《高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.3 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)案 新人教A版選修23》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.3 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)案 新人教A版選修23(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差
學(xué)習(xí)目標(biāo):1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念.2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差,并能解決一些實(shí)際問(wèn)題.(重點(diǎn))3.掌握方差的性質(zhì)以及兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差的求法,會(huì)利用公式求它們的方差.(難點(diǎn))
[自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知]
1.離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差
(1)定義:設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
則(xi-E(X))2描述了xi(i=1,2,…,n)相對(duì)于均值E(X)的偏離程度,而D(X)=為這些偏離程度的加權(quán)平均,刻畫(huà)
2、了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度.稱D(X)為隨機(jī)變量X的方差,其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.
(2)意義:隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越?。?
2.隨機(jī)變量的方差與樣本方差的關(guān)系
隨機(jī)變量的方差是總體的方差,它是一個(gè)常數(shù),樣本的方差則是隨機(jī)變量,是隨樣本的變化而變化的.對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,隨著樣本容量的增加,樣本的方差越來(lái)越接近于總體的方差.
3.服從兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的方差
(1)若X服從兩點(diǎn)分布,則D(X)=p(1-p);
(2)若X~B(n,p),則D(X)=np(1-p
3、).
4.離散型隨機(jī)變量方差的線性運(yùn)算性質(zhì)
設(shè)a,b為常數(shù),則D(aX+b)=a2D(X).
[基礎(chǔ)自測(cè)]
1.判斷(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“”)
(1)離散型隨機(jī)變量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值; ( )
(2)離散型隨機(jī)變量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平; ( )
(3)離散型隨機(jī)變量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波動(dòng)水平. ( )
(4)離散型隨機(jī)變量的方差越大,隨機(jī)變量越穩(wěn)定. ( )
[解析] (1) 因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平.
(2) 因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量ξ的方差D(ξ)反映了隨機(jī)變量偏離于期望的平均
4、程度.
(3)√ 由方差的意義可知.
(4) 離散型隨機(jī)變量的方差越大,說(shuō)明隨機(jī)變量的穩(wěn)定性越差,方差越小,穩(wěn)定性越好.
[答案] (1) (2) (3)√ (4)
2.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,且在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率P=0.5,則E(X)和D(X)分別為( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào):95032190】
A.0.25 0.5 B.0.5 0.75
C.0.5 0.25 D.1 0.75
C [E(X)=0.5,D(X)=0.5(1-0.5)=0.25.]
3.已知隨機(jī)變量ξ,D(ξ)=,則ξ的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)_______.
[ξ的標(biāo)準(zhǔn)差==.]
4.已知隨機(jī)變
5、量ξ的分布列如下表:
ξ
-1
0
1
P
則ξ的均值為_(kāi)_______,方差為_(kāi)_______.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):95032191】
- [均值E(ξ)=x1p1+x2p2+x3p3=(-1)+0+1=-;
方差D(ξ)=(x1-E(ξ))2p1+(x2-E(ξ))2p2+(x3-E(ξ))2p3=.]
[合 作 探 究攻 重 難]
求隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差
已知X的分布列如下:
X
-1
0
1
P
a
(1)求X2的分布列;
(2)計(jì)算X的方差;
(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.
[解] (1)由分布列的性質(zhì),知
6、++a=1,故a=,從而X2的分布列為
X2
0
1
P
(2)法一:(直接法)由(1)知a=,所以X的均值E(X)=(-1)+0+1=-.
故X的方差D(X)=++=.
法二:(公式法)由(1)知a=,所以X的均值E(X)=(-1)+0+1=-,X2的均值E(X2)=0+1=,所以X的方差D(X)=E(X2)-[E(X)]2=.
(3)因?yàn)閅=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11.
[規(guī)律方法] 方差的計(jì)算需要一定的運(yùn)算能力,公式的記憶不能出錯(cuò)!在隨機(jī)變量X2的均值比較好計(jì)算的情況下,運(yùn)用關(guān)系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2
7、不失為一種比較實(shí)用的方法.另外注意方差性質(zhì)的應(yīng)用,如D(aX+b)=a2D(X).
[跟蹤訓(xùn)練]
1.已知η的分布列為:
η
0
10
20
50
60
P
(1)求η的方差及標(biāo)準(zhǔn)差;
(2)設(shè)Y=2η-E(η),求D(Y).
[解] (1)∵E(η)=0+10+20+50+60=16,
D(η)=(0-16)2+(10-16)2+(20-16)2+(50-16)2+(60-16)2=384,
∴=8.
(2)∵Y=2η-E(η),
∴D(Y)=D(2η-E(η))
=22D(η)=4384=1 536.
兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的方差
8、 設(shè)X的分布列為P(X=k)=C(k=0,1,2,3,4,5),則D(3X)=( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào):95032192】
A.10 B.30
C.15 D.5
A [由P(X=k)=C(k=0,1,2,3,4,5)可知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布X~B
所以D(X)=5=,
D(3X)=9D(X)=10.]
母題探究:1.(變換條件、改變問(wèn)法)本例題改為隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p),且E(3X+2)=9.2,D(3X+2)=12.96,求二項(xiàng)分布的參數(shù)n,p的值.
[解] 由E(3X+2)=9.2,D(3X+2)=12.96及X~B(n,p)知
即解得
所以
9、二項(xiàng)分布的參數(shù)n=6,p=0.4.
2.(改變問(wèn)法)本例題條件不變,求E(3X+2).
[解] 由例題可知X~B
所以E(X)=5=.
故E(3X+2)=3E(X)+2=7.
[規(guī)律方法] 求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的關(guān)注點(diǎn)
(1)寫(xiě)出離散型隨機(jī)變量的分布列.
(2)正確應(yīng)用均值與方差的公式進(jìn)行計(jì)算.
(3)對(duì)于二項(xiàng)分布,關(guān)鍵是通過(guò)題設(shè)環(huán)境確定隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,然后直接應(yīng)用公式計(jì)算.
均值、方差的實(shí)際應(yīng)用
[探究問(wèn)題]
1.A,B兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零件,每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí),出次品的概率如下表:
A機(jī)床
次品數(shù)X1
0
1
2
3
P
10、
0.7
0.2
0.06
0.04
B機(jī)床
次品數(shù)X2
0
1
2
3
P
0.8
0.06
0.04
0.10
試求E(X1),E(X2).
[提示] E(X1)=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44.
E(X2)=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44.
2.在探究1中,由E(X1)和E(X2)的值能比較兩臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量嗎?為什么?
[提示] 不能.因?yàn)镋(X1)=E(X2).
3.在探究1中,試想利用什么指標(biāo)可以比較A、B兩臺(tái)機(jī)床加工質(zhì)量?
[提示] 利用樣本的方差.方差越小,加工的質(zhì)量越穩(wěn)定.
甲、乙兩名
11、射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ,η,已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán),且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ,η的分布列;
(2)求ξ,η的均值與方差,并以此比較甲、乙的射擊技術(shù).
【導(dǎo)學(xué)號(hào):95032193】
[思路探究] (1)由分布列的性質(zhì)先求出a和乙射中7環(huán)的概率,再列出ξ,η的分布列.
(2)要比較甲、乙兩射手的射擊水平,需先比較兩射手擊中環(huán)數(shù)的均值,然后再看其方差值.
[解] (1)由題意得:0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.
因
12、為乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.所以乙射中7環(huán)的概率為1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.
所以ξ,η的分布列分別為
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
(2)由(1)得:
E(ξ)=100.5+90.3+80.1+70.1=9.2;
E(η)=100.3+90.3+80.2+70.2=8.7;
D(ξ)=(10-9.2)20.5+(9-9.2)20.3+(8-9.2)20.1+(7-9.2)20.1=0.96;
D(η)=(10
13、-8.7)20.3+(9-8.7)20.3+(8-8.7)20.2+(7-8.7)20.2=1.21.
由于E(ξ)>E(η),D(ξ)
14、
[跟蹤訓(xùn)練]
2.有甲、乙兩名學(xué)生,經(jīng)統(tǒng)計(jì),他們?cè)诮獯鹜环輸?shù)學(xué)試卷時(shí),各自的成績(jī)?cè)?0分、90分、100分的概率分布大致如下表所示:
甲:
分?jǐn)?shù)X
80
90
100
概率P
0.2
0.6
0.2
乙:
分?jǐn)?shù)Y
80
90
100
概率P
0.4
0.2
0.4
試分析兩名學(xué)生的成績(jī)水平.
[解] 因?yàn)镋(X)=800.2+900.6+1000.2=90,
D(X)=(80-90)20.2+(90-90)20.6+(100-90)20.2=40,
E(Y)=800.4+900.2+1000.4=90,
D(Y)=(80-90)20.4+(9
15、0-90)20.2+(100-90)20.4=80,
即E(X)=E(Y),D(X)
16、.3+10.2=-0.3,
D(X)=0.5(-1+0.3)2+0.3(0+0.3)2+0.2(1+0.3)2=0.61.]
3.已知隨機(jī)變量X,D(10X)=,則X的方差為_(kāi)_______.
[D(10X)=100D(X)=,
∴D(X)=.]
4.有兩臺(tái)自動(dòng)包裝機(jī)甲與乙,包裝質(zhì)量分別為隨機(jī)變量X1,X2,已知E(X1)=E(X2),D(X1)>D(X2),則自動(dòng)包裝機(jī)________的質(zhì)量較好.
乙 [因?yàn)镋(X1)=E(X2),D(X1)>D(X2),故乙包裝機(jī)的質(zhì)量穩(wěn)定.]
5.為防止風(fēng)沙危害,某地政府決定建設(shè)防護(hù)綠化帶,種植楊樹(shù)、沙柳等植物.某人一次種植了n株沙柳,已
17、知各株沙柳成活與否是相互獨(dú)立的,成活率為p,設(shè)X為成活沙柳的株數(shù),已知E(X)=4,D(X)=,求n,p的值.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):95032195】
[解] 由題意知,X服從二項(xiàng)分布B(n,p),
由E(X)=np=4,D(X)=np(1-p)=,
得1-p=,
∴p=,n=6.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375