2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 第2講 不等式學(xué)案.docx

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第2講不等式 考向預(yù)測 1．利用不等式性質(zhì)比較大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問題是高考的熱點(diǎn)，主要以選擇題、填空題為主； 2．在解答題中，特別是在解析幾何中求最值、范圍問題或在解決導(dǎo)數(shù)問題時常利用不等式進(jìn)行求解，難度較大． 1．不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a與ax2＋bx＋c同號，則其解集在兩根之外；如果a與ax2＋bx＋c異號，則其解集在兩根之間． (2)簡單分式不等式的解法． ①>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)． ②≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． (3)指數(shù)不等式、對數(shù)不等式及抽象函數(shù)不等式，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解． 2．幾個不等式 (1)a2＋b2≥2ab(取等號的條件是當(dāng)且僅當(dāng)a＝b)． (2)(a，b∈R)． (3)≥≥≥(a>0，b>0)． (4)2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，當(dāng)a＝b時等號成立)． 3．利用基本不等式求最值 (1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2(簡記為：積定，和有最小值)． (2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值(簡記為：和定，積有最大值)． 4．簡單的線性規(guī)劃問題 解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時可行域上的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問題要驗(yàn)證解決． 熱點(diǎn)一　不等式的性質(zhì)及解法 【例1】(1)(2018武漢聯(lián)考)已知函數(shù)是上的減函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____． (2)(2017江蘇卷)已知函數(shù)f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，若 f(a－1)＋f(2a2)≤0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析　(1)因?yàn)槭巧系臏p函數(shù)，若， 所以，解不等式組得， (2)f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2＝3x2≥0且f′(x)不恒為0，所以f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)． 又f(－x)＝－x3＋2x＋e－x－ex＝－(x3－2x＋ex－)＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)， 由f(a－1)＋f(2a2)≤0，得f(2a2)≤f(1－a)， ∴2a2≤1－a，解之得－1≤a≤， 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是． 答案　(1)C　(2) 探究提高　1．解一元二次不等式：先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再結(jié)合相應(yīng)二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集． 2．(1)對于和函數(shù)有關(guān)的不等式，可先利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化． (2)含參數(shù)的不等式的求解，要對參數(shù)進(jìn)行分類討論． 【訓(xùn)練1】(1)(2018七寶中學(xué))若對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____ (2)已知不等式≥|a2－a|對于x∈[2，6]恒成立，則a的取值范圍是________． 解析　(1)由已知得不等式對任意恒成立，所以不等式對任意恒成立，即不等式對任意恒成立，當(dāng)時，則不等式對任意不恒成立，所以。所以，即，所以．解得． (2)設(shè)y＝，， 故y＝在x∈[2，6]上單調(diào)遞減，則ymin＝＝， 故不等式≥|a2－a|對于x∈[2，6]恒成立等價于|a2－a|≤恒成立，化簡得 解得－1≤a≤2，故a的取值范圍是[－1，2]． 答案　(1)R　(2)[－1，2] 熱點(diǎn)二　基本不等式 【例2】(1)(2018天津期末)已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________． (2)(2016江蘇卷改編)已知函數(shù)f(x)＝2x＋，若對于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為________． 解析　(1)∵，，恒成立，且， ， 因?yàn)楹愠闪ⅲ啵? ∴． 故答案為． (2)由條件知． ∵f(2x)≥mf(x)－6對于x∈R恒成立，且f(x)>0， ∴對于x∈R恒成立． 又＝f(x)＋≥2＝4，且， ∴m≤4，故實(shí)數(shù)m的最大值為4． 答案　(1)8　(2)4 探究提高　1．利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、湊”等變形，變形的原則是在已知條件下通過變形湊出基本不等式應(yīng)用的條件，即“和”或“積”為定值，等號能夠取得． 2．特別注意：(1)應(yīng)用基本不等式求最值時，若遇等號取不到的情況，則應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解． (2)若兩次連用基本不等式，要注意等號的取得條件的一致性，否則會出錯． 【訓(xùn)練2】 (1) (2018新泰一中)若直線過點(diǎn)，則的最小值為______． (2)若實(shí)數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為(　　) A． B．2 C．2 D．4 解析　(1)∵直線過點(diǎn)，∴， 故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，結(jié)合可解得且，故答案為． (2)依題意知a>0，b>0，則＋≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即b＝2a時，“＝”成立． ∵＋＝，∴≥，即ab≥2， ∴ab的最小值為2． 答案　(1)C　(2)C 熱點(diǎn)三　簡單的線性規(guī)劃問題 【例3】 (1) (2018張家口期中)已知，滿足，則的最大值為_____． (2) (2017池州模擬)已知x，y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)z＝2x－3y的最大值是2，則實(shí)數(shù)a＝(　　) A． B．1 C． D．4 解析　(1)根據(jù)題中所給的約束條件，畫出可行域，如圖所示： 由解得， 目標(biāo)函數(shù)可看做斜率為3的動直線，其縱截距越小，越大， 由圖可知，當(dāng)動直線過點(diǎn)時，最大，最大值為， 故答案是6. (2)解析　作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示， ∵目標(biāo)函數(shù)z＝2x－3y的最大值是2， 由圖象知z＝2x－3y經(jīng)過平面區(qū)域的A時目標(biāo)函數(shù)取得最大值2． 由解得A(4，2)， 同時A(4，2)也在直線ax＋y－4＝0上， ∴4a＝2，則a＝． 答案　(1)D　(2)A 探究提高　1．線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想．需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得． 2．對于線性規(guī)劃中的參數(shù)問題，需注意： (1)當(dāng)最值是已知時，目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)往往與直線斜率有關(guān)，解題時應(yīng)充分利用斜率這一特征加以轉(zhuǎn)化． (2)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與最值都是已知，且約束條件中含有參數(shù)時，因?yàn)槠矫鎱^(qū)域是變動的，所以要抓住目標(biāo)函數(shù)及最值已知這一突破口，先確定最優(yōu)解，然后變動參數(shù)范圍，使得這樣的最優(yōu)解在該區(qū)域內(nèi)即可． 【訓(xùn)練3】 (1) (2019貴州聯(lián)考)設(shè)實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則的最小值是__________． (2)(2017新鄉(xiāng)模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿足且z＝mx－y(m<2)的最小值為－，則m等于(　　) A． B．－ C．1 D． 解析　(1)作出不等式組，表示的平面區(qū)域： 得到如圖的陰影部分，得， 設(shè)，將直線進(jìn)行平移， 當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時，目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值， ∴． 故答案為2． (2)作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示， z＝mx－y(m<2)的最小值為－，可知目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解過點(diǎn)A，由解得A， ∴－＝－3，解得m＝1． 答案　(1)C　(2)C  1．(2018全國I卷)若，滿足約束條件，則的最大值為_____________． 2．(2016山東卷)若變量x，y滿足則x2＋y2的最大值是(　　) A．4 B．9 C．10 D．12 3．(2018全國I卷)設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（） A． B． C． D． 4．(2017天津卷)若a，b∈R，ab>0，則的最小值為________． 1．(2018南陽期中)已知正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為2，若，則的最小值等于（　?。? A． B． C． D． 2．(2017全國Ⅲ卷)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝x－y的取值范圍是(　　) A．[－3，0] B．[－3，2] C．[0，2] D．[0，3] 3．已知當(dāng)x＜0時，2x2－mx＋1＞0恒成立，則m的取值范圍為(　　) A．[2，＋∞) B．(－∞，2] C．(－2，＋∞) D．(－∞，－2) 4．已知函數(shù)那么不等式f(x)≥1的解集為________． 5．設(shè)，，滿足約束條件:的可行域?yàn)椋? （1）求的最大值與的最小值; （2）若存在正實(shí)數(shù),使函數(shù)的圖象經(jīng)過區(qū)域中的點(diǎn),求這時的取值范圍. 1．已知，滿足約束條件，記（其中）的最小值為，若，則實(shí)數(shù)的最小值為（） A．3 B．4 C．5 D．6 2．(2017北京卷)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，則x2＋y2的取值范圍是________． 3．(2017長郡中學(xué)二模)曲線x＝|y－1|與y＝2x－5圍成封閉區(qū)域(含邊界)為Ω，直線y＝3x＋b與區(qū)域Ω有公共點(diǎn)，則b的最小值為________． 4．（2018莆田一中）已知函數(shù)，對任意的，恒有． （1）證明：． （2）若對滿足題設(shè)條件的任意，，不等式恒成立，求的最小值． 5．（2018執(zhí)信中學(xué)）私人辦學(xué)是教育發(fā)展的方向，某人準(zhǔn)備投資1200萬元舉辦一所中學(xué)，為了考慮社會效益和經(jīng)濟(jì)效益，對該地區(qū)教育市場進(jìn)行調(diào)查，得出一組數(shù)據(jù)，列表如下（以班級為單位）： 市場調(diào)查表 班級學(xué)生數(shù) 配備教師數(shù) 硬件建設(shè)費(fèi)（萬元） 教師年薪（萬元） 初中 高中 根據(jù)物價部門的有關(guān)文件，初中是義務(wù)教育階段，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)控制，預(yù)計除書本費(fèi)、辦公費(fèi)，初中每生每年可收取元，高中每生每年可收取元.因生源和環(huán)境等條件限制，辦學(xué)規(guī)模以至個班為宜（含個與個）.教師實(shí)行聘任制.初、高中的教育周期均為三年.請你合理地安排招生計劃，使年利潤最大，大約經(jīng)過多少年可以收回全部投資？ 參考答案 1．【解題思路】首先根據(jù)題中所給的約束條件，畫出相應(yīng)的可行域，再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式，之后在圖中畫出直線，在上下移動的過程中，結(jié)合的幾何意義，可以發(fā)現(xiàn)直線過B點(diǎn)時取得最大值，聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)解析式，求得最大值. 【答案】根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對應(yīng)的可行域，如圖所示： 由可得， 畫出直線，將其上下移動， 結(jié)合的幾何意義，可知當(dāng)直線過點(diǎn)B時，取得最大值， 由，解得， 此時，故答案為6. 2．【解題思路】x2＋y2可看做點(diǎn)(x, y)到(0,0)的距離的平方． 【答案】　作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示： x2＋y2表示區(qū)域內(nèi)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，由得A(3，－1)． 由圖形知，(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10．故選C． 3．【解題思路】首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，將函數(shù)圖像畫出來，從圖中可以發(fā)現(xiàn)若有成立，一定會有，從而求得結(jié)果. 【答案】　將函數(shù)f(x)的圖像畫出來，觀察圖像可知會有，解得， 所以滿足的的取值范圍是，故選D. 4．【解題思路】直接用兩次均值不等式，本題恰好能同時取等號． 【答案】　∵a，b∈R，ab>0，∴≥＝4ab＋≥2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)即時取得等號．故填4． 1．【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出，由乘“1”法求出代數(shù)式的最小值即可． 【答案】正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為2，若， 故,故，, 故． 當(dāng)且僅當(dāng)即時“＝”成立，故選A． 2．【解題思路】畫出可行域，確定取最小值和最大值時的點(diǎn)． 【答案】　畫出不等式組表示的可行域(如圖陰影部分所示)， 結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點(diǎn)A(0，3)處取得最小值z＝0－3＝－3，在點(diǎn)B(2，0)處取得最大值z＝2－0＝2．故選B． 3．【解題思路】利用分離參數(shù)法分離出m，轉(zhuǎn)化為求最值問題． 【答案】　由2x2－mx＋1＞0，得mx＜2x2＋1， 因?yàn)閤＜0，所以m＞＝2x＋． 又2x＋＝－≤－2＝－2． 當(dāng)且僅當(dāng)－2x＝－，即x＝－時取等號， 所以m＞－2．故選C． 4．【解題思路】分類討論代入不同的函數(shù)解析式，進(jìn)而求出x的范圍． 【答案】　當(dāng)x＞0時，由可得x≥3，當(dāng)x≤0時，由≥1可得x≤0， ∴不等式f(x)≥1的解集為(－∞，0]∪[3，＋∞)．故填(－∞，0]∪[3，＋∞)． 5．【解題思路】（1）畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)變形為，故最大值，直線縱截距最大，故將直線經(jīng)過可行域盡可能地向上平移到點(diǎn)時，此時最大，將點(diǎn)坐標(biāo)帶入即可，表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，觀察可行域內(nèi)的點(diǎn)并將與原點(diǎn)距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)帶入目標(biāo)函數(shù)即可；（2）函數(shù)解析式化為，由圖像得只需，解不等式得的取值范圍． 【答案】（1）由，得∴，由，得∴， 由，得，∴，可行域?yàn)槿鐖D， ∵，又∵，∴，是軸的截距，， ∴過點(diǎn)時，，∵是表示區(qū)域M上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離平方. 如圖使所求距離的平方最小，∴. （2）∵，過區(qū)域中的點(diǎn)，而區(qū)域中， 又∵，函數(shù)圖象過點(diǎn)，， 當(dāng)時，，， ∴滿足過區(qū)域M中的點(diǎn)，只須圖象與射線，有公共點(diǎn). ∴只須時, ，∴，∴所求的取值范圍是. 1．【解題思路】畫出可行域，確定何時取最小值. 【答案】 由題畫出可行域如圖所示，可知目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時取得最小值， 由題，∴，選C． 2．【解題思路】x2＋y2可看做點(diǎn)(x, y)到(0, 0)的距離的平方，也可利用均值不等式． 【答案】　法一　∵x≥0，y≥0且x＋y＝1． ∴2≤x＋y＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時取等號，從而0≤xy≤， 因此x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝1－2xy，所以≤x2＋y2≤1． 法二　可轉(zhuǎn)化為線段AB上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離平方的范圍，AB上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的范圍為，則x2＋y2的取值范圍為． 故填?。? 3．【解題思路】y＝3x＋b化為b＝－3x＋y即為目標(biāo)函數(shù)，畫出可行域，確定取最小值時的點(diǎn)． 【答案】　作x＝|y－1|與y＝2x－5圍成的平面區(qū)域如圖， 由解得A(6，7)， 平移直線y＝3x＋b，則由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時，直線y＝3x＋b在y軸上的截距最小，此時b最?。? ∴b＝－3x＋y的最小值為－18＋7＝－11． 故填－11． 4．【解題思路】（1）先求導(dǎo)數(shù)，并化簡不等式得，再根據(jù)一元二次不等式恒成立得，最后利用基本不等式得結(jié)論.（2）先討論時，不等式恒成立，再討論時，利用變量分離法將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)最值即得M的取值范圍，最后確定M的最小值． 【答案】?。?）易知．由題設(shè)，對任意的，，即恒成立，所以，從而． 于是，且，因此． （2）由（1）知，．當(dāng)時，有． 令，則，．而函數(shù)的值域是． 因此，當(dāng)時，的取值集合為． 當(dāng)時，由（1）知，，． 此時或0，，從而恒成立． 綜上所述，的最小值為． 5．【解題思路】根據(jù)設(shè)初中編個班，高中編制為個班，得出二元一次方程組， 又設(shè)年利潤為萬元，那么，即， 根據(jù)線性規(guī)劃可得年利潤最大值， 利用可得大約經(jīng)過36年可以收回全部投資. 【答案】設(shè)初中編制為個班，高中編制為個班.則依題意有，（*） 又設(shè)年利潤為萬元，那么，即， 在直角坐標(biāo)系中作出（*）所表示的可行域，如圖所示. 問題轉(zhuǎn)化為在如圖所示的陰影部分中，求直線在軸上的截距的最大值， 如圖，虛線所示的為一組斜率為的直線，顯然當(dāng)直線過圖中的點(diǎn)時，縱截距取最大值. 解聯(lián)立方程組得， 將，代入s中得，，. 設(shè)經(jīng)過年可收回投資，則 第年利潤為（萬元）； 第2年利潤為（萬元）， 以后每年的利潤均為萬元，故依題意應(yīng)有. 解得. 答：學(xué)校規(guī)模以初中個班、高中個班為宜，第一年初中招生個班約人，高中招生個班約，從第三年開始年利潤為萬元，約經(jīng)過年可以收回全部投資.