū)域的聯(lián)立雙邊不等式 ⅳ.按3中的不等式組寫出新的累次積分的表達(dá)式。 關(guān)于這方面的應(yīng)用我們再看一個例子。 例4．（華中理工大學(xué),2000年）設(shè)在上連續(xù)，證明 證：改變積分順序得： （2） 變量替換法 在計(jì)算定積分時，求積的困難在于被積函數(shù)的原函數(shù)不易求得。從而適當(dāng)?shù)乩脫Q元法的好處是可以把被積函數(shù)的形狀進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以便于用基本求積公式。 在計(jì)算重積分時，求積的困難來自兩個方面，除了被積函數(shù)的原因以外還在于積分區(qū)域的多樣性

6、。而且，有時候其積分區(qū)域往往成為困難的主要方面。為此，針對不同的區(qū)域要討論重積分的各種不同算法。 例4．（湖北大學(xué)2002年，中南礦治學(xué)院）求，其中 解：令，即 則變成了 可以說變量替換法步驟如下： i. 若可微分的連續(xù)函數(shù)把上的有限區(qū)域單值唯一地映射平面上的域及雅哥比式則下之公式正確 ii. 設(shè)廣義極坐標(biāo)變換將平面上的有界閉區(qū)域一一地變成平面上有界閉區(qū)域，在上連續(xù)，則特別，當(dāng)時，公式變?yōu)椋骸獦O坐標(biāo)變換公式 計(jì)算二重積分時，要從被積函數(shù)和積分域兩個方面來考慮如何適當(dāng)?shù)剡x擇坐標(biāo)系，如能采用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，往往可以收到事半功倍的效果。從積分域來考慮，一般情況下，圓形、扇形或者環(huán)形

7、可以選用極坐標(biāo)系。關(guān)于這方面的應(yīng)用我們看下面的例子： 例5．將連續(xù)函數(shù)在兩圓和 之間的環(huán)形區(qū)域上之二重積分化為二次積分。 解：先畫出域的圖形，如圖5 若用直角坐標(biāo)，則需將分為四個區(qū)域： 如圖5所示，所以，在上的積分 若用極坐標(biāo)，有 顯然，極坐標(biāo)系下運(yùn)算比較方便。 （3） 對稱法 對稱法就是利用區(qū)域和被積函數(shù)的對稱性簡化積分。 在做題時，先考慮區(qū)域和被積函數(shù)有無對稱性，有時一看就知道積分為零，有時可使積分化簡。否則的話，就會把時間花在無謂的計(jì)算上，有時不僅僅“得不償失”，而且往往是“有失無得”。 利用區(qū)域和被積函數(shù)對稱性簡化積分的方法可以總結(jié)為： ① 設(shè)域關(guān)于軸對稱，軸上方

8、部分為，下方為，當(dāng)把中的看作常數(shù)時，若是的奇函數(shù)，則。當(dāng)把中的看作常數(shù)時，若是的偶函數(shù)，則 ② 設(shè)域關(guān)于軸對稱，軸右邊的部分為,左邊的部分為，當(dāng)把中的看作常數(shù)時，若是的奇函數(shù)，則；當(dāng)把中的看作常數(shù)時，若是的偶函數(shù)，則 我們只對第一個結(jié)論的前一部分做個簡單的證明： 例6．計(jì)算重積分，其中為兩種形式：是由所構(gòu)成；是關(guān)于軸對稱的平面凸域，其邊界為和，如圖6 解：其中利用了當(dāng)時，，又 再看一個例子 例7．（武漢大學(xué)，1992年）計(jì)算下列積分（1），其中為常數(shù)，；（2），其中為直線與曲線圍成的有界區(qū)域。 解：（1）（2）由對稱性及被積函數(shù)為關(guān)于的偶函數(shù) （4） 特例 當(dāng)積分區(qū)域

9、是一矩形，被積函數(shù)可以分離成只含 的函數(shù)和只含的函數(shù)相乘時二重積分可作兩個定積分相乘，即 根據(jù)這一性質(zhì)，其中這是一個比較特殊的例子，也是重積分與單積分的互換。 例8．（武漢大學(xué)，1995年）設(shè)在上連續(xù)，證明：，其中為以為頂點(diǎn)的三角區(qū)域。 證：如圖示 令，即，則 變成 注意到二重積分的值與積分變量的記號無關(guān)， 二． 三重積分 三重積分概念可以看作是二重積分概念的直接推廣，它的計(jì)算也是化為累次積分，適當(dāng)?shù)剡x擇變量代換可使三重積分容易計(jì)算。與前面二重積分情況相同，三重積分也可以應(yīng)用對稱法計(jì)算，即一般地，若區(qū)域關(guān)于z平面對稱，被積函數(shù)關(guān)于 是奇函數(shù)，則三重積分必為零，類似地

10、還可推出其它各種對稱情況的三重積分。 計(jì)算三重積分的一般步驟為： 1． 畫出空間域的草圖； 2． 根據(jù)被積函數(shù)和積分域選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)和累次積分的次序，并將域用相應(yīng)的雙邊不等式組表示； 3． 完成累次積分的計(jì)算。 這里，畫好圖形是計(jì)算的關(guān)鍵，因?yàn)榉e分變量變化的范圍就是從圖形上看出來的，于是也就順利地寫出了積分限。其中柱坐標(biāo)系中的定限化為平面直角坐標(biāo)系的定限，球坐標(biāo)中定限化為平面極坐標(biāo)系的定限。 可以說，三重積分的計(jì)算方法可由二重積分推廣過來，不再累述。 我們有一般的，在不同坐標(biāo)中域的表達(dá)式和相應(yīng)的積分表達(dá)式引用下表示： 坐標(biāo)系 區(qū)域 計(jì)算公式 直角坐標(biāo)系 柱坐標(biāo)系

11、 球坐標(biāo)系 選擇在哪種坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分，要以被積函數(shù)和積分域的情況這兩個方面全面考慮，若僅從積分域的角度考慮，三種坐標(biāo)系下的情況分別為： 坐標(biāo)系 積分區(qū)域 體積元素 變量替換 積分表達(dá)式 直角坐標(biāo)系 長方體、四面體或任意體 —— 柱坐標(biāo)系 柱形區(qū)域 球坐標(biāo)系 球形區(qū)域 三． 結(jié)語 綜上所述，重積分的計(jì)算的方法是有規(guī)律可循的?？傮w上，重積分的主要計(jì)算思路是先化重積分為累次積分，難點(diǎn)是積分區(qū)域的分塊、積分上下限的確定、積分次序的互換以及利用變量代換是重積分簡化。 參考文獻(xiàn)： [1]錢吉林等主編.《數(shù)學(xué)分析解題精

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13、of total mark, explain dual calculation of integration from tired times of calculation, variable person who replace method of total mark emphatically, introduced a kind of special dual total mark computing technology at the same time , and popularize the calculation to the triple total mark from the dual total mark computing technology. Keyword: Dual total mark .Triple total mark .The variable replacing. Symmetrical law 11