2019屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 模塊七 選考模塊 第20講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 文.docx

第20講坐標(biāo)系與參數(shù)方程1.2016全國(guó)卷 在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=acost,y=1+asint(t為參數(shù),a>0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:=4cos.(1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程;(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為=0,其中0滿足tan0=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a.試做 2.2017全國(guó)卷 在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為x=2+t,y=kt(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為x=-2+m,y=mk(m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P,當(dāng)k變化時(shí),P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程;(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)l3:(cos+sin)-2=0,M為l3與C的交點(diǎn),求M的極徑.試做 命題角度坐標(biāo)系與參數(shù)方程(1)利用x=cos,y=sin以及2=x2+y2可將極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化.(2)化參數(shù)方程為普通方程的關(guān)鍵是消參,可以利用加減消元法、平方消元法、代入法等.在參數(shù)方程與普通方程的互化過程中,必須使兩種方程中的x,y的取值范圍保持一致.(3)解決極坐標(biāo)問題的一般思路:將曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立,再根據(jù)限制條件求出極坐標(biāo);在對(duì)極坐標(biāo)的意義和應(yīng)用不太熟悉的時(shí)候,可將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,求出交點(diǎn)坐標(biāo),再將其化為極坐標(biāo).(4)解決坐標(biāo)系與參數(shù)方程中求曲線交點(diǎn)、距離、線段長(zhǎng)等幾何問題時(shí),一般方法是先分別化為普通方程或直角坐標(biāo)方程后再求解,也可直接利用極坐標(biāo)的幾何意義求解,解題時(shí)要結(jié)合題目自身特點(diǎn),靈活選擇方程的類型.解答1極坐標(biāo)與簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l:x+3y=53,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為=4sin.(1)求直線l的極坐標(biāo)方程和圓C的直角坐標(biāo)方程;(2)射線OP:=6(0)與圓C的交點(diǎn)為O,A,與直線l的交點(diǎn)為B,求線段AB的長(zhǎng).聽課筆記【考場(chǎng)點(diǎn)撥】將直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程時(shí),只要運(yùn)用公式x=cos及y=sin,直接代入并化簡(jiǎn)即可; 將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時(shí),常用極坐標(biāo)方程兩邊同乘(或同除以),將極坐標(biāo)方程構(gòu)造成含有sin,cos,2的形式,然后利用公式代換化簡(jiǎn)得到直角坐標(biāo)方程.【自我檢測(cè)】以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.曲線C的極坐標(biāo)方程是2=161+3cos2.(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)曲線C與x軸正半軸及y軸正半軸交于點(diǎn)M,N,在第一象限內(nèi)任取曲線C上一點(diǎn)P,求四邊形OMPN面積的最大值.解答2簡(jiǎn)單曲線的參數(shù)方程2 已知曲線C的極坐標(biāo)方程是-4sin=0,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線l過點(diǎn)M(1,0),傾斜角為34.(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程;(2)設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求|MA|+|MB|的值.聽課筆記【考場(chǎng)點(diǎn)撥】高考中直線參數(shù)方程問題的注意點(diǎn):(1)利用直線的參數(shù)方程x=x0+tcos,y=y0+tsin(t為參數(shù))中參數(shù)的幾何意義求解時(shí),若A,B為直線上兩點(diǎn),其對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,線段AB的中點(diǎn)為M,點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0,P(x0,y0),則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到:t0=t1+t22;|AB|=|t2-t1|;|PA|PB|=|t1t2|.(2)用參數(shù)方程的幾何意義解題時(shí),參數(shù)方程必須是標(biāo)準(zhǔn)形式,即滿足參數(shù)t前面的系數(shù)的平方和等于1,否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.【自我檢測(cè)】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x=1+tcos,y=3+tsin,t為參數(shù),0,).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為=8sin+6.(1)求圓C的圓心的直角坐標(biāo);(2)設(shè)點(diǎn)P(1,3),若直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),求證:|PA|PB|為定值,并求出該定值.解答3極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用3 在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:x=3cos,y=sin(為參數(shù)),在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:(cos-sin)=4.(1)寫出曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線C1上有一動(dòng)點(diǎn)M,曲線C2上有一動(dòng)點(diǎn)N,求|MN|最小時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo).聽課筆記【考場(chǎng)點(diǎn)撥】高考中利用參數(shù)解題的幾點(diǎn)應(yīng)用:(1)在圓錐曲線截直線的弦長(zhǎng)問題中的應(yīng)用.這類問題通常是過某一定點(diǎn)作一直線與圓錐曲線相交于A,B兩點(diǎn),所求問題與定點(diǎn)到A,B兩點(diǎn)的距離有關(guān),主要利用定點(diǎn)在直線AB上以及參數(shù)t的幾何意義,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行處理.(2)解決中點(diǎn)問題.可利用t0=t1+t22結(jié)合t的幾何意義去解決.(3)與直線有關(guān)的最值、范圍問題.這類問題主要是線段的兩個(gè)端點(diǎn)在圓錐曲線上,求相應(yīng)的最大值和最小值問題.解決此類問題時(shí)可以先利用參數(shù)方程中的參數(shù)去表示,然后利用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)求解.【自我檢測(cè)】以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.曲線C1的極坐標(biāo)方程為sin2-4cos=0,曲線C2的參數(shù)方程為x=-1+2cos,y=2sin(為參數(shù)).(1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程及曲線C2的普通方程;(2)已知點(diǎn)P12,0,直線l的參數(shù)方程為x=12+22t,y=22t(t為參數(shù)),設(shè)直線l與曲線C1 交于M,N兩點(diǎn),求1|PM|+1|PN|的值.模塊七選考模塊第20講坐標(biāo)系與參數(shù)方程 典型真題研析1.解:(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓.將x=cos,y=sin代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標(biāo)方程為2-2sin+1-a2=0.(2)曲線C1,C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組2-2sin+1-a2=0,=4cos.若0,則由方程組得16cos2-8sincos+1-a2=0,由已知tan=2,可得16cos2-8sincos=0,從而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.當(dāng)a=1時(shí),極點(diǎn)也為C1,C2的公共點(diǎn),在C3上,所以a=1.2.解:(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=k(x-2),消去參數(shù)m得l2的普通方程l2:y=1k(x+2).設(shè)P(x,y),由題設(shè)得y=k(x-2),y=1k(x+2),消去k得x2-y2=4(y0),所以C的普通方程為x2-y2=4(y0).(2)C的極坐標(biāo)方程為2(cos2-sin2)=4(0<<2,).聯(lián)立2(cos2-sin2)=4,(cos+sin)-2=0,得cos-sin=2(cos+sin).故tan=-13,從而cos2=910,sin2=110.代入2(cos2-sin2)=4得2=5,所以交點(diǎn)M的極徑為5. 考點(diǎn)考法探究解答1例1解:(1)在x+3y=53中,令x=cos,y=sin,得cos+3sin=53,化簡(jiǎn)得2sin+6=53,即為直線l的極坐標(biāo)方程.由=4sin得2=4sin,又2=x2+y2,y=sin,所以x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4,即為圓C的直角坐標(biāo)方程.(2)由題知A=4sin6=2,B=532sin(6+6)=5,所以|AB|=|A-B|=3.【自我檢測(cè)】解:(1)2=161+3cos2可變形為2+32cos2=16,又2=x2+y2,cos=x,x2+y2+3x2=16,曲線C的直角坐標(biāo)方程為x24+y216=1.(2)由已知和(1)可得M(2,0),N(0,4),設(shè)P(2cos,4sin),0,2,則S四邊形OMPN=SOMP+SONP=1224sin+1242cos=4sin+4cos=42sin+4,由0,2,得+44,34,于是42sin+442,當(dāng)且僅當(dāng)+4=2,即=4時(shí)取等號(hào),四邊形OMPN面積的最大值為42.解答2例2解:(1)因?yàn)?4sin=0,所以2=4sin,所以x2+y2=4y,即曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-2)2=4.直線l的參數(shù)方程為x=1+tcos34,y=tsin34(t為參數(shù)),即x=1-22t,y=22t(t為參數(shù)).(2)設(shè)點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得1-22t2+22t-22=4,整理得t2-32t+1=0,所以t1+t2=32,t1t2=1,所以t1>0,t2>0,所以|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=t1+t2=32.【自我檢測(cè)】解:(1)由=8sin+6得2=43sin+4cos,所以圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4x-43y=0,圓心C的坐標(biāo)為(2,23).(2) 證明:將x=1+tcos,y=3+tsin代入x2+y2-4x-43y=0,整理得t2-(23sin+2cos)t-12=0,設(shè)點(diǎn)A,B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1t2=-12,P(1,3),|PA|PB|=|t1t2|=12,為定值.解答3例3解:(1)由題知曲線C1的普通方程為x29+y2=1.由(cos-sin)=4及x=cos,y=sin得C2的直角坐標(biāo)方程為x-y-4=0.(2)設(shè)M(3cos,sin),結(jié)合圖像可知,|MN|的最小值即為點(diǎn)M到直線C2的距離的最小值.點(diǎn)M到直線C2的距離d=|3cos-sin-4|2=|10cos(+)-4|2,其中tan=13,當(dāng)cos(+)=1時(shí),d最小,即|MN|最小.此時(shí),3cos-sin=10,結(jié)合sin2+cos2=1可得cos=31010,sin=-1010.即此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為91010,-1010.【自我檢測(cè)】解:(1)因?yàn)閟in2-4cos=0,所以2sin2-4cos=0,所以y2=4x,即曲線C1的直角坐標(biāo)方程為y2=4x.因?yàn)閤=-1+2cos,y=2sin,所以(x+1)2+y2=4,即曲線C2的普通方程為(x+1)2+y2=4.(2)將直線l的參數(shù)方程x=12+22t,y=22t代入y2=4x,整理得t2-42t-4=0,設(shè)M,N兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=42,t1t2=-4,所以1|PM|+1|PN|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2|t1t2|=|t1-t2|t1t2|=(t1+t2)2-4t1t2|t1t2|=3.備選理由 在解決取值范圍問題時(shí)常用三角函數(shù),備用例1是對(duì)例3應(yīng)用的一個(gè)補(bǔ)充.例1配例3使用 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l經(jīng)過點(diǎn)P(-3,0),其傾斜角為,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為2-2cos-3=0.(1)若直線l與曲線C有公共點(diǎn),求傾斜角的取值范圍;(2)設(shè)M(x,y)為曲線C上任意一點(diǎn),求x+y的取值范圍.解:(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程2-2cos-3=0化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x-3=0,直線l的參數(shù)方程為x=-3+tcos,y=tsin(t為參數(shù)),將直線l的參數(shù)方程代入x2+y2-2x-3=0,整理得t2-8tcos+12=0,直線l與曲線C有公共點(diǎn),=64cos2-480,cos32或cos-32,又0,),的取值范圍是0,656,.(2)曲線C的直角坐標(biāo)方程x2+y2-2x-3=0可化為(x-1)2+y2=4,其參數(shù)方程為x=1+2cos,y=2sin(為參數(shù)).M(x,y)為曲線C上任意一點(diǎn),x+y=1+2cos+2sin=1+22sin+4,x+y的取值范圍是1-22,1+22.