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1.集合與常用邏輯用語
1.集合的元素具有確定性、無序性和互異性,在解決有關(guān)集合的問題時,尤其要注意元素的互異性.
[問題1] 已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,則實數(shù)a=________.
答案 0
2.描述法表示集合時,一定要理解好集合的含義——抓住集合的代表元素.如:{x|y=f(x)}——函數(shù)的定義域;{y|y=f(x)}——函數(shù)的值域;{(x,y)|y=f(x)}——函數(shù)圖象上的點集.
[問題2] 已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},則M∩N=__________.
答案 {y|y≥1}
3.在解決集合間的關(guān)系和集合的運算時,不能忽略空集的情況.
[問題3] 已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1
”的否定是“≤”,“都”的否定是“不都”.
[問題7] 命題“?n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是________.(填序號)
①?n∈N*,f(n)?N*且f(n)>n;
②?n∈N*,f(n)?N*或f(n)>n;
③?n∈N*,f(n)?N*且f(n)>n;
④?n∈N*,f(n)?N*或f(n)>n.
答案 ④
8.求參數(shù)范圍時,要根據(jù)條件進行等價轉(zhuǎn)化,注意范圍的臨界值能否取到,也可與補集思想聯(lián)合使用.
[問題8] 已知命題p:?x∈R,ax2+x+≤0.若命題p是假命題,則實數(shù)a的取值范圍是________.
答案
解析 因為命題p是假命題,所以綈p為真命題,即?x∈R,ax2+x+>0恒成立.當a=0時,x>-,不滿足題意;當a≠0時,要使不等式恒成立,則有
即解得所以a>,
即實數(shù)a的取值范圍是.
易錯點1 忽視空集
例1 已知集合A={x|x2-3x-10≤0},集合B={x|p+1≤x≤2p-1}.若B?A,求實數(shù)p的取值范圍.
易錯分析 忽略了“空集是任何集合的子集”這一結(jié)論,即B=?時,符合題設.
解決有關(guān)A∩B=?,A∪B=?,A?B等集合問題易忽視空集的情況而出現(xiàn)漏解.
解 集合A={x|-2≤x≤5},
①當B≠?時,即p+1≤2p-1?p≥2.
由B?A得-2≤p+1且2p-1≤5.
即-3≤p≤3,∴2≤p≤3.
②當B=?時,即p+1>2p-1?p<2.
由①②得p≤3.
易錯點2 忽視區(qū)間端點的取舍
例2 記f(x)=的定義域為A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定義域為B.若B?A,求實數(shù)a的取值范圍.
易錯分析 在求解含參數(shù)的集合間的包含關(guān)系時,忽視對區(qū)間端點的檢驗,導致參數(shù)范圍擴大或縮?。?
解 ∵2-≥0,∴≥0.
∴x<-1或x≥1,
即A=(-∞,-1)∪[1,+∞).
由(x-a-1)(2a-x)>0,
得(x-a-1)(x-2a)<0.
∵a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1).
∵B?A,∴2a≥1或a+1≤-1,
即a≥或a≤-2,而a<1,
∴≤a<1或a≤-2.
故當B?A時,實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2]∪.
易錯點3 混淆充分條件和必要條件
例3 已知a,b∈R,下列四個條件中,使a>b成立的必要不充分的條件是__________.(填序號)
①a>b-1;②a>b+1;③|a|>|b|;④2a>2b.
易錯分析 在本題中,選項是條件,而“a>b”是結(jié)論.在本題的求解中,常誤認為由選項推出“a>b”,而由“a>b”推不出選項是必要不充分條件.
解析 由a>b可得a>b-1,
但由a>b-1不能得出a>b,
∴a>b-1是a>b成立的必要不充分條件;
由a>b+1可得a>b,
但由a>b不能得出a>b+1,
∴a>b+1是a>b成立的充分不必要條件;
易知a>b是|a|>|b|的既不充分又不必要條件;
a>b是2a>2b成立的充要條件.
答案?、?
易錯點4 對命題否定不當
例4 已知M是不等式≤0的解集且5?M,則a的取值范圍是________________.
易錯分析 題中5?M并不能轉(zhuǎn)化為>0,題意中還有分式無意義的情形,本題可從集合的角度用補集思想來解.
解析 方法一 ∵5?M,原不等式不成立,
∴>0或5a-25=0,
∴a<-2或a>5或a=5,故a≥5或a<-2.
方法二 若5∈M,則≤0,
∴(a+2)(a-5)≤0且a≠5,∴-2≤a<5,
∴當5?M時,a<-2或a≥5.
答案 (-∞,-2)∪[5,+∞)
1.(2018江蘇揚州中學模擬)已知集合A={-1,0,2},B={x|x=2n-1,n∈Z},則A∩B=_____.
答案 {-1}
2.設全集U=R,A=,B={x|2x<2},則圖中陰影部分表示的集合為_________.
答案 {x|1≤x<2}
解析 A={x|0,q:?x∈R,ax2+ax+1>0,則p成立是q成立的________條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
答案 充分不必要
解析 p:00;
當a=0時,不等式顯然成立;
當a≠0時,由Δ=a2-4a<0得00,條件q:x>a,且綈p是綈q的充分不必要條件,則a的取值范圍為__________.
答案 [1,+∞)
解析 由x2+2x-3>0,可得x>1或x<-3,
“綈p是綈q的充分不必要條件”等價于“q是p的充分不必要條件”,故a≥1.
9.設集合A={-1,0,1},集合B={0,1,2,3},定義A*B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},則A*B中元素的個數(shù)是________.
答案 10
解析 因為A={-1,0,1},B={0,1,2,3},所以A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3}.因為x∈A∩B,所以x可取0,1;因為y∈A∪B,所以y可取-1,0,1,2,3.
則(x,y)的可能取值如下表所示:
y
x
-1
0
1
2
3
0
(0,-1)
(0,0)
(0,1)
(0,2)
(0,3)
1
(1,-1)
(1,0)
(1,1)
(1,2)
(1,3)
故A*B中的元素共有10個.
10.給出下列命題:
①命題:“存在x>0,使sin x≤x”的否定是:“對任意x>0,sin x>x”;
②函數(shù)f(x)=sin x+ (x∈(0,π))的最小值是2;
③在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,則△ABC是等腰或直角三角形;
④若直線m∥直線n,直線m∥平面α,那么直線n∥平面α.
其中正確的命題是________.(填序號)
答案?、佗?
解析 易知①正確;②中函數(shù)f(x)=sin x+ (x∈(0,π)),令t=sin x,則g(t)=t+,t∈(0,1]為減函數(shù),所以g(t)min=g(1)=3,故②錯誤;③中由sin 2A=sin 2B,可知2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,故③正確;④中直線n也可能在平面α內(nèi),故④錯誤.
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