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1、
作業(yè)7：××函數(shù)性質(zhì)綜合
參考時(shí)量：××××60分鐘 完成時(shí)間： 月 日
一、選擇題
1、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且是奇函?shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ C ）
A．是偶函數(shù) B． 是奇函數(shù)
C.． 是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)
2、設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，又f(－3)＝0，則xf(x)<0的解集是(D )
A．{x|－3<x<0或x>3} B．{x|x&
2、lt;－3或0<x<3}
C．{x|x<－3或x>3} D．{x|－3<x<0或0<x<3}
解析：由xf(x)<0得或，而f(－3)＝0，f(3)＝0，
即或，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)， 所以函數(shù)在(－∞，0)內(nèi)也是增函數(shù)， 故得－3<x<0或0<x<3.
答案：D
3、已知是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“為上的增函數(shù)”是“為上的減函數(shù)”的（ D ）
（A）既不充分也不必要的條件 （B）充分而不必要的條件
3、（C）必要而不充分的條件 （D）充要條件
4、若偶函數(shù)y＝f(x)為R上的周期為6的周期函數(shù)，且滿足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，則f(－6)等于 ( B )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解：∵y＝f(x)為偶函數(shù)，且f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)
∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0
∴a＝1.f(x)＝(x＋1)(x－1) (－3≤x≤3) f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1.
4、
5、函數(shù)在是增函數(shù),則的取值范圍是（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
6、設(shè)函數(shù)f(x)滿足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且當(dāng)時(shí)，f(x)=x3.又函數(shù)g(x)=|xcos|，則函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
【答案】B
【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，f(x)=x3. 所以當(dāng)，f(x)=f(2x)=(2x)3，
當(dāng)時(shí)，g(x)=xcos；當(dāng)時(shí)，g(x)= xcos，注
5、意到函數(shù)f(x)、 g(x)都是偶函數(shù)，且f(0)= g(0)， f(1)= g(1)，，作出函數(shù)f(x)、 g(x)的大致圖象，函數(shù)h(x)除了0、1這兩個(gè)零點(diǎn)之外，分別在區(qū)間上各有一個(gè)零點(diǎn)，共有6個(gè)零點(diǎn)，故選B
二、填空題
7、函數(shù)的最小值為 -14
8、已知是定義在上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)（互不相同），則實(shí)數(shù)的取值范圍是0，120 .
9、已知函數(shù)f(x)＝，則滿足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的范圍是________．
解析：f(x)＝的圖象如圖所示
不等式f(1－x2)>f(2x)等價(jià)于或
6、解得－1<x<－1
答案：(－1，－1)
10、設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知當(dāng)x∈[0,1]時(shí)f(x)＝1－x，則
①2是函數(shù)f(x)的周期；
②函數(shù)f(x)在(1,2)上遞減，在(2,3)上遞增；
③函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0；
④當(dāng)x∈(3,4)時(shí)，f(x)＝x－3.
其中所有正確命題的序號(hào)是________．
解析：由已知條件：f(x＋2)＝f(x) 則y＝f(x)是以2為周期的周期函數(shù)?、僬_
當(dāng)－1≤x≤0時(shí)0≤－x≤1 f(x)＝f(－x)＝1＋x，函數(shù)y＝f(x)的圖象
7、如圖所示：
當(dāng)3<x<4時(shí)，－1<x－4<0
f(x)＝f(x－4)＝x－3，因此②④正確．③不正確．
答案：①②④
三、解答題
11、已知函數(shù)y＝f(x)在定義域[－1,1]上是奇函數(shù)，又是減函數(shù)．
(1)求證：對(duì)任意x1、x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；
(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：(1)證明：若x1＋x2＝0，顯然不等式成立．
若x1＋x2＜0，則－1≤x1＜－x2≤1，
∵f(x)在[－1,1]上是減函數(shù)且為奇函數(shù)， ∴f(x1)＞f(－x2)＝－f(
8、x2)，
∴f(x1)＋f(x2)＞0. ∴[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)<0成立．
若x1＋x2＞0，則1≥x1＞－x2≥－1，
同理可證f(x1)＋f(x2)＜0， ∴[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)≤0成立．
(2)∵f(1－a)＋f(1－a2)＜0
?f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，
∴由f(x)在定義域[－1,1]上是減函數(shù)得
即
解得0≤a＜1.故所求a的取值范圍是[0,1)．
12、已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)
(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(xiàn)(x)＝
9、
求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]恒成立，試求b的取值范圍．
解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1. 解得a＝1，b＝2，
∴f(x)＝(x＋1)2，∴F(x)＝
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)f(x)＝x2＋bx，原命題等價(jià)于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]恒成立即b≤－x且b≥－－x在(0,1]恒成立，－x的最小值為0，
－－x的最大值為－2.
所以－2≤b≤0.
13、已知真命題:“函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形”的充要條件為“函數(shù) 是奇函數(shù)”.
(1)將
10、函數(shù)的圖像向左平移1個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位,求此時(shí)圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式,并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)圖像對(duì)稱中心的坐標(biāo);
(2)求函數(shù) 圖像對(duì)稱中心的坐標(biāo);
(3)已知命題:“函數(shù) 的圖像關(guān)于某直線成軸對(duì)稱圖像”的充要條件為“存在實(shí)數(shù)a和b,使得函數(shù) 是偶函數(shù)”.判斷該命題的真假.如果是真命題,請(qǐng)給予證明;如果是假命題,請(qǐng)說明理由,并類比題設(shè)的真命題對(duì)它進(jìn)行修改,使之成為真命題(不必證明).
【答案】(1)平移后圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為,
整理得,
由于函數(shù)是奇函數(shù),
由題設(shè)真命題知,函數(shù)圖像對(duì)稱中心的坐標(biāo)是.
(2)設(shè)的對(duì)稱中心為,由題設(shè)知函數(shù)是奇函數(shù).
設(shè)則,即.
由不等
11、式的解集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,得.
此時(shí).
任取,由,得,
所以函數(shù)圖像對(duì)稱中心的坐標(biāo)是.
(3)此命題是假命題.
舉反例說明:函數(shù)的圖像關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖像,但是對(duì)任意實(shí)數(shù)和,函數(shù),即總不是偶函數(shù).
修改后的真命題:
“函數(shù)的圖像關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖像”的充要條件是“函數(shù)是偶函數(shù)”.
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