2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個(gè)重要的不等式章末檢測試卷 北師大版選修4-5.docx

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第二章 幾個(gè)重要的不等式 章末檢測試卷(二) (時(shí)間：90分鐘　滿分：120分) 一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分) 1．已知m2＋n2＝2，t2＋s2＝8，則|mt＋ns|的最大值為(　　) A．2B．4C．8D．16 答案　B 解析　∵(m2＋n2)(t2＋s2)≥(mt＋ns)2， ∴(mt＋ns)2≤28＝16，∴|mt＋ns|≤4. 當(dāng)且僅當(dāng)ms＝nt時(shí)，等號(hào)成立． 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式(　　) A．1＋＜2－ B．1＋＋＜2－ C．1＋＜2－ D．1＋＋＜2－ 答案　A 解析　第一步驗(yàn)證n＝2時(shí)不等式成立，即1＋＜2－. 3．已知a，b，c為正數(shù)，則(a＋b＋c)的最小值為(　　) A．1B.C．3D．4 答案　D 解析　(a＋b＋c)＝[()2＋()2] ≥2＝22＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)a＋b＝c時(shí)取等號(hào)． 4．設(shè)a，b，c為正數(shù)，a＋b＋4c＝1，則＋＋2的最大值是(　　) A.B.C．2D. 答案　B 解析　1＝a＋b＋4c＝()2＋()2＋(2)2 ＝[()2＋()2＋(2)2](12＋12＋12)≥(＋＋2)2， ∴(＋＋2)2≤3，即＋＋2≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝4c時(shí)等號(hào)成立． 5．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an＋an－1(n∈N＋)，用數(shù)學(xué)歸納法證明a4n能被4整除，假設(shè)a4k能被4整除，然后應(yīng)該證明(　　) A．a(chǎn)4k＋1能被4整除 B．a(chǎn)4k＋2能被4整除 C．a(chǎn)4k＋3能被4整除 D．a(chǎn)4k＋4能被4整除 答案　D 解析　假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，即a4k能被4整除，然后應(yīng)證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，即a4(k＋1)＝a4k＋4能被4整除． 6．設(shè)a，b，c均為實(shí)數(shù)，則的最大值為(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　由(a2＋2b2＋3c2)≥2， 即(a2＋2b2＋3c2)≥(a＋b＋c)2， ∴≤.∴≤. 7．用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13(2n－1)(n∈N＋)”時(shí)，從“n＝k到n＝k＋1”時(shí)，左邊應(yīng)增加的式子是(　　) A．2k＋1B．2k＋3C．2(2k＋1) D．2(2k＋3) 答案　C 解析　當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)2(2k＋1)， ∴2(2k＋1)是從n＝k到n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)增加的式子． 8．若x，y，z是非負(fù)實(shí)數(shù)，且9x2＋12y2＋5z2＝9，則函數(shù)u＝3x＋6y＋5z的最大值為(　　) A．9B．10C．14D．15 答案　A 解析　u2＝(3x＋6y＋5z)2＝[1(3x)＋(2y)＋(z)]2 ≤[12＋()2＋()2](9x2＋12y2＋5z2)＝99＝81. ∴u≤9.當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)，取等號(hào)． 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 9．用數(shù)學(xué)歸納法證明cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α＝(sinα≠0，n∈N＋)，在驗(yàn)證當(dāng)n＝1時(shí)，等式右邊的式子是________． 答案　cosα 解析　當(dāng)n＝1時(shí)，右邊＝＝＝cosα. 10．仔細(xì)觀察下列不等式： >， >， >， >， 則第n個(gè)不等式為______________________________． 答案　…>(n∈N＋) 11．觀察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2，1＋＋＋…＋>，…，由此猜測第n個(gè)不等式為____________________________． 答案　1＋＋＋…＋>(n∈N＋) 解析　1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1,31＝25－1，歸納第n個(gè)式子為1＋＋＋…＋>(n∈N＋)． 12．設(shè)n∈N＋，f(n)＝5n＋23n－1＋1，通過計(jì)算n＝1,2,3,4時(shí)f(n)的值，可以猜想f(n)能被數(shù)值________整除． 答案　8 三、解答題(本大題共6小題，每小題10分，共60分) 13．求三個(gè)實(shí)數(shù)x，y，z，使得它們同時(shí)滿足下列方程：2x＋3y＋z＝13,4x2＋9y2＋z2－2x＋15y＋3z＝82. 解　將兩個(gè)方程相加，得 (2x)2＋(3y＋3)2＋(z＋2)2＝108，① 又第一個(gè)方程可變形為2x＋(3y＋3)＋(z＋2)＝18，② 由①②及柯西不等式，得(2x)2＋(3y＋3)2＋(z＋2)2≥[2x＋(3y＋3)＋(z＋2)]2， 即108≥182＝108，即柯西不等式中的等號(hào)成立． 所以2x＝3y＋3＝z＋2＝6，故x＝3，y＝1，z＝4. 14．(2017江蘇)已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，證明：ac＋bd≤8. 證明　由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)， 因?yàn)閍2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd)2≤64， 因此ac＋bd≤8. 15．a(chǎn)，b，c都是正數(shù)，求證：an(a2－bc)＋bn(b2－ac)＋cn(c2－ab)≥0(n是任意正數(shù))． 證明　設(shè)a≥b≥c>0，只需證an＋2＋bn＋2＋cn＋2≥anbc＋bnca＋cnab.(*) 由不等式的性質(zhì)知，an＋1≥bn＋1≥cn＋1，又a≥b≥c， 由排序原理，得 an＋2＋bn＋2＋cn＋2≥an＋1b＋bn＋1c＋cn＋1a.① 又由不等式單調(diào)性知，ab≥ac≥bc，an≥bn≥cn. ∴an＋1b＋bn＋1c＋cn＋1a≥anbc＋bnca＋cnab.② 由①②可得不等式(*)成立．∴原不等式成立． 16．用數(shù)學(xué)歸納法證明：f(n)＝352n＋1＋23n＋1(n∈N＋)能被17整除． 證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝353＋24＝391＝1723， 故f(1)能被17整除． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)，命題成立． 即f(k)＝352k＋1＋23k＋1能被17整除， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝352k＋3＋23k＋4＝52352k＋1＋5223k＋1－5223k＋1＋23k＋4 ＝25f(k)－1723k＋1. 由歸納假設(shè)可知，f(k)能被17整除，又1723k＋1顯然可被17整除，故f(k＋1)能被17整除． 綜合(1)(2)可知，對(duì)任意正整數(shù)n，f(n)能被17整除． 17．已知a，b∈R＋，n∈N＋.求證：≥n. 證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，≥，顯然成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，不等式成立， 即≥k. 要證n＝k＋1時(shí)，不等式成立，即證≥k＋1. 在≥k的兩邊同時(shí)乘以，得≥k＋1. 要證≥k＋1， 只需證≥， 因?yàn)椤? ?2(ak＋1＋bk＋1)≥(a＋b)(ak＋bk) ?2(ak＋1＋bk＋1)－(ak＋1＋abk＋akb＋bk＋1)≥0 ?ak＋1－abk－akb＋bk＋1≥0?(a－b)(ak－bk)≥0. 又a－b與(ak－bk)同正負(fù)(或同時(shí)為0)， 所以不等式(a－b)(ak－bk)≥0顯然成立． 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立． 綜合(1)(2)可知，對(duì)任何n∈N＋，不等式恒成立． 18．是否存在常數(shù)a，b，c，使得等式122＋232＋342＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)對(duì)一切正整數(shù)成立？并證明你的結(jié)論． 解　假設(shè)存在a，b，c，使題中等式對(duì)一切正整數(shù)成立， 則當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，上式顯然成立， 可得 解得a＝3，b＝11，c＝10. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式122＋232＋342＋…＋n(n＋1)2＝(3n2＋11n＋10)對(duì)一切正整數(shù)均成立． (1)當(dāng)n＝1時(shí)，命題顯然成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，命題成立， 即122＋232＋342＋…＋k(k＋1)2 ＝(3k2＋11k＋10)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有 122＋232＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2 ＝(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2 ＝(k＋2)(3k＋5)＋(k＋1)(k＋2)2 ＝(3k2＋5k＋12k＋24) ＝[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]． 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 由(1)(2)可知，對(duì)任何正整數(shù)n，等式都成立．