沖刺2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 核心考點(diǎn)特色突破 專(zhuān)題17 圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用（含解析）.doc

專(zhuān)題17 圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用【自主熱身，歸納總結(jié)】1、已知雙曲線(xiàn)y21的左焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)y212x的焦點(diǎn)重合，則雙曲線(xiàn)的右準(zhǔn)線(xiàn)方程為_(kāi)【答案】：x【解析】：因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)為(3，0)，即為雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，所以a2918，所以雙曲線(xiàn)的右準(zhǔn)線(xiàn)方程為x.2、若雙曲線(xiàn)x2my21過(guò)點(diǎn)(，2)，則該雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)為_(kāi)【答案】 4【解析】：將點(diǎn)(，2)代入可得24m1，即m，故雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，即虛軸長(zhǎng)為4. 本題易錯(cuò)在兩個(gè)地方：一是忘記了虛軸的概念；二是沒(méi)有把雙曲線(xiàn)方程化成標(biāo)準(zhǔn)式雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為2a，虛軸長(zhǎng)為2b，需要記住雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)的研究都需要借助于標(biāo)準(zhǔn)方程才能進(jìn)行，所以拿到雙曲線(xiàn)方程要先化為標(biāo)準(zhǔn)式3、在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為，則該雙曲線(xiàn)的離心率為 【答案】【解析】焦點(diǎn)在軸，不妨取焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線(xiàn)方程為，即，所以焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)距離為,則所以離線(xiàn)率為.【解題反思】雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為短半軸長(zhǎng)，這一點(diǎn)要熟記.4、 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，雙曲線(xiàn)1(a>0，b>0)的兩條漸近線(xiàn)分別與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)(A，B異于坐標(biāo)原點(diǎn)O)若直線(xiàn)AB恰好過(guò)點(diǎn)F，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是_【答案】： y2x【解析】：由題意得A，B，雙曲線(xiàn)1(a>0，b>0)的漸近線(xiàn)方程為yx，不妨設(shè)點(diǎn)A在漸近線(xiàn)yx上，則p，所以2，于是該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是y2x.5、若雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于三點(diǎn)，且直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則該雙曲線(xiàn)的離心率為 解法2 由題意可得A(2，0)，設(shè)P(a，a2)，則AP的中點(diǎn)M，AP，故以AP為直徑的圓M的方程為.由題意得圓C與圓M相切(內(nèi)切和外切)，故，解得a或a5.故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值集合為. 在解決與圓相關(guān)的綜合問(wèn)題時(shí)，需要充分利用圓的幾何性質(zhì)及一些簡(jiǎn)單的軌跡方程的知識(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與圓或圓與圓的問(wèn)題去處理，另外本題的難點(diǎn)還在于方程的處理【問(wèn)題探究，變式訓(xùn)練】 例1、如圖，橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，是橢圓右準(zhǔn)線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且（1）求的最小值；（2）以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論OMNF2F1yx解 （1）設(shè)，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立， 所以的最小值為（2）圓心的坐標(biāo)為，半徑圓的方程為，整理得：， 令，得，所以圓過(guò)定點(diǎn)【變式1】、 如圖，已知圓，直線(xiàn)，圓O與x軸交A，B兩點(diǎn)，M是圓O上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)AM交直線(xiàn)l于點(diǎn)P，直線(xiàn)BM交直線(xiàn)l于點(diǎn)Q求證：以PQ為直徑的圓C過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)解 設(shè)，則直線(xiàn)方程為，則同理：所以以為直徑的圓的方程是：又，所以令，所以以PQ為直徑的圓C過(guò)定點(diǎn)為【變式2】、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，橢圓上動(dòng)點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最小值為3(1)(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 已知過(guò)點(diǎn)M(0，1)的動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，試判斷以線(xiàn)段AB為直徑的圓是否恒過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由(2) 當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為x2y29；(7分)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為零時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為x2(y1)216.(8分)這兩圓僅有唯一公共點(diǎn)，也是橢圓的上頂點(diǎn)D(0，3)猜想以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)D(0，3)(9分)證明如下：證法1(向量法) 設(shè)直線(xiàn)l的方程為ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)只要證x1x2(y13)(y23)x1x2(kx14)(kx24)0即可即要證(1k2)x1x24k(x1x2)160.(11分)由消去y，得(12k2)x24kx160，16k264(12k2)>0，此方程總有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2.x1，2，所以x1x2，x1x2.(14分)所以(1k2)x1x24k(x1x2)16160.所以DADB，所以以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)D(0，3)(16分)證法2(斜率法) 若設(shè)DA，DB的斜率分別為k1，k2，只要證k1k21即可設(shè)直線(xiàn)l的斜率為，則.由點(diǎn)A在橢圓x22y218上，得x2y18，變形得，即k1.設(shè)yA3m(yA3)n(yA1)，可得m，n，得k1.從而k1(3k1)1，即k3k110.同理k3k210，所以k1，k2是關(guān)于k的方程k23k10的兩實(shí)根由根與系數(shù)關(guān)系，得k1k21.所以DADB，所以以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)D(0，3)【關(guān)聯(lián)1】、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：1(a>b>0)的離心率為，左焦點(diǎn)F(2，0)，直線(xiàn)l：yt與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，M為橢圓E上異于A，B的點(diǎn)(1) 求橢圓E的方程；(2) 若M(，1)，以AB為直徑的圓P過(guò)點(diǎn)M，求圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3) 設(shè)直線(xiàn)MA，MB與y軸分別相交于點(diǎn)C，D，證明：OCOD為定值 第(2)問(wèn)要求圓P的方程，就是要求得t的值，為此，由圓P過(guò)點(diǎn)M，可得MAMB，可用向量或斜率關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示，通過(guò)解方程，可得t的值；第(3)問(wèn)的本質(zhì)就是求點(diǎn)C，D的縱坐標(biāo)，由于點(diǎn)C，D隨著點(diǎn)M的變化而變化，因此以點(diǎn)M的坐標(biāo)為參數(shù)，通過(guò)設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出點(diǎn)C，D的縱坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算得OCOD為定值【解析】： (1) 因?yàn)閑，且c2，所以a2，b2.(2分)所以橢圓方程為1.(4分)(2)設(shè)A(s，t)，則B(s，t)，且s22t28.因?yàn)橐訟B為直徑的圓P過(guò)點(diǎn)M，所以MAMB，所以0，(5分)又(s，t1)，(s，t1)，所以6s2(t1)20.(6分)由解得t，或t1(舍，因?yàn)镸(，1)，所以t>0)，所以s2.(7分)又圓P的圓心為AB的中點(diǎn)(0，t)，半徑為|s|，(8分)所以圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2.(9分)(3)設(shè)M(x0，y0)，則lMA的方程為yy0(xx0)，若k不存在，顯然不符合條件令x0得yC；同理yD，(11分)所以O(shè)COD|yCyD|.(13分)因?yàn)閟22t28，x2y8，所以4為定值(16分)【關(guān)聯(lián)2】、如圖，橢圓的離心率為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為1，點(diǎn)，分別為橢圓的左頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求直線(xiàn)的方程；（3）求證：為定值 （3）設(shè)D坐標(biāo)為(x3，y3）,由，M(x1，0)可得直線(xiàn)的方程， 聯(lián)立橢圓方程得：解得,. 12 分由，得直線(xiàn)BD的方程：， 直線(xiàn)AC方程為， 聯(lián)立得， 15 分從而=2為定值. 16 分解法2：設(shè)D坐標(biāo)為(x3，y3），由C,M,D三點(diǎn)共線(xiàn)得，所以， 10 分由B,D,N三點(diǎn)共線(xiàn)得，將代入可得， 12 分 和相乘得， . 16 分【關(guān)聯(lián)3】、已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，且過(guò)點(diǎn)P(2，1)(1) 求橢圓C的方程； (1) 在yx3中，令x0，得y3，從而b3.(2分) 由得1.所以x0.(4分) 因?yàn)镻B1|x0|，所以4，解得a218.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(6分) (2) 證法1(設(shè)點(diǎn)法) 直線(xiàn)PB1的斜率為kPB1，由QB1PB1，所以直線(xiàn)QB1的斜率為kQB1.于是直線(xiàn)QB1的方程為yx3.同理，QB2的方程為yx3.(8分) 聯(lián)立兩直線(xiàn)方程，消去y，得x1.(10分) 因?yàn)镻(x0，y0)在橢圓1上，所以1，從而y9.所以x1.(12分) 所以2.(14分) 證法2(設(shè)線(xiàn)法) 設(shè)直線(xiàn)PB1，PB2的斜率分別為k，k，則直線(xiàn)PB1的方程為ykx3.由QB1PB1，直線(xiàn)QB1的方程為yx3.將ykx3代入1，得(2k21)x212kx0.因?yàn)镻是橢圓上異于點(diǎn)B1，B2的點(diǎn)，所以x00，從而x0.(8分) 因?yàn)镻(x0，y0)在橢圓1上，所以1，從而y9.所以kk，得k.(10分) 由QB2PB2，所以直線(xiàn)QB2的方程為y2kx3.聯(lián)立則x，即x1.(12分) 所以2.(14分) 本題的第(2)問(wèn)是圓錐曲線(xiàn)中常見(jiàn)的定值問(wèn)題，屬于難題探索圓錐曲線(xiàn)的定值問(wèn)題常見(jiàn)方法有兩種：從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值此處采用的是方法.【關(guān)聯(lián)2】、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線(xiàn)的距離為6.(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 設(shè)A為橢圓C的左頂點(diǎn)，P為橢圓C上位于x軸上方的點(diǎn)，直線(xiàn)PA交y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作MF的垂線(xiàn)，交y軸于點(diǎn)N.當(dāng)直線(xiàn)PA的斜率為時(shí)，求FMN的外接圓的方程；設(shè)直線(xiàn)AN交橢圓C于另一點(diǎn)Q，求APQ的面積的最大值解答 (1) 由題意，得解得則b2，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(4分)(2) 由題可設(shè)直線(xiàn)PA的方程為yk(x4)，k0，則M(0,4k)，所以直線(xiàn)FN的方程為y(x2)，則N.當(dāng)直線(xiàn)PA的斜率為，即k時(shí)，M(0,2)，N(0，4)，F(xiàn)(2，0)因?yàn)镸FFN，所以圓心為(0，1)，半徑為3，所以FMN的外接圓的方程為x2(y1)29.(8分)聯(lián)立消去y并整理得，(12k2)x216k2x32k2160，解得x14或x2，所以P，(10分)直線(xiàn)AN的方程為y(x4)，同理可得，Q，所以P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即PQ過(guò)原點(diǎn)所以APQ的面積SOA(yPyQ)28，(14分)當(dāng)且僅當(dāng)2k，即k時(shí)，取“”所以APQ的面積的最大值為8.(16分)【關(guān)聯(lián)3】、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，點(diǎn)(2,1)在橢圓C上(1) 求橢圓C的方程；(2) 設(shè)直線(xiàn)l與圓O：x2y22相切，與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn). 若直線(xiàn)l過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F，求OPQ的面積；求證： OPOQ.(2) 解法1 橢圓C的右焦點(diǎn)F(，0)設(shè)切線(xiàn)方程為yk(x)，即kxyk0，所以，解得k，所以切線(xiàn)方程為y(x)當(dāng)k時(shí)，(4分)由方程組解得或所以點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為， ， ， ，所以PQ.(6分)因?yàn)镺到直線(xiàn)PQ的距離為，所以O(shè)PQ的面積為. 因?yàn)闄E圓的對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)切線(xiàn)方程為y(x)時(shí)，OPQ的面積也為.綜上所述，OPQ的面積為.(8分)解法2 橢圓C的右焦點(diǎn)F(，0)設(shè)切線(xiàn)方程為yk(x)，即kxyk0，所以，解得k，所以切線(xiàn)方程為y(x)當(dāng)k時(shí)，(4分)把切線(xiàn)方程 y(x)代入橢圓C的方程，消去y得5x28x60.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則有x1x2.由橢圓定義可得，PQPFFQ2ae(x1x2)2.(6分)因?yàn)镺到直線(xiàn)PQ的距離為，所以O(shè)PQ的面積為. 因?yàn)闄E圓的對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)切線(xiàn)方程為y(x)時(shí)，OPQ的面積為.綜上所述，OPQ的面積為.(8分)解法1 (i)若直線(xiàn)PQ的斜率不存在，則直線(xiàn)PQ的方程為x或x.當(dāng)x時(shí)，P (， )，Q(，)因?yàn)?，所以O(shè)POQ.當(dāng)x時(shí)，同理可得OPOQ.(10分)(ii)若直線(xiàn)PQ的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為ykxm，即kxym0.因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，所以，即m22k22.將直線(xiàn)PQ方程代入橢圓方程，得(12k2) x24kmx2m260.設(shè)P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，則有x1x2，x1x2.(12分)因?yàn)閤1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)kmm2.將m22k22代入上式可得0，所以O(shè)POQ.綜上所述，OPOQ.(14分)解法2 設(shè)切點(diǎn)T(x0，y0)，則其切線(xiàn)方程為x0xy0y20，且xy2.(i)當(dāng)y00時(shí)，則直線(xiàn)PQ的直線(xiàn)方程為x或x.當(dāng)x時(shí)，P (， )，Q(，)因?yàn)?，所以O(shè)POQ.當(dāng)x時(shí)，同理可得OPOQ.(10分)(ii)當(dāng)y00時(shí)，由方程組消去y得(2xy)x28x0x86y0.設(shè)P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，則有x1x2，x1x2.(12分)所以x1x2y1y2x1x2.因?yàn)閤y2，代入上式可得0，所以O(shè)POQ.綜上所述，OPOQ.(14分)用斜截式設(shè)直線(xiàn)方程時(shí)，不要遺漏斜率不存在的情況！