陜西省周至縣高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 1.3 反證法教案 北師大版選修2-2.doc

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1.3“反證法” 1．教材內(nèi)容及地位 本節(jié)課是北師大版《數(shù)學(xué)》（選修2-2）第一章“推理與證明”的第3節(jié)內(nèi)容《反證法》的第一課時(shí)，學(xué)生主要學(xué)習(xí)間接證明的一種基本方法——反證法，學(xué)生通過學(xué)習(xí)，了解反證法的思考過程、方法特點(diǎn)、及應(yīng)用范圍. 它是在學(xué)完直接證明的兩種方法綜合法和分析法后，出現(xiàn)的一種間接證明的方法，這種方法的學(xué)習(xí)有助于培養(yǎng)學(xué)生逆向思考的思維能力，從而完善解題過程中正反面結(jié)合的思維習(xí)慣. 2.教學(xué)目標(biāo) 1.知識(shí)與技能 （1）學(xué)生通過具體的例子了解反證法的思考過程、特點(diǎn). （2）學(xué)生通過已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例的證明體會(huì)反證法的證明過程，并能用反證法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題. 2.過程與方法 （1）學(xué)生借助實(shí)例分析體會(huì)反證法的證明原理. （2）學(xué)生通過實(shí)際演練體會(huì)在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，通過增加條件，增加了一種間接證明的方法——反證法. 3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀 （1）學(xué)生通過反證法的運(yùn)用，在解決問題時(shí)有了“正難則反”的思維方向，發(fā)展了自己的思維能力，滲透了運(yùn)用辯證觀點(diǎn)解決問題的意識(shí). （2）學(xué)生認(rèn)識(shí)到例題背后的數(shù)學(xué)文化，了解了數(shù)學(xué)發(fā)展的源遠(yuǎn)流長，激發(fā)了自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 5、教學(xué)過程 （一）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題（以下內(nèi)容部分通過課件展示） 問題1：將9個(gè)球分別染成紅色或白色，那么無論怎樣染，至少有5個(gè)球是同色的.你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？ 假設(shè)有某種染法使紅色球和白色球的個(gè)數(shù)都不超過4，則球的總數(shù)應(yīng)該不超過8個(gè)，這與球的總數(shù)是9矛盾.因此，不論怎樣染，至少有5個(gè)球是同色的. 設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生能夠從具體的例子中，感受到反證法的存在。 問題2：上面的證明方法和我們上節(jié)課學(xué)習(xí)的綜合法和分析法相同嗎？ 不同. 設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生了解反證法是與直接證明不同的一種方法. 問題3：上面這種證明方法在數(shù)學(xué)中叫做什么呢？ 反證法. 設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生知道在數(shù)學(xué)證明方法中，還有這樣一種證明方法. （二）引導(dǎo)探索，生成概念 問題4：你能總結(jié)一下什么叫做反證法嗎？ 一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法. 設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生試著總結(jié)反證法的定義. 問題5：有了反證法的定義，你能總結(jié)出用反證法證明題目的步驟嗎？ 反證法證明題的步驟： 假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立. 從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理，得出矛盾. 由矛盾假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確. 設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生試著總結(jié)反證法證明題目的步驟. 問題6：反證法中到底蘊(yùn)含著什么樣的數(shù)學(xué)邏輯？ 反證法是將證明轉(zhuǎn)化為，而與假設(shè)矛盾，或與某個(gè)真命題矛盾，而一般與不等價(jià)。因此反證法與證明逆否命題不是一回事. （三）學(xué)以致用，理解感悟 例1.已知是整數(shù)，能整除.求證：能整除. 學(xué)生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生從正面出發(fā)試著證明，不妨設(shè)，那么，2能否整除不容易確定.這樣我們想到了反證法. 證明：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即“不能整除”. 因?yàn)槭钦麛?shù)，故是奇數(shù)，可表示為，則 ， 即是奇數(shù). 所以，不能整除.這與已知 “能整除”相矛盾. 于是，“不能整除”這個(gè)假設(shè)錯(cuò)誤，故能整除. 設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生體會(huì)從假設(shè)出發(fā)，如何推導(dǎo)出與已知矛盾. 探究一：已知是整數(shù)，能整除.求證：能整除. 學(xué)生活動(dòng)：仿照例1的證明過程，學(xué)生思考，能整除的否定有哪些情況，然后試著證明. 證明：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即“不能整除”. 因?yàn)槭钦麛?shù)，可表示為，則 當(dāng)時(shí) ， 當(dāng)時(shí) ， 綜上所述，不能整除，這與已知“能整除”相矛盾， 于是，“不能整除”這個(gè)假設(shè)錯(cuò)誤，故能整除. 設(shè)計(jì)意圖：一方面進(jìn)一步熟悉反證法的證明過程，另一方面對(duì)例1的結(jié)論進(jìn)行推廣，最后，為課后練習(xí)“求證：是無理數(shù)”做知識(shí)的鋪墊. 探究二：已知是整數(shù)，能整除.求證：能整除. 學(xué)生活動(dòng)：這個(gè)問題可以讓學(xué)生仿照“探究一”課后訓(xùn)練. 設(shè)計(jì)意圖：為課后作業(yè)“求證：是無理數(shù)”做知識(shí)的鋪墊. 例2.求證：是無理數(shù). 數(shù)學(xué)文化：關(guān)于“是無理數(shù)”的證明有其深厚的文化背景.兩千多年前，古希臘人用反證法證明了不是有理數(shù)（因?yàn)楫?dāng)時(shí)還沒有發(fā)現(xiàn)無理數(shù)呢），這是用反證法證明命題的真實(shí)性的最經(jīng)典的實(shí)例.對(duì)這些感興趣的同學(xué)課后可以查閱相關(guān)資料進(jìn)行學(xué)習(xí). 證明：假設(shè)不是無理數(shù)，即是有理數(shù)，那么它就可以表示成兩個(gè)整數(shù)之比， 設(shè)，且互素，則. 所以，.① 故是偶數(shù)，也必然為偶數(shù). 不妨設(shè)，帶入①式，則有， 即， 所以，也為偶數(shù). 和都是偶數(shù)，它們有公約數(shù)，這與互素相矛盾. 這樣，不是有理數(shù)，而是無理數(shù). 設(shè)計(jì)意圖：一方面，這個(gè)問題是例1知識(shí)的延續(xù)，另一方面，為課后的練習(xí)和習(xí)題做準(zhǔn)備，學(xué)生通過此題的證明，能在課后的訓(xùn)練中舉一反三，靈活運(yùn)用. 例3.在同一平面內(nèi)，兩條直線都和直線垂直.求證：與平行. 學(xué)生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生從正面出發(fā)，根據(jù)兩條平行線的定義能否直接證明，由于不容易確定兩條直線沒有公共點(diǎn)，進(jìn)而退而求其次，考慮用反證法. 證明：假設(shè)命題的結(jié)論不正確，即“直線與相交”. 不妨設(shè)直線的交點(diǎn)為，的交點(diǎn)為，的交點(diǎn)為， 如右圖所示，則. 這樣，的內(nèi)角和 . 這與定理“三角形的內(nèi)角和等于”相矛盾. 這說明假設(shè)是錯(cuò)誤的. 所以，直線與不相交，即與平行. 設(shè)計(jì)意圖：一是正面很難入手幾何問題可以用反證法證明，同時(shí)這個(gè)問題從假設(shè)出發(fā)推出與定理矛盾，學(xué)生體會(huì)原來矛盾得點(diǎn)很多. 課堂練習(xí)： 求證：是無理數(shù). 求證：在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角大于或等于. 學(xué)生活動(dòng)：找兩名同學(xué)板書演練，其他同學(xué)自己練習(xí). 設(shè)計(jì)意圖：針對(duì)例1和例2進(jìn)行訓(xùn)練. 回顧反思，深化認(rèn)識(shí) 課堂小結(jié)：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你的主要收獲有哪些？ （關(guān)鍵詞：證明方法，數(shù)學(xué)思想，情感體驗(yàn)等．） 證明方法：反證法 一般步驟： （1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立. （2）從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理，得出矛盾. （3）由矛盾假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確. 矛盾情況： 可以與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、 事實(shí)等矛盾. 適用范圍： （1）當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的關(guān)系不夠明顯，直接由條件推的 結(jié)論的線索不夠清晰； （2）如果從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行分類討論，而面 進(jìn)行，只要研究一種或很少的幾種情形； （3）結(jié)論是否定形式的命題； （4）關(guān)于“存在性”和“唯一性”命題及其他直接證明有困的 命題. 數(shù)學(xué)思想：學(xué)會(huì)逆向思維. 情感體驗(yàn)：滲透了運(yùn)用辯證觀點(diǎn)解決問題的意識(shí). 設(shè)計(jì)意圖：給出問題，要求學(xué)生自主小結(jié)，再推出引導(dǎo)性關(guān)鍵詞，使得總結(jié)簡明、到位、拔高． 布置作業(yè) 課本第15頁習(xí)題1-3：（3），（4）題. 設(shè)計(jì)意圖：課堂與課后訓(xùn)練有機(jī)結(jié)合，學(xué)生通過作業(yè)的訓(xùn)練，能用反證法解決一些基本的數(shù)學(xué)問題. 板書設(shè)計(jì) 教后反思 我覺得這節(jié)課的設(shè)計(jì)亮點(diǎn)有：一是通過增加探究問題的訓(xùn)練，學(xué)生能從例1很好的過度到例2的學(xué)習(xí)中去，二是將課堂和課后的訓(xùn)練有機(jī)的結(jié)合，真正讓學(xué)生不再出現(xiàn)“課堂上一聽就懂，課后一做就錯(cuò)”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)怪圈.