2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題五 第2講 概率、隨機(jī)變量及其分布列（理）學(xué)案.docx

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第2講概率、隨機(jī)變量及其分布列 考向預(yù)測(cè) 1．計(jì)數(shù)原理、古典概型、幾何概型的考查多以選擇或填空的形式命題，中低檔難度； 2．概率模型多考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、相互獨(dú)立事件、互斥事件及對(duì)立事件等；對(duì)離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的考查是重點(diǎn)中的“熱點(diǎn)”． 1．概率模型公式及相關(guān)結(jié)論 (1)古典概型的概率公式． P(A)＝＝． (2)幾何概型的概率公式． P(A)＝． (3)條件概率． 在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率：P(B|A)＝． (4)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：若A，B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)P(B)． (5)若事件A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P()＝1－P(A)． 2．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n．用X表示事件A在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)且P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k． 3．超幾何分布 在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分布．超幾何分布的模型是不放回抽樣，超幾何分布中的參數(shù)是M，N，n． 4．離散型隨機(jī)變量的均值、方差 (1)離散型隨機(jī)變量ξ的分布列為： ξ x1 x2 x3 … xi … n P p1 p2 p3 … pi … pn 離散型隨機(jī)變量ξ的分布列具有兩個(gè)性質(zhì)：①pi≥0； ②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1，2，3，…，n)． (2)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望或均值． D(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋…＋(xi－E(ξ))2pi＋…＋(xn－E(ξ))2pn叫做隨機(jī)變量ξ的方差． (3)數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)． ①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)． ②X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． ③X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． 熱點(diǎn)一　隨機(jī)變量的分布列、均值與方差 【例1】(2019黃山一模)2015年11月27日至28日，中共中央扶貧開(kāi)發(fā)工作會(huì)議在北京召開(kāi)，為確保到2020年所有貧困地區(qū)和貧困人口一道邁入全面小康社會(huì)．黃山市深入學(xué)習(xí)貫徹習(xí)近平總書(shū)記關(guān)于扶貧開(kāi)發(fā)工作的重要論述及系列指示精神，認(rèn)真落實(shí)省委、省政府一系列決策部署，精準(zhǔn)扶貧、精準(zhǔn)施策，各項(xiàng)政策措施落到實(shí)處，脫貧攻堅(jiān)各項(xiàng)工作順利推進(jìn)，成效明顯．貧困戶楊老漢就是扶貧政策受益人之一．據(jù)了解，為了幫助楊老漢早日脫貧，負(fù)責(zé)楊老漢家的扶貧隊(duì)長(zhǎng)、扶貧副隊(duì)長(zhǎng)和幫扶責(zé)任人經(jīng)常到他家走訪，其中扶貧隊(duì)長(zhǎng)每天到楊老漢家走訪的概率為14，扶貧副隊(duì)長(zhǎng)每天到楊老漢家走訪的概率為13，幫扶責(zé)任人每天到楊老漢家走訪的概率為12． （Ⅰ）求幫扶責(zé)任人連續(xù)四天到楊老漢家走訪的概率； （Ⅱ）設(shè)扶貧隊(duì)長(zhǎng)、副隊(duì)長(zhǎng)、幫扶責(zé)任人三人某天到楊老漢家走訪的人數(shù)為X，求X的分布列； （Ⅲ）楊老漢對(duì)三位幫扶人員非常滿意，他對(duì)別人說(shuō):“他家平均每天至少有1人走訪”．請(qǐng)問(wèn)：他說(shuō)的是真的嗎？ 解(Ⅰ)設(shè)幫扶責(zé)任人連續(xù)四天到楊老漢家走訪的事件為A，則P(A)=12121212=116， ∴幫扶責(zé)任人連續(xù)四天到楊老漢家走訪的概率為116． （Ⅱ）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3． P(X=0)=342312=14； P(X=1)=142312+341312+342312=1124； P(X=2)=141312+142312+341312=14； P(X=3)=141312=124． 隨機(jī)變量X的分布列為： X 0 1 2 3 P 14 1124 14 124 （Ⅲ）E(X)=1124+12+18=1312，所以E(X)>1，所以楊老漢說(shuō)的是真的． 探究提高　1．求隨機(jī)變量的均值和方差的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的分布列． 2．對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)變量X，如果能夠斷定它服從二項(xiàng)分布B(n，p)，則其概率、期望與方差可直接利用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求得． 【訓(xùn)練1】(2017西安二模)中國(guó)鐵路客戶服務(wù)中心為方便旅客購(gòu)買(mǎi)車(chē)票，推出三種購(gòu)票方式：窗口購(gòu)票、電話購(gòu)票、網(wǎng)上購(gòu)票，旅客任選一種購(gòu)票方式．若甲、乙、丙3名旅客都準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)火車(chē)票，并且這3名旅客選擇購(gòu)票的方式是相互獨(dú)立的． (1)求這三名旅客中至少有兩人選擇網(wǎng)上購(gòu)票的概率； (2)記這三名旅客購(gòu)票方式的種數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解　(1)記“三名旅客中恰有兩人選擇網(wǎng)上購(gòu)票”為事件A，“三名旅客都選擇網(wǎng)上購(gòu)票”為事件B，且A，B互斥． 則P(A)＝C＝，P(B)＝＝． 因此，三名旅客中至少有兩人選擇網(wǎng)上購(gòu)票的概率P＝P(A)＋P(B)＝． (2)由題意，ξ的所有可能取值為1，2，3， 則P(ξ＝1)＝C＝； P(ξ＝2)＝C＝； P(ξ＝3)＝＝． 所以隨機(jī)變量ξ的分布列為： ξ 1 2 3 P 故ξ的期望E(ξ)＝1＋2＋3＝． 熱點(diǎn)二　概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題 【例2】(2018德州期末)在創(chuàng)新“全國(guó)文明衛(wèi)生城”過(guò)程中，某市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對(duì)創(chuàng)城工作的了解情況，進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識(shí)問(wèn)卷調(diào)查（一位市民只能參加一次），通過(guò)隨機(jī)抽樣，得到參加問(wèn)卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示： （1）由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問(wèn)卷調(diào)查的得分Z～N(μ，198)，μ近似為這100人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），利用該正態(tài)分布，求P(38．20；當(dāng)p∈(0．1，1)時(shí)，f(p)<0． 所以f(p)的最大值點(diǎn)為p0=0．1． （2）由（1）知，p=0．1． （i）令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180，0．1)，X=202+25Y， 即X=40+25Y． 所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490． （ii）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元． 由于EX>400，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)． 1．【解題思路】(1)本題是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，二項(xiàng)分布，可得P(X＝2)；(2)依題意計(jì)算ξ的可能取值， 并計(jì)算其概率，列出分布列． 【答案】解　(1)依題意，每家央企在“雄縣”片區(qū)建立分公司的概率為，去另外兩個(gè)片區(qū)建立分公司的 概率為，這4家央企恰有2家央企在“雄縣”片區(qū)建立分公司的概率為P＝C＝． (2)由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率， 則P(X＝k)＝C(k＝0，1，2，3，4)， 隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0，2，4． P(ξ＝0)＝P(X＝2)＝；P(ξ＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝； P(ξ＝4)＝P(X＝0)＋P(X＝4)＝． 所以隨機(jī)變量ξ的分布列為： ξ 0 2 4 P 2．【解題思路】(1)從圖中找出服藥的且指標(biāo)y的值小于60的人數(shù)；(2)此問(wèn)是超幾何分布，依題意計(jì)算ξ的可能取值，并計(jì)算其概率，列出分布列；(3)根據(jù)圖示中數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性即可判斷方差的大?。? 【答案】解　(1)由題圖知，在服藥的50名患者中，指標(biāo)y的值小于60的有15人， 所以從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，此人指標(biāo)y的值小于60的概率為＝0．3． (2)由題圖知，A，B，C，D四人中，指標(biāo)x的值大于1．7的有2人：A和C． 所以ξ的所有可能取值為0，1，2． P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝． 所以ξ的分布列為： ξ 0 1 2 P E(ξ)＝0＋1＋2＝1． (3)由圖知100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差比未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大． 1．【解題思路】(1) 投中2次或2次以上，記為達(dá)標(biāo)，就是投中2次或投中3次；(2)應(yīng)注意連中2次終止， 也可能前兩次至多中一次，第三次不中，這時(shí)可以肯定不能達(dá)標(biāo)，也終止，所以應(yīng)依題意列舉所有可能情況，再確定X的可能取值，并計(jì)算其概率，列出分布列． 【答案】解　(1)記“甲達(dá)標(biāo)”為事件A，則P(A)＝C＋＝． (2)X的所有可能的值為2，3，4． P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＋＋＋＝， P(X＝4)＝＋＝． 所以X的分布列為： X 2 3 4 P ∴E(X)＝2＋3＋4＝． 2．【解題思路】(1) 完成22列聯(lián)表，并起算K2；(2)應(yīng)注意優(yōu)良中的人怎么抽和成績(jī)不優(yōu)良的乙班人數(shù)無(wú)關(guān)，所以只需考慮不優(yōu)良的11人中抽取3人的情況，此時(shí)此3人可能分屬甲乙兩班，屬于超幾何分布，確定X的可能取值，并計(jì)算其概率，列出分布列． 【答案】解　(1)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得22列聯(lián)表： 甲班 乙班 總計(jì) 成績(jī)優(yōu)良 9 16 25 成績(jī)不優(yōu)良 11 4 15 總計(jì) 20 20 40 根據(jù)22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得K2的觀測(cè)值為k＝≈5．227>5．024， ∴能在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0．025的前提下認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”． (2)由表可知在8人中成績(jī)不優(yōu)良的人數(shù)為8＝3，則X的可能取值為0，1，2，3． P(X＝0)＝＝； P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝． ∴X的分布列為： X 0 1 2 3 P ∴E(X)＝0＋1＋2＋3＝．