2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究(自主閱讀) 第1節(jié) 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究講義 理(含解析)新人教A版.doc
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第1節(jié) 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究 【內(nèi)容要求】 數(shù)學(xué)建?;顒邮菍ΜF(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的過程.主要包括:在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,分析問題、構(gòu)建模型,確定參數(shù)、計(jì)算求解,檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型,最終解決實(shí)際問題.數(shù)學(xué)建?;顒邮腔跀?shù)學(xué)思維運(yùn)用模型解決實(shí)際問題的一類綜合實(shí)踐活動,是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容. 【基本過程】 數(shù)學(xué)建?;顒拥幕具^程如下: 數(shù)學(xué)探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學(xué)問題,開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程.具體表現(xiàn)為:發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題,猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論,提出解決問題的思路和方案,通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論.數(shù)學(xué)探究活動是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實(shí)踐活動,也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容. 【過程解讀】 掌握建?;具^程,會對實(shí)際問題進(jìn)行問題分析,善于合理假設(shè). 問題分析也常稱為模型準(zhǔn)備或問題重述.由于數(shù)學(xué)模型是建立數(shù)學(xué)與實(shí)際現(xiàn)象之間的橋梁,因此,首要的工作是要設(shè)法用數(shù)學(xué)的語言表述實(shí)際現(xiàn)象.所謂問題重述是指把實(shí)際現(xiàn)象盡量地使用貼近數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行重新描述.為此,要充分了解問題的實(shí)際背景,明確建模的目的,盡可能弄清對象的特征,并為此搜集必需的各種信息或數(shù)據(jù).要善于捕捉對象特征中隱含的數(shù)學(xué)因素,并將其一一列出.至此,我們便有了一個很好的開端,而有了這個良好的開端,不僅可以決定建模方向,初步確定用哪一類模型,而且對下面的各個步驟都將產(chǎn)生影響. 模型假設(shè)(即合理假設(shè))是與問題分析緊密銜接的又一個重要步驟.根據(jù)對象的特征和建模目的,在問題分析基礎(chǔ)上對問題進(jìn)行必要的、合理的取舍簡化,并使用精確的語言作出假設(shè),這是建模至關(guān)重要的一步.這是因?yàn)?,一個實(shí)際問題往往是復(fù)雜多變的,如不經(jīng)過合理的簡化假設(shè),將很難于轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型,即便轉(zhuǎn)化成功,也可能是一個復(fù)雜的難于求解的模型從而使建模歸于失敗.當(dāng)然,假設(shè)作得不合理或過分簡單也同樣會因?yàn)榕c實(shí)際相去甚遠(yuǎn)而使建模歸于失敗.一般地,作出假設(shè)時要充分利用與問題相關(guān)的有關(guān)學(xué)科知識,充分發(fā)揮想象力和觀察判斷力,分清問題的主次,抓住主要因素,舍棄次要因素. 【實(shí)際意義】 數(shù)學(xué)建模的實(shí)際意義 1.在一般工程技術(shù)領(lǐng)域,數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地. 在以聲、光、熱、力、電這些物理學(xué)科為基礎(chǔ)的諸如機(jī)械、電機(jī)、土木、水利等工程技術(shù)領(lǐng)域中,數(shù)學(xué)建模的普遍性和重要性不言而喻,雖然這里的基本模型是已有的,但是由于新技術(shù)、新工藝的不斷涌現(xiàn),提出了許多需要用數(shù)學(xué)方法解決的新問題;高速、大型計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展,使得過去即便有了數(shù)學(xué)模型也無法求解的課題(如大型水壩的應(yīng)力計(jì)算,中長期天氣預(yù)報(bào)等)迎刃而解;建立在數(shù)學(xué)模型和計(jì)算機(jī)模擬基礎(chǔ)上的CAD技術(shù),以其快速、經(jīng)濟(jì)、方便等優(yōu)勢,大量地替代了傳統(tǒng)工程設(shè)計(jì)中的現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)、物理模擬等手段. 2.在高新技術(shù)領(lǐng)域,數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具. 無論是發(fā)展通訊、航天、微電子、自動化等高新技術(shù)本身,還是將高新技術(shù)用于傳統(tǒng)工業(yè)去創(chuàng)造新工藝、開發(fā)新產(chǎn)品,計(jì)算機(jī)技術(shù)支持下的建模和模擬都是經(jīng)常使用的有效手段.數(shù)學(xué)建模、數(shù)值計(jì)算和計(jì)算機(jī)圖形等相結(jié)合形成的計(jì)算機(jī)軟件,已經(jīng)被固化于產(chǎn)品中,在許多高新技術(shù)領(lǐng)域起著核心作用,被認(rèn)為是高新技術(shù)的特征之一. 3.數(shù)學(xué)迅速進(jìn)入一些新領(lǐng)域,為數(shù)學(xué)建模開拓了許多新的處女地. 隨著數(shù)學(xué)向諸如經(jīng)濟(jì)、人口、生態(tài)、地質(zhì)等所謂非物理領(lǐng)域的滲透,一些交叉學(xué)科如計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、人口控制論、數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)、數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)等應(yīng)運(yùn)而生.在這些領(lǐng)域里建立不同類型、不同方法、不同深淺程度模型的余地相當(dāng)大,為數(shù)學(xué)建模提供了廣闊的新天地.馬克思說過,一門科學(xué)只有成功運(yùn)用數(shù)學(xué)時,才算達(dá)到了完善的地步.展望21世紀(jì),數(shù)學(xué)必將大踏步地進(jìn)入所有學(xué)科,數(shù)學(xué)建模將迎來蓬勃發(fā)展的新時期. 【課題研究】 課題研究的過程包括選題、開題、做題、結(jié)題四個環(huán)節(jié).學(xué)生需要撰寫開題報(bào)告,教師要組織開展開題交流活動,開題報(bào)告應(yīng)包括選題意義、文獻(xiàn)綜述、解決問題思路、研究計(jì)劃、預(yù)期結(jié)果等.做題是解決問題的過程,包括描述問題、數(shù)學(xué)表達(dá)、建立模型、求解模型、得到結(jié)論、反思完善等.結(jié)果包括撰寫研究報(bào)告和報(bào)告研究結(jié)果,開展結(jié)題答辯.根據(jù)選題的內(nèi)容,報(bào)告可以采用專題作業(yè)、測量報(bào)告、算法程序、制作的實(shí)物、研究報(bào)告或小論文等多種形式. 【課題引例】 測量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度 [目的] 運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際測量高度的問題,體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模活動的完整過程.組織學(xué)生通過分組、合作等形式,完成選題、開題、做題、結(jié)題四個環(huán)節(jié). [情境] 給出下面的測量任務(wù); (1)測量本校的一座教學(xué)樓的高度; (2)測量本校的旗桿的高度; (3)測量學(xué)校院墻外的一座不可及,但在學(xué)校操場上可以看到見的物體的高度. 可以每2~3個學(xué)生組成一個測量小組,以小組為單位完成;各人填寫測量課題報(bào)告表,一周后上交. 測量課題報(bào)告表 項(xiàng)目名稱:______________ 完成時間:______________ 1.成員與分工 姓名 分工 2.測量對象 例如,某小組選擇的測量對象是:旗桿、教學(xué)樓、校外的大廈. 3.測量方法(請說明測量的原理、測量工具、創(chuàng)新點(diǎn)等) 4.測量數(shù)據(jù)、計(jì)算過程和結(jié)果(可以另外附圖或附頁) 5.研究結(jié)果(包括誤差分析) 6.簡述工作感受 [要求] (1)成立項(xiàng)目小組,確定工作目標(biāo),準(zhǔn)備測量工具. (2)小組成員查閱有關(guān)資料,進(jìn)行討論交流,尋求測量效率高的方法,設(shè)計(jì)測量方案(最好設(shè)計(jì)兩套測量方案). (3)分工合作,明確責(zé)任.例如,測量、記錄數(shù)據(jù)、計(jì)算求解、撰寫報(bào)告的分工等. (4)撰寫報(bào)告,討論交流.可以用照片、模型、PPT等形式展現(xiàn)獲得的成果. 根據(jù)上述要求,每個小組要完成以下工作. (1)選題 本案例活動的選題步驟略去. (2)開題 可以在課堂上組織開題交流,讓每一個項(xiàng)目小組陳述初步測量方案,教師和其他同學(xué)可以提出質(zhì)疑.在討論的基礎(chǔ)上,項(xiàng)目小組最終形成各自的測量方案. (3)做題 依據(jù)小組的測量方案實(shí)施測量.盡量安排各個小組在同一時間進(jìn)行測量,這樣有利于教師的現(xiàn)場觀察和管理.要有分工、合作、責(zé)任落實(shí)到個人. (4)結(jié)題 在每一位學(xué)生都完成“測量報(bào)告”后,安排一次交流講評活動.遴選的交流報(bào)告最好有鮮明的特點(diǎn),如測量結(jié)果準(zhǔn)確,過程完整清晰,方法有創(chuàng)意,誤差處理得當(dāng),報(bào)告書寫規(guī)范等;或者測量的結(jié)果出現(xiàn)明顯誤差,使用的方法不當(dāng). [分析] 測量高度是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題,這樣的問題有助于培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題、動手實(shí)踐、誤差分析等方面的能力.測量模型可以用平面幾何的方法,例如,比例線段、相似形等;也可以用三角的方法,甚至可以用物理的方法,例如,考慮自由落體的時間;等等. [拓展] 歡迎提出新的問題,積累數(shù)學(xué)建模資源.例如: 1.本市的電視塔的高度是多少米? 2.一座高度為H m的電視塔,信號傳播半徑是多少?信號覆蓋面積有多大? 3.找一張本市的地圖,看一看本市的地域面積有多少平方千米?電視塔的位置在地圖上的什么地方?按照計(jì)算得到的數(shù)據(jù),這座電視塔發(fā)出的電視信號是否能覆蓋本市? 4.本市(外地)到省會的距離有多少千米?要用一座電視塔把信號從省會直接發(fā)送到本市,這座電視臺的高度至少要多少米? 5.如果采用多個中繼站的方式,用100 m高的塔接力傳輸電視信號,從省會到本地至少要建多少座100 m高的中繼傳送塔? 6.考慮地球大氣層和電離層對電磁波的反射作用,重新考慮問題2,4,5. 7.如果一座電視塔(例如300 m高)不能覆蓋本市,請?jiān)O(shè)計(jì)一個多塔覆蓋方案. 8.至少發(fā)射幾顆地球定點(diǎn)的通訊衛(wèi)星,可以使其信號覆蓋地球? 9.如果我國要發(fā)射一顆氣象監(jiān)測衛(wèi)星,監(jiān)測我國的氣象情況,請你設(shè)計(jì)一個合理的衛(wèi)星定點(diǎn)位置或衛(wèi)星軌道. 10.在網(wǎng)上收集資料,了解有關(guān)“北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)”的內(nèi)容,在班里做一個相關(guān)內(nèi)容的綜述,并發(fā)表對這件事的看法.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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