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單元質量測試(五)
時間：120分鐘 滿分：150分
第Ⅰ卷 (選擇題，共60分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)
1．(2018南昌摸底)已知復數z滿足(1＋i)z＝2，i是虛數單位，則復數z的虛部為( )
A．1 B．－1 C．i D．－i
答案 B
解析 因為z＝＝＝＝1－i，則復數z的虛部為－1，故選B．
2．(2018太原三模)已知復數z滿足iz＝，則復數z在復平面內對應的點在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 z＝＝＝＝＝－1－2i，所以復數z在復平面內對應的點在第三象限，故選C．
3．(2018大慶質檢一)若m>n>0，p
B．<
C．> D．<
答案 B
解析 由m>n>0，p|n|>0，|p|>|q|>0，所以<，而，，，均為負數，所以>．而與的大小則無法比較，故選B．
4．(2019青島模擬)已知復數z的共軛復數為，且z＋(1＋i)＝3－4i，則在復平面內，復數z所對應的點位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 設z＝a＋bi(a，b∈R)，故z＋(1＋i)＝a＋bi＋(a－bi)(1＋i)＝(2a＋b)＋ai＝3－4i，則a＝－4，b＝11，故z＝－4＋11i，則在復平面內，復數z所對應的點為(－4，11)，位于第二象限．故選B．
5．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導函數，則g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)
答案 D
解析 由所給函數及其導數知，偶函數的導函數為奇函數，因此當f(x)是偶函數時，其導函數應為奇函數，故g(－x)＝－g(x)．
6．(2017浙江高考)若x，y滿足約束條件
則z＝x＋2y的取值范圍是( )
A．[0，6] B．[0，4]
C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)
答案 D
解析
不等式組形成的可行域如圖所示．平移直線y＝－x，當直線過點A(2，1)時，z有最小值4．顯然z沒有最大值．故選D．
7．(2018長春質檢)設正實數a，b滿足a＋b＝1，則( )
A．＋有最大值4 B．有最小值
C．＋有最大值 D．a2＋b2有最小值
答案 C
解析 由于a>0，b>0，由基本不等式得1＝a＋b≥2，當且僅當a＝b時，等號成立，∴≤，∴ab≤，＋＝＝≥4，因此＋的最小值為4，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－＝，(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋1＝2，所以＋有最大值．故選C．
8．(2018福建質檢)程大位是明代著名數學家，他的《新編直指算法統(tǒng)宗》是中國歷史上一部影響巨大的著作．它問世后不久便風行宇內，成為明清之際研習數學者必讀的教材，而且傳到朝鮮、日本及東南亞地區(qū)，對推動漢字文化圈的數學發(fā)展起到了重要的作用．卷八中第33問是：“今有三角果一垛，底闊每面七個．問該若干？”如圖是解決該問題的程序框圖．執(zhí)行該程序框圖，求得該垛果子的總數S為( )
A．120 B．84 C．56 D．28
答案 B
解析 第一次循環(huán)，i＝0＋1＝1，n＝0＋1＝1，S＝0＋1＝1；i<7，第二次循環(huán)，i＝1＋1＝2，n＝1＋2＝3，S＝1＋3＝4；i<7，第三次循環(huán)，i＝2＋1＝3，n＝3＋3＝6，S＝4＋6＝10；i<7，第四次循環(huán)，i＝3＋1＝4，n＝6＋4＝10，S＝10＋10＝20；i<7，第五次循環(huán)，i＝4＋1＝5，n＝10＋5＝15，S＝20＋15＝35；i<7，第六次循環(huán)，i＝5＋1＝6，n＝15＋6＝21，S＝35＋21＝56；i<7，第七次循環(huán)，i＝6＋1＝7，n＝21＋7＝28，S＝56＋28＝84；i＝7，結束循環(huán)，輸出S＝84．故選B．
9．(2018湖北武漢調研)一名法官在審理一起珍寶盜竊案時，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙說：“我沒有作案，是丙偷的”；丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說：“乙說的是事實”．經過調查核實，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案 B
解析 由題可知，乙、丁兩人的觀點一致，即同真同假，假設乙、丁說的是真話，那么甲、丙兩人說的是假話，由乙說的是真話，推出丙是罪犯，由甲說假話，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，顯然兩個結論相互矛盾，所以乙、丁兩人說的是假話，而甲、丙兩人說的是真話，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．
10．(2018山東濱州模擬)已知變量x，y滿足約束條件若z＝ax＋by(a>0，b>0)的最小值為2，則ab的最大值為( )
A．1 B． C． D．
答案 D
解析
作出不等式組滿足的可行域如圖所示，目標函數z＝ax＋by(a>0，b>0)，故當x，y均取最小值時，z取到最小值．即當x＝2，y＝3時，z＝ax＋by取得最小值2，即2a＋3b＝2，所以2a3b≤＝1，當且僅當2a＝3b＝1，即a＝，b＝時等號成立，所以(6ab)max＝1，即(ab)max＝．
11．(2018河南鄭州三模)中國有個名句“運籌帷幄之中，決勝千里之外”．其中的“籌”原意是指《孫子算經》中記載的算籌，古代是用算籌來進行計算，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運算，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式，如下表：
表示一個多位數時，像阿拉伯計數一樣，把各個數位的數碼從左到右排列，但各位數碼的籌式需要縱橫相間，個位，百位，萬位數用縱式表示，十位，千位，十萬位用橫式表示，以此類推，例如6613用算籌表示就是：，則5288用算籌式可表示為( )
答案 C
解析 由題意可知，5288用算籌式表示，從左到右依次是橫式5，縱式2，橫式8，縱式8．故選C．
12．(2019邯鄲調研)若正數a，b滿足＋＝1，則＋的最小值為( )
A．16 B．25 C．36 D．49
答案 A
解析 因為a，b>0，＋＝1，所以a＋b＝ab，所以＋＝＝＝4b＋16a－20．又4b＋16a＝4(b＋4a)＝4(b＋4a)＝20＋4≥20＋42 ＝36，當且僅當＝且＋＝1，即a＝，b＝3時取等號．所以＋≥36－20＝16．
第Ⅱ卷 (非選擇題，共90分)
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．(2017天津高考)已知a∈R，i為虛數單位，若為實數，則a的值為________．
答案 －2
解析 因為＝＝為實數，所以－＝0，解得a＝－2．
14．(2018長春質檢二)更相減損術是出自《九章算術》的一種算法，如圖所示的程序框圖是依據更相減損術寫出來的，若輸入a＝91，b＝39，則輸出a的值為________．
答案 13
解析 第一次循環(huán)得：a＝91－39＝52；第二次循環(huán)得：a＝52－39＝13；第三次循環(huán)得：b＝39－13＝26；第四次循環(huán)得：b＝26－13＝13，此時a＝b，所以輸出13．
15．(2018大慶質檢一)若f(x)＝exln a＋e－xln b為奇函數，則＋的最小值為________．
答案 2
解析 由f(x)的定義域為R，且f(x)為奇函數，則有f(0)＝ln a＋ln b＝0，即ab＝1．從而＋≥2＝2，當且僅當＝，即a＝，b＝時，取等號．
16．(2018豫南九校聯考)已知不等式組表示的平面區(qū)域為D，若對任意的(x，y)∈D，不等式t－40，y>0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1．
∴3xy－2－1≥0，即3()2－2－1≥0．
∴(3＋1)(－1)≥0．
∴≥1，∴xy≥1．當且僅當x＝y(tǒng)＝1時，等號成立．
∴xy的最小值為1．
(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤32．
∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0．
∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0．∴x＋y≥2．
當且僅當x＝y(tǒng)＝1時取等號，∴x＋y的最小值為2．
19．(本小題滿分12分)關于x的不等式組
的整數解的集合為{－2}，求實數k的取值范圍．
解 不等式x2－x－2>0的解集是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
不等式2x2＋(2k＋5)x＋5k<0，
即為(2x＋5)(x＋k)<0，(*)
當－k＜－，即k＞時，(*)的解集是－k，－，此時－2不在不等式組的解集中，所以k>不符合題意；
當－k＝－，即k＝時，(*)無解，也不符合題意；
當－k＞－，即k<時，(*)的解集是－，－k．
要使不等式組的整數解的集合為{－2}，
借助數軸可得－2<－k≤3，解得－3≤k<2，
又k<，所以－3≤k<2．
綜上，實數k的取值范圍是[－3，2)．
20．(本小題滿分12分)先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問題：
已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求證：a＋a≥．
證明：構造函數f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，
則f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a＋a＝2x2－2x＋a＋a，
因為對一切x∈R，恒有f(x)≥0，
所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，從而得a＋a≥．
(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，請寫出上述結論的推廣式；
(2)參考上述證法，對你推廣的結論加以證明．
解 (1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，
則a＋a＋…＋a≥．
(2)證明：構造函數
f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2，
則f(x)＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a，
因為對一切x∈R，恒有f(x)≥0，
所以Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0，
從而得a＋a＋…＋a≥．
21．(本小題滿分12分)首屆世界低碳經濟大會在南昌召開，本屆大會以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題．某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，采用了新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品．已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數關系可近似地表示為y＝x2－200x＋80000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為100元．
(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？
(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損？
解 (1)由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為
＝x＋－200≥2－200
＝200(400≤x≤600)，當且僅當x＝，
即x＝400時等號成立．
故該單位每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低，最低成本為200元．
(2)不獲利．設該單位每月獲利為S，則
S＝100x－y
＝100x－
＝－x2＋300x－80000
＝－(x－300)2－35000．
∵400≤x≤600，
∴Smax＝－(400－300)2－35000＝－40000．
故該單位每月不獲利，需要國家每月至少補貼40000元才能不虧損．
22．(2018江蘇高考)(本小題滿分12分)設{an}是首項為a1，公差為d的等差數列，{bn}是首項為b1，公比為q的等比數列．
(1)設a1＝0，b1＝1，q＝2，若|an－bn|≤b1對n＝1，2，3，4均成立，求d的取值范圍；
(2)若a1＝b1>0，m∈N*，q∈(1，]，證明：存在d∈R，使得|an－bn|≤b1對n＝2，3，…，m＋1均成立，并求d的取值范圍(用b1，m，q表示)．
解 (1)由條件知an＝(n－1)d，bn＝2n－1．
因為|an－bn|≤b1對n＝1，2，3，4均成立，
即|(n－1)d－2n－1|≤1對n＝1，2，3，4均成立．
即1≤1，1≤d≤3，3≤2d≤5，7≤3d≤9，
得≤d≤．
因此，d的取值范圍為，．
(2)由條件知：an＝b1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1．
若存在d∈R，使得|an－bn|≤b1(n＝2，3，…，m＋1)均成立，
即|b1＋(n－1)d－b1qn－1|≤b1(n＝2，3，…，m＋1)．
即當n＝2，3，…，m＋1時，
d滿足b1≤d≤b1．
因為q∈(1，]，
所以10，
對n＝2，3，…，m＋1均成立．
因此，取d＝0時，|an－bn|≤b1對n＝2，3，…，m＋1均成立．
下面討論數列的最大值和數列的最小值(n＝2，3，…，m＋1)．
①當2≤n≤m時，－
＝
＝，
當10．
因此，當2≤n≤m＋1時，數列單調遞增，
故數列的最大值為．
②設f(x)＝2x(1－x)，當x>0時，f′(x)＝(ln 2－1－xln 2)2x<0．
所以f(x)單調遞減，從而f(x)
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