2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 第2講 概率、隨機變量及其分布列（理）學(xué)案.docx

第2講概率、隨機變量及其分布列考向預(yù)測1計數(shù)原理、古典概型、幾何概型的考查多以選擇或填空的形式命題，中低檔難度；2概率模型多考查獨立重復(fù)試驗、相互獨立事件、互斥事件及對立事件等；對離散型隨機變量的分布列及期望的考查是重點中的“熱點”1概率模型公式及相關(guān)結(jié)論(1)古典概型的概率公式P(A)(2)幾何概型的概率公式P(A)(3)條件概率在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率：P(B|A)(4)相互獨立事件同時發(fā)生的概率：若A，B相互獨立，則P(AB)P(A)P(B)(5)若事件A，B互斥，則P(AB)P(A)P(B)，P()1P(A)2獨立重復(fù)試驗與二項分布如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)Cpk(1p)nk，k0，1，2，n用X表示事件A在n次獨立重復(fù)試驗中發(fā)生的次數(shù)，則X服從二項分布，即XB(n，p)且P(Xk)Cpk(1p)nk3超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(Xk)，k0，1，2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，此時稱隨機變量X服從超幾何分布超幾何分布的模型是不放回抽樣，超幾何分布中的參數(shù)是M，N，n4離散型隨機變量的均值、方差(1)離散型隨機變量的分布列為：x1x2x3xinPp1p2p3pipn離散型隨機變量的分布列具有兩個性質(zhì)：pi0；p1p2pipn1(i1，2，3，n)(2)E()x1p1x2p2xipixnpn為隨機變量的數(shù)學(xué)期望或均值D()(x1E()2p1(x2E()2p2(xiE()2pi(xnE()2pn叫做隨機變量的方差(3)數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)E(ab)aE()b，D(ab)a2D()XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p)X服從兩點分布，則E(X)p，D(X)p(1p)熱點一隨機變量的分布列、均值與方差【例1】(2019黃山一模)2015年11月27日至28日，中共中央扶貧開發(fā)工作會議在北京召開，為確保到2020年所有貧困地區(qū)和貧困人口一道邁入全面小康社會黃山市深入學(xué)習(xí)貫徹習(xí)近平總書記關(guān)于扶貧開發(fā)工作的重要論述及系列指示精神，認(rèn)真落實省委、省政府一系列決策部署，精準(zhǔn)扶貧、精準(zhǔn)施策，各項政策措施落到實處，脫貧攻堅各項工作順利推進，成效明顯貧困戶楊老漢就是扶貧政策受益人之一據(jù)了解，為了幫助楊老漢早日脫貧，負(fù)責(zé)楊老漢家的扶貧隊長、扶貧副隊長和幫扶責(zé)任人經(jīng)常到他家走訪，其中扶貧隊長每天到楊老漢家走訪的概率為14，扶貧副隊長每天到楊老漢家走訪的概率為13，幫扶責(zé)任人每天到楊老漢家走訪的概率為12（）求幫扶責(zé)任人連續(xù)四天到楊老漢家走訪的概率；（）設(shè)扶貧隊長、副隊長、幫扶責(zé)任人三人某天到楊老漢家走訪的人數(shù)為X，求X的分布列；（）楊老漢對三位幫扶人員非常滿意，他對別人說:“他家平均每天至少有1人走訪”請問：他說的是真的嗎？解()設(shè)幫扶責(zé)任人連續(xù)四天到楊老漢家走訪的事件為A，則P(A)=12121212=116，幫扶責(zé)任人連續(xù)四天到楊老漢家走訪的概率為116（）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3P(X=0)=342312=14；P(X=1)=142312+341312+342312=1124；P(X=2)=141312+142312+341312=14；P(X=3)=141312=124隨機變量X的分布列為：X0123P14112414124（）E(X)=1124+12+18=1312，所以E(X)>1，所以楊老漢說的是真的探究提高1求隨機變量的均值和方差的關(guān)鍵是正確求出隨機變量的分布列2對于實際問題中的隨機變量X，如果能夠斷定它服從二項分布B(n，p)，則其概率、期望與方差可直接利用公式P(Xk)Cpk(1p)nk(k0，1，2，n)，E(X)np，D(X)np(1p)求得【訓(xùn)練1】(2017西安二模)中國鐵路客戶服務(wù)中心為方便旅客購買車票，推出三種購票方式：窗口購票、電話購票、網(wǎng)上購票，旅客任選一種購票方式若甲、乙、丙3名旅客都準(zhǔn)備購買火車票，并且這3名旅客選擇購票的方式是相互獨立的(1)求這三名旅客中至少有兩人選擇網(wǎng)上購票的概率；(2)記這三名旅客購票方式的種數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望解(1)記“三名旅客中恰有兩人選擇網(wǎng)上購票”為事件A，“三名旅客都選擇網(wǎng)上購票”為事件B，且A，B互斥則P(A)C，P(B)因此，三名旅客中至少有兩人選擇網(wǎng)上購票的概率PP(A)P(B)(2)由題意，的所有可能取值為1，2，3，則P(1)C；P(2)C；P(3)所以隨機變量的分布列為：123P故的期望E()123熱點二概率與統(tǒng)計的綜合問題【例2】(2018德州期末)在創(chuàng)新“全國文明衛(wèi)生城”過程中，某市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況，進行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查（一位市民只能參加一次），通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計結(jié)果如表所示：（1）由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分ZN(，198)，近似為這100人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），利用該正態(tài)分布，求P(382<Z802)；（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費；每次獲贈的隨機話費和對應(yīng)的概率為：現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記X（單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望附：參考數(shù)據(jù)與公式：19814，若XN(，2)，則P(-<X+)=06826，P(-2<X+2)=09544，P(-3<X+3)=09974解（1）由題意得：，=662，=19814，P(662-14<Z662+14)=P(522<Z802)=06826，P(662-214<Z662+214)=P(382<Z942)=09544，P(382<Z522)=12P(382<Z942)-P(522<Z802)=01359綜上，P(382<Z802)=P(382<Z522)+P(522<Z802)=01359+06826=08185（2）由題意知，P(Z<)=P(Z)=12，獲贈話費X的可能取值為20，40，50，70，100，P(X=20)=1234=38；P(X=40)=123434=932；P(X=50)=1214=18；P(X=70)=123414+121434=316，P(X=100)=121414=132；X的分布列為：EX=2038+40932+5018+70316+100132=1654探究提高本題考查統(tǒng)計與概率的綜合應(yīng)用，意在考查考生的識圖能力和數(shù)據(jù)處理能力此類問題多涉及相互獨立事件、互斥事件的概率，在求解時，要明確基本事件的構(gòu)成【訓(xùn)練2】(2017全國卷改編)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(，2)(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(3，3)之外的零件數(shù)，求P(X1)及X的數(shù)學(xué)期望；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(3，3)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：經(jīng)計算得xi997，0212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i1，2，16用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(精確到001)附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(，2)，則P(3<Z<3)0997 4，0997 4160959 2，009解(1)由題可知尺寸落在(3，3)之內(nèi)的概率為0997 4，落在 (3，3)之外的概率為0002 6由題可知XB(16，0002 6)，P(X1)1P(X0)10997 4160040 8E(X)160002 60041 6(2)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0002 6，一天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0040 8，發(fā)生的概率很小，因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的由x997，s0212，得的估計值為997，的估計值為0212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在(3，3)之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)922，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(16997922)1002因此的估計值為10021(2018全國I卷)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX;（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？1(2017邯鄲質(zhì)檢)2017年4月1日，國家在河北省白洋淀以北的雄縣、容城、安新3縣設(shè)立雄安新區(qū)，這是繼深圳經(jīng)濟特區(qū)和上海浦東新區(qū)之后又一具有全國意義的新區(qū)，是千年大計、國家大事。多家央企為了配合國家戰(zhàn)略支持雄安新區(qū)建設(shè)，紛紛申請在新區(qū)建立分公司若規(guī)定每家央企只能在雄縣、容城、安新3個片區(qū)中的一個片區(qū)設(shè)立分公司，且申請其中任一個片區(qū)設(shè)立分公司都是等可能的，每家央企選擇哪個片區(qū)相互之間互不影響且必須在其中一個片區(qū)建立分公司向雄安新區(qū)申請建立分公司的任意4家央企中，(1)求恰有2家央企申請在“雄縣”片區(qū)建立分公司的概率；(2)用X表示這4家央企中在“雄縣”片區(qū)建立分公司的個數(shù)，用Y表示在“容城”或“安新”片區(qū)建立分公司的個數(shù)，記|XY|，求的分布列2(2017北京卷)為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“”表示未服藥者(1)從服藥的50名患者中隨機選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；(2)從圖中A，B，C，D四人中隨機選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于17的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E()；(3)試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小(只需寫出結(jié)論)1(2017成都二診)甲乙兩名同學(xué)參加定點投籃測試，已知兩人投中的概率分別是和，假設(shè)兩人投籃結(jié)果相互沒有影響，每人各次投球是否投中也沒有影響(1)若每人投球3次(必須投完)，投中2次或2次以上，記為達標(biāo)，求甲達標(biāo)的概率；(2)若每人有4次投球機會，如果連續(xù)兩次投中，則記為達標(biāo)達標(biāo)或能斷定不達標(biāo)，則終止投籃記乙本次測試投球的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)2(2017新鄉(xiāng)三模)為推行“新課堂”教學(xué)法，某化學(xué)老師分別用傳統(tǒng)教學(xué)和“新課堂”兩種不同的教學(xué)方式，在甲、乙兩個平行班級進行教學(xué)實驗為了比較教學(xué)效果，期中考試后，分別從兩個班級中各隨機抽取20名學(xué)生的成績進行統(tǒng)計，結(jié)果如下表：記成績不低于70分者為“成績優(yōu)良”分?jǐn)?shù)50，60)60，70)70，80)80，90)90，100甲班頻數(shù)56441乙班頻數(shù)13655(1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面22列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0025的前提下認(rèn)為“成績優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”？甲班乙班總計成績優(yōu)良成績不優(yōu)良總計附：K2，其中nabcd臨界值表：P(K2k0)01000500250010k02706384150246635(2)現(xiàn)從上述40人中，學(xué)校按成績是否優(yōu)良采用分層抽樣的方法抽取8人進行考核在這8人中，記成績不優(yōu)良的乙班人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望參考答案1【解題思路】(1)利用獨立重復(fù)實驗成功次數(shù)對應(yīng)的概率，求得f(p)=C202p2(1-p)18，之后對其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號，確定其單調(diào)性，從而得到其最大值點，這里要注意0<p<1的條件；(2)先根據(jù)第一問的條件，確定出p=01，在解（i）的時候，先求件數(shù)對應(yīng)的期望，之后應(yīng)用變量之間的關(guān)系，求得賠償費用的期望；在解（ii）的時候，就通過比較兩個期望的大小，得到結(jié)果【答案】（1）20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)=C202p2(1-p)18因此f(p)=C2022p(1-p)18-18p2(1-p)17=2C202p(1-p)17(1-10p)令f(p)=0，得p=01當(dāng)p(0，01)時，f(p)>0；當(dāng)p(01，1)時，f(p)<0所以f(p)的最大值點為p0=01（2）由（1）知，p=01（i）令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知YB(180，01)，X=202+25Y，即X=40+25Y所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490（ii）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元由于EX>400，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗1【解題思路】(1)本題是獨立重復(fù)試驗，二項分布，可得P(X2)；(2)依題意計算的可能取值，并計算其概率，列出分布列【答案】解(1)依題意，每家央企在“雄縣”片區(qū)建立分公司的概率為，去另外兩個片區(qū)建立分公司的概率為，這4家央企恰有2家央企在“雄縣”片區(qū)建立分公司的概率為PC(2)由獨立重復(fù)試驗概率，則P(Xk)C(k0，1，2，3，4)，隨機變量的所有可能取值為0，2，4P(0)P(X2)；P(2)P(X1)P(X3)；P(4)P(X0)P(X4)所以隨機變量的分布列為：024P2【解題思路】(1)從圖中找出服藥的且指標(biāo)y的值小于60的人數(shù)；(2)此問是超幾何分布，依題意計算的可能取值，并計算其概率，列出分布列；(3)根據(jù)圖示中數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性即可判斷方差的大小【答案】解(1)由題圖知，在服藥的50名患者中，指標(biāo)y的值小于60的有15人，所以從服藥的50名患者中隨機選出一人，此人指標(biāo)y的值小于60的概率為03(2)由題圖知，A，B，C，D四人中，指標(biāo)x的值大于17的有2人：A和C所以的所有可能取值為0，1，2P(0)，P(1)，P(2)所以的分布列為：012PE()0121(3)由圖知100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差比未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大1【解題思路】(1) 投中2次或2次以上，記為達標(biāo)，就是投中2次或投中3次；(2)應(yīng)注意連中2次終止，也可能前兩次至多中一次，第三次不中，這時可以肯定不能達標(biāo)，也終止，所以應(yīng)依題意列舉所有可能情況，再確定X的可能取值，并計算其概率，列出分布列【答案】解(1)記“甲達標(biāo)”為事件A，則P(A)C(2)X的所有可能的值為2，3，4P(X2)，P(X3)，P(X4)所以X的分布列為：X234PE(X)2342【解題思路】(1) 完成22列聯(lián)表，并起算K2；(2)應(yīng)注意優(yōu)良中的人怎么抽和成績不優(yōu)良的乙班人數(shù)無關(guān)，所以只需考慮不優(yōu)良的11人中抽取3人的情況，此時此3人可能分屬甲乙兩班，屬于超幾何分布，確定X的可能取值，并計算其概率，列出分布列【答案】解(1)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得22列聯(lián)表：甲班乙班總計成績優(yōu)良91625成績不優(yōu)良11415總計202040根據(jù)22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得K2的觀測值為k5227>5024，能在犯錯概率不超過0025的前提下認(rèn)為“成績優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”(2)由表可知在8人中成績不優(yōu)良的人數(shù)為83，則X的可能取值為0，1，2，3P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(X3)X的分布列為：X0123PE(X)0123