2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.2.1 常數(shù)與冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 3.2.2 導(dǎo)數(shù)公式表學(xué)案（含解析）新人教B版選修1 -1.docx

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3．2.2　導(dǎo)數(shù)公式表 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.能根據(jù)定義求函數(shù)y＝C，y＝x，y＝x2，y＝的導(dǎo)數(shù).2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 知識(shí)點(diǎn)一　常數(shù)與冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) f(x)＝C f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝ f′(x)＝－ 知識(shí)點(diǎn)二　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表 原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) f(x)＝C f′(x)＝0 f(x)＝xn f′(x)＝nxn－1(n為自然數(shù)) f(x)＝sinx f′(x)＝cosx f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axlna f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，a≠1，x>0) f′(x)＝ f(x)＝lnx f′(x)＝ 題型一　利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例1　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． (1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝； (4)y＝2sincos；(5)y＝；(6)y＝3x. 解　(1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11. (2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－. (3)y′＝()′＝＝＝＝. (4)∵y＝2sincos＝sinx，∴y′＝cosx. (5)y′＝()′＝＝－. (6)y′＝(3x)′＝3xln3. 反思感悟　若題目中所給出的函數(shù)解析式不適用導(dǎo)數(shù)公式，需通過恒等變換對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)或變形后求導(dǎo)，如根式化成指數(shù)冪的形式求導(dǎo)． 跟蹤訓(xùn)練1　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． (1)y＝lgx； (2)y＝x； (3)y＝(1－)＋； (4)y＝2cos2－1. 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解　(1)y′＝(lgx)′＝(log10x)′＝. (2)y′＝′＝xln＝－xln2. (3)∵y＝(1－)＋ ＝＋＝＝ ∴y′＝－ (4)∵y＝2cos2－1＝cosx， ∴y′＝(cosx)′＝－sinx. 題型二　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 命題角度1　利用導(dǎo)數(shù)公式解決切線問題 例2　已知點(diǎn)P(－1,1)，點(diǎn)Q(2,4)是曲線y＝x2上兩點(diǎn)，是否存在與直線PQ垂直的切線，若有，求出切線方程，若沒有，說(shuō)明理由． 解　因?yàn)閥′＝(x2)′＝2x，假設(shè)存在與直線PQ垂直的切線． 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，由直線PQ的斜率為k＝＝1， 又切線與PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－， 所以切點(diǎn)坐標(biāo)為. 所以所求切線方程為y－＝(－1)， 即4x＋4y＋1＝0. 引申探究 若本例條件不變，求與直線PQ平行的曲線y＝x2的切線方程． 解　因?yàn)閥′＝(x2)′＝2x，設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)， 則＝2x0. 又因?yàn)镻Q的斜率為k＝＝1， 而切線平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝. 所以切點(diǎn)為M， 所以所求切線方程為y－＝x－，即4x－4y－1＝0. 反思感悟　解決切線問題，關(guān)鍵是確定切點(diǎn)，要充分利用： (1)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率． (2)切點(diǎn)在切線上． (3)切點(diǎn)又在曲線上這三個(gè)條件聯(lián)立方程解決． 跟蹤訓(xùn)練2　已知兩條曲線y＝sinx，y＝cosx，是否存在這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，使在這一點(diǎn)處兩條曲線的切線互相垂直？并說(shuō)明理由． 解　設(shè)存在一個(gè)公共點(diǎn)(x0，y0)，使兩曲線的切線垂直， 則在點(diǎn)(x0，y0)處的切線斜率分別為k1＝＝cosx0，k2＝＝－sinx0. 要使兩切線垂直，必須有k1k2＝cosx0(－sinx0)＝－1， 即sin2x0＝2，這是不可能的． 所以兩條曲線不存在公共點(diǎn)，使在這一點(diǎn)處兩條曲線的切線互相垂直． 命題角度2　利用導(dǎo)數(shù)公式解決最值問題 例3　求拋物線y＝x2上的點(diǎn)到直線x－y－2＝0的最短距離． 解　依題意知，拋物線y＝x2與直線x－y－2＝0平行的切線的切點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離最短，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x)． ∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝， ∴切點(diǎn)坐標(biāo)為， ∴所求的最短距離為d＝＝. 反思感悟　利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，可求其圖象在某一點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程，可以解決一些與距離、面積相關(guān)的幾何的最值問題，一般都與函數(shù)圖象的切線有關(guān)．解題時(shí)可先利用圖象分析取最值時(shí)的位置情況，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義準(zhǔn)確計(jì)算． 跟蹤訓(xùn)練3　已知直線l: 2x－y＋4＝0與拋物線y＝x2相交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，試求與直線l平行的拋物線的切線方程，并在弧上求一點(diǎn)P，使△ABP的面積最大． 解　設(shè)M(x0，y0)為切點(diǎn)，過點(diǎn)M與直線l平行的直線斜率為k＝y(tǒng)′＝2x0， ∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0＝1，故可得M(1,1)， ∴切線方程為2x－y－1＝0. 由于直線l: 2x－y＋4＝0與拋物線y＝x2相交于A，B兩點(diǎn)， ∴|AB|為定值，要使△ABP的面積最大，只要P到AB的距離最大， 故點(diǎn)M(1,1)即為所求弧上的點(diǎn)，使△ABP的面積最大． 導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用 典例　設(shè)f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，則f2019(x)等于(　　) A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　D 解析　f1(x)＝f′0(x)＝(sinx)′＝cosx， f2(x)＝f′1(x)＝(cosx)′＝－sinx， f3(x)＝f′2(x)＝(－sinx)′＝－cosx， f4(x)＝(－cosx)′＝sinx， f5(x)＝(sinx)′＝f1(x)， f6(x)＝f2(x)，…， fn＋4(x)＝fn(x)， 可知fn(x)關(guān)于n的周期為4， ∴f2019(x)＝f5044＋3(x)＝－cosx. [素養(yǎng)評(píng)析]　熟記導(dǎo)數(shù)公式是進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的前提，正確的進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，方能找出規(guī)律，尋找到正確的結(jié)論． 1．下列結(jié)論： ①(sinx)′＝cosx；②； ③(log3x)′＝；④(lnx)′＝. 其中正確的有(　　) A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè) 答案　C 解析　∵②＝；③(log3x)′＝， ∴②③錯(cuò)誤，故選C. 2．函數(shù)f(x)＝，則f′(3)等于(　　) A. B．0 C. D. 答案　A 解析　∵根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，可得f′(x)＝， ∴f′(3)＝＝. 3．設(shè)函數(shù)f(x)＝logax，f′(1)＝－1，則a＝. 答案　 解析　∵f′(x)＝， 則f′(1)＝＝－1，∴a＝. 4．求過曲線y＝sinx上的點(diǎn)P且與在這一點(diǎn)處的切線垂直的直線方程． 解　曲線y＝sinx在點(diǎn)P處的切線斜率 為k＝＝cos＝， 則與切線垂直的直線的斜率為－， ∴所求直線方程為y－＝－， 即12x＋18y－2π－9＝0. 1．利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡(jiǎn)便地求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)公式．解題時(shí)，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸． 2．有些函數(shù)可先化簡(jiǎn)再應(yīng)用公式求導(dǎo)． 如求y＝1－2sin2的導(dǎo)數(shù)．因?yàn)閥＝1－2sin2＝cosx， 所以y′＝(cosx)′＝－sinx. 3．對(duì)于正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一是注意函數(shù)名稱的變化，二是注意函數(shù)符號(hào)的變化. 一、選擇題 1．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為(　　) ①y＝ln2，則y′＝；②y＝f(x)＝，則f′(3)＝－； ③y＝2x，則y′＝2xln2；④y＝log2x，則y′＝. A．0B．1C．2D．3 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用 答案　D 解析　①中y＝ln2為常數(shù)， 所以y′＝0.①錯(cuò)． 2．已知f(x)＝，則f等于(　　) A．－25B．－C.D．25 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 答案　B 解析　因?yàn)閒(x)＝，所以f′(x)＝－. 故f′＝－25，f＝f(－25)＝－. 3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，則a等于(　　) A．4B．－4C．5D．－5 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　常數(shù)、冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　A 解析　∵f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4， ∴a＝4. 4．正弦曲線y＝sinx上切線的斜率等于的點(diǎn)為(　　) A. B.或 C.(k∈Z) D.或(k∈Z) 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　D 解析　設(shè)斜率等于的切線與曲線的切點(diǎn)為P(x0，y0)，∵＝cosx0＝，∴x0＝2kπ＋或2kπ－，k∈Z，∴y0＝或－. 5．函數(shù)y＝ex在點(diǎn)(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為(　　) A.e2B．2e2C．e2D. 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　D 解析　∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2， ∴曲線在點(diǎn)(2，e2)處的切線方程為y－e2＝e2(x－2)， 即y＝e2x－e2. 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－e2，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1. ∴S＝1|－e2|＝e2. 6．已知曲線y＝x3在點(diǎn)(2,8)處的切線方程為y＝kx＋b，則k－b等于(　　) A．4B．－4C．28D．－28 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　常數(shù)、冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　C 解析　∵點(diǎn)(2,8)在切線上，∴2k＋b＝8，① 又y′|x＝2＝322＝12＝k，② 由①②可得k＝12，b＝－16，∴k－b＝28. 7．已知曲線y＝lnx的切線過原點(diǎn)，則此切線的斜率為(　　) A．eB．－eC.D．－ 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　C 解析　設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，lnx0)， 則切線的斜率為＝， 又切線斜率可表示為， ∴＝，則x0＝e， ∴切線的斜率為. 8．設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N＋)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則x1x2…xn的值為(　　) A.B.C.D．1 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　B 解析　對(duì)y＝xn＋1(n∈N＋)求導(dǎo)得y′＝(n＋1)xn. 令x＝1，得在點(diǎn)(1,1)處的切線的斜率k＝n＋1， ∴在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)． 令y＝0，得xn＝， ∴x1x2…xn＝…＝，故選B. 二、填空題 9．已知f(x)＝，g(x)＝mx且g′(2)＝，則m＝. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 答案　－4 解析　∵f′(x)＝－，g′(x)＝m，∴f′(2)＝－， 又g′(2)＝，∴m＝－4. 10．設(shè)曲線y＝ex在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y＝(x>0)上點(diǎn)P處的切線垂直，則P的坐標(biāo)為． 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　(1,1) 解析　因?yàn)閥′＝ex，所以曲線y＝ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率k1＝e0＝1. 設(shè)P(m，n)，y＝(x>0)的導(dǎo)數(shù)為y′＝－(x>0)， 曲線y＝(x>0)在點(diǎn)P處的切線斜率k2＝－(m>0)． 因?yàn)閮汕芯€垂直，所以k1k2＝－1， 所以m＝1，n＝1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)． 11．已知f(x)＝cosx，g(x)＝x，則關(guān)于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集為． 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　 解析　∵f′(x)＝－sinx，g′(x)＝1， 由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sinx＋1≤0， 即sinx≥1，則sinx＝1， 解得x＝＋2kπ，k∈Z， ∴其解集為. 三、解答題 12．若曲線y＝x－在點(diǎn)(a，a－)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，求實(shí)數(shù)a的值． 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 解　∵，∴y′＝－， ∴曲線在點(diǎn)(a，)處的切線斜率k＝－， ∴切線方程為y－＝－(x－a)． 令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝3a， ∴該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S＝3a＝＝18， ∴a＝64. 13．點(diǎn)P是曲線y＝ex上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線y＝x的最小距離． 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解　如圖，當(dāng)曲線y＝ex在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線y＝x平行時(shí)，點(diǎn)P到直線y＝x的距離最近， 則曲線y＝ex在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線斜率為1， 又y′＝(ex)′＝ex， 所以＝1，得x0＝0， 代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)． 利用點(diǎn)到直線的距離公式得最小距離為. 14．下列曲線的所有切線中，存在無(wú)數(shù)對(duì)互相垂直的切線的曲線是(　　) A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3 C．f(x)＝lnx D．f(x)＝sinx 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 答案　D 解析　若直線垂直且斜率存在，則其斜率之積為－1. 因?yàn)锳項(xiàng)中，(ex)′＝ex>0，B項(xiàng)中，(x3)′＝3x2≥0，C項(xiàng)中，x>0，即(lnx)′＝>0，所以不會(huì)使切線斜率之積為－1，故選D. 15．求證：雙曲線xy＝a2上任意一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于常數(shù)． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 證明　設(shè)P(x0，y0)為雙曲線xy＝a2上任一點(diǎn)． ∵y′＝′＝－. ∴過點(diǎn)P的切線方程為y－y0＝－(x－x0)． 令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝2x0. 則切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S＝|2x0|＝2a2. 即雙曲線xy＝a2上任意一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為常數(shù)2a2.