2019高考數(shù)學二輪復習 專題八 選考4系列選講 第二講 選考4-5 不等式選講 學案 理.doc
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第二講 不等式選講 考點一 含絕對值不等式的解法 1.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c型不等式的解法 (1)若c>0,則|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根據(jù)a,b的取值求解即可; (2)若c<0,則|ax+b|≤c的解集為?,|ax+b|≥c的解集為R. 2.|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 (1)零點分段討論法. (2)絕對值的幾何意義. (3)數(shù)形結(jié)合法. [解] (1)當a=1時,f(x)=|x+1|-|x-1|, 即f(x)= 故不等式f(x)>1的解集為. (2)當x∈(0,1)時|x+1|-|ax-1|>x成立等價于當x∈(0,1)時|ax-1|<1成立. 若a≤0,則當x∈(0,1)時|ax-1|≥1; 若a>0時,則|ax-1|<1的解集為. 所以≥1,故0x-f(x)恒成立,知|x+1|+|x-a|>2恒成立,即(|x+1|+|x-a|)min>2. 而|x+1|+|x-a|≥|(x+1)-(x-a)|=|1+a|, 所以|1+a|>2,解得a>1或a<-3. 絕對值恒成立問題應關注的3點 (1)巧用“||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b|”求最值. (2)f(x)a恒成立?f(x)min>a. (3)f(x)a有解?f(x)max>a. [對點訓練] 1.[角度1](2018山東淄博模擬)設函數(shù)f(x)=|x+4|. (1)若y=f(2x+a)+f(2x-a)的最小值為4,求a的值; (2)求不等式f(x)>1-x的解集. [解] (1)因為f(x)=|x+4|, 所以y=f(2x+a)+f(2x-a)=|2x+a+4|+|2x-a+4|≥|2x+a+4-(2x-a+4)|=|2a|, 又y=f(2x+a)+f(2x-a)的最小值為4, ∴|2a|=4, ∴a=2. (2)f(x)=|x+4|= ∴不等式f(x)>1-x等價于 解得x>-2或x<-10, 故不等式f(x)>1-x的解集為{x|x>-2或x<-10}. 2.[角度2](2018河南鄭州二模)已知函數(shù)f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a. (1)當a=0時,解不等式f(x)≥g(x); (2)若存在x∈R,使得f(x)≤g(x)成立,求實數(shù)a的取值范圍. [解] (1)當a=0時,由f(x)≥g(x)得|2x+1|≥|x|,兩邊平方整理得3x2+4x+1≥0,解得x≤-1或x≥-,∴原不等式的解集為(-∞,-1]∪. (2)由f(x)≤g(x)得a≥|2x+1|-|x|, 令h(x)=|2x+1|-|x|, 則h(x)= 故h(x)min=h=-, 所以實數(shù)a的取值范圍為a≥-. 考點三 不等式的證明 定理1:設a,b∈R,則a2+b2≥2ab.當且僅當a=b時,等號成立. 定理2:如果a,b為正數(shù),則≥,當且僅當a=b時,等號成立. 定理3:如果a,b,c為正數(shù),則≥,當且僅當a=b=c時,等號成立. [證明] (1)(a+b)(a5+b5) =a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)2≥4. (2)因為(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 =2+3ab(a+b) ≤2+(a+b) =2+, 所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2. 證明不等式的方法和技巧 (1)如果已知條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯,可考慮用分析法;如果待證的命題以“至少”“至多”等方式給出或是否定性命題、唯一性命題,則考慮用反證法. (2)在必要的情況下,可能還需要使用換元法、構造法等技巧簡化對問題的表述和證明.尤其是對含絕對值不等式的解法或證明,其簡化的基本思路是化去絕對值號,轉(zhuǎn)化為常見的不等式(組)求解.多以絕對值的幾何意義或“找零點、分區(qū)間、逐個解、并起來”為簡化策略,而絕對值三角不等式,往往作為不等式放縮的依據(jù). [對點訓練] 已知實數(shù)a,b,c滿足a>0,b>0,c>0,且abc=1. (1)證明:(1+a)(1+b)(1+c)≥8; (2)證明:++≤++. [證明] (1)∵1+a≥2,1+b≥2,1+c≥2, ∴(1+a)(1+b)(1+c)≥222=8, ∵abc=1,∴(1+a)(1+b)(1+c)≥8. (2)∵ab+bc≥2=2, ab+ac≥2=2, bc+ac≥2=2, 上面三式相加得, 2ab+2bc+2ca≥2+2+2, 即ab+bc+ca≥++. 又++=ab+bc+ac, ∴++≤++. 1.(2017全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)當a=1時,求不等式f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范圍. [解] (1)當a=1時,不等式f(x)≥g(x)等價于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.① 當x<-1時,①式化為x2-3x-4≤0,無解; 當-1≤x≤1時,①式化為x2-x-2≤0,從而-1≤x≤1; 當x>1時,①式化為x2+x-4≤0,從而1- 配套講稿:
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