江蘇省2019高考數(shù)學二輪復習 考前回扣2 函數(shù)與導數(shù)學案.doc
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2.函數(shù)與導數(shù) 1.求函數(shù)的定義域,關鍵是依據(jù)含自變量x的代數(shù)式有意義來列出相應的不等式(組)求解,如開偶次方根,被開方數(shù)一定是非負數(shù);對數(shù)式中的真數(shù)是正數(shù);列不等式時,應列出所有的不等式,不應遺漏. 對抽象函數(shù),只要對應法則相同,括號里整體的取值范圍就完全相同. [問題1] 函數(shù)f(x)=+lg(1+x)的定義域是________________. 答案 (-1,1)∪(1,+∞) 2.分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上,分別用不同的式子來表示對應法則的函數(shù),它是一個函數(shù),而不是幾個函數(shù). [問題2] 已知函數(shù)f(x)=的值域為R,那么a的取值范圍是____________. 答案 解析 要使函數(shù)f(x)的值域為R, 需使所以 所以-1≤a<. 3.求函數(shù)最值(值域)常用的方法 (1)單調(diào)性法:適合于已知或能判斷單調(diào)性的函數(shù). (2)圖象法:適合于已知或易作出圖象的函數(shù). (3)基本不等式法:特別適合于分式結構或兩元的函數(shù). (4)導數(shù)法:適合于可導函數(shù). (5)換元法(特別注意新元的范圍). (6)分離常數(shù)法:適合于一次分式. [問題3] 函數(shù)y=(x≥0)的值域為________. 答案 解析 方法一 ∵x≥0,∴2x≥1,∴≥1, 解得≤y<1.∴其值域為y∈. 方法二 y=1-, ∵x≥0,∴0<≤, ∴y∈. 4.判斷函數(shù)的奇偶性,要注意定義域必須關于原點對稱,有時還要對函數(shù)式化簡整理,但必須注意使定義域不受影響. [問題4] f(x)=是________函數(shù).(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 答案 奇 解析 由得定義域為(-1,0)∪(0,1), f(x)==. ∴f(-x)=-f(x),f(x)為奇函數(shù). 5.函數(shù)奇偶性的性質(zhì) (1)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性完全相同;偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性恰恰相反. (2)若f(x)為偶函數(shù),則f(-x)=f(x)=f(|x|). (3)若奇函數(shù)f(x)的定義域中含有0,則必有f(0)=0. “f(0)=0”是“f(x)為奇函數(shù)”的既不充分又不必要條件. [問題5] 設f(x)=lg是奇函數(shù),且在x=0處有意義,則該函數(shù)在定義域上單調(diào)遞________. 答案 增 解析 由題意可知f(0)=0,即lg(2+a)=0, 解得a=-1, 故f(x)=lg ,函數(shù)f(x)的定義域是(-1,1), 在此定義域內(nèi)f(x)=lg =lg(1+x)-lg(1-x), 函數(shù)y1=lg(1+x)是增函數(shù),函數(shù)y2=lg(1-x)是減函數(shù),故f(x)=y(tǒng)1-y2是增函數(shù). 6.判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法 (1)能畫出圖象的,一般用數(shù)形結合法去觀察. (2)由基本初等函數(shù)通過加減運算或復合而成的函數(shù),常轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)單調(diào)性判斷問題. (3)對于解析式較復雜的,一般用導數(shù). (4)對于抽象函數(shù),一般用定義法. [問題6] 函數(shù)y=|log2|x-1||的遞增區(qū)間是________________. 答案 [0,1),[2,+∞) 解析 ∵y= 作圖可知正確答案為[0,1),[2,+∞). 7.有關函數(shù)周期的幾種情況必須熟記:(1)f(x)=f(x+a)(a>0),則f(x)的周期T=a;(2)f(x+a)=(f(x)≠0)或f(x+a)=-f(x),則f(x)的周期T=2a. [問題7] 設f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù),當x∈[-2,1)時,f(x)=則f=________. 答案?。? 8.函數(shù)圖象的幾種常見變換 (1)平移變換:左右平移——“左加右減”(注意是針對x而言);上下平移——“上加下減”. (2)翻折變換:f(x)→|f(x)|;f(x)→f(|x|). (3)對稱變換:①證明函數(shù)圖象的對稱性,即證圖象上任意點關于對稱中心(軸)的對稱點仍在圖象上; ②函數(shù)y=f(x)與y=-f(-x)的圖象關于原點成中心對稱; ③函數(shù)y=f(x)與y=f(-x)的圖象關于直線x=0 (y軸)對稱;函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=-f(x)的圖象關于直線y=0(x軸)對稱. [問題8] 函數(shù)y=的對稱中心是________. 答案 (1,3) 9.如何求方程根的個數(shù)或范圍 求f(x)=g(x)根的個數(shù)時,可在同一坐標系中作出函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象,看它們交點的個數(shù);求方程根(函數(shù)零點)的范圍,可利用圖象觀察或零點存在性定理. [問題9] 已知函數(shù)f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有兩個不相等的實根,則實數(shù)k的取值范圍是________. 答案 解析 先作出函數(shù)f(x)=|x-2|+1的圖象,如圖所示, 當直線g(x)=kx與直線AB平行時,斜率為1,當直線g(x)=kx過點A時,斜率為,故當f(x)=g(x)有兩個不相等的實根時,實數(shù)k的取值范圍是. 10.二次函數(shù)問題 (1)處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結合.二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值,求最值問題用“兩看法”:一看開口方向,二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系. (2)若原題中沒有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式,要考慮到二次項系數(shù)可能為零的情形. [問題10] 若關于x的方程ax2-x+1=0至少有一個正根,則a的取值范圍為________. 答案 11.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 可從定義域、值域、單調(diào)性、函數(shù)值的變化情況考慮,特別注意底數(shù)的取值對有關性質(zhì)的影響,另外,指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象恒過定點(0,1),對數(shù)函數(shù)y=logax的圖象恒過定點(1,0). [問題11] 設a=log36,b=log510,c=log714,則a,b,c的大小關系是________. 答案 a>b>c 12.函數(shù)與方程 (1)函數(shù)y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的根,也是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標. (2)y=f(x)在[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且f(a)f(b)<0,那么f(x)在(a,b)內(nèi)至少有一個零點,即至少存在一個x0∈(a,b)使f(x0)=0.這個x0也就是方程f(x)=0的根. (3)用二分法求函數(shù)零點. [問題12] 函數(shù)f(x)=的零點個數(shù)為________. 答案 1 13.利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟 (1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域. (2)求導數(shù)y′=f′(x). (3)解方程f′(x)=0在定義域內(nèi)的所有實根. (4)將函數(shù)y=f(x)的間斷點(即函數(shù)無定義點)的橫坐標和各個實數(shù)根按從小到大的順序排列起來,分成若干個小區(qū)間. (5)確定f′(x)在各個小區(qū)間內(nèi)的符號,由此確定每個區(qū)間的單調(diào)性. 特別提醒:(1)多個單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接; (2)f(x)為減函數(shù)時,f′(x)≤0恒成立,但要驗證f′(x)是否恒等于0. [問題13] 若函數(shù)f(x)=x2-ln x+1在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k-1,k+1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)k的取值范圍是______________. 答案 解析 因為f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=2x-, 由f′(x)=0,得x=. 利用圖象(圖略)可得 解得1≤k<. 14.導數(shù)為零的點并不一定是極值點,例如:函數(shù)f(x)=x3,有f′(0)=0,但x=0不是極值點. [問題14] 函數(shù)f(x)=x4-x3的極值點是________. 答案 x=1 15.利用導數(shù)解決不等式問題的思想 (1)證明不等式f(x)- 配套講稿:
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