廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點規(guī)范練46 雙曲線 文.docx

考點規(guī)范練46雙曲線一、基礎(chǔ)鞏固1.若a>1,則雙曲線x2a2-y2=1的離心率的取值范圍是()A.(2,+)B.(2,2)C.(1,2)D.(1,2)答案C解析由題意得e2=c2a2=a2+1a2=1+1a2.因為a>1,所以1<1+1a2<2.所以1<e<2.故選C.2.當(dāng)雙曲線M:x2m2-y22m+6=1(-2m<0)的焦距取得最小值時,雙曲線M的漸近線方程為()A.y=2xB.y=22xC.y=2xD.y=12x答案C解析由題意知,c2=m2+2m+6=(m+1)2+5,當(dāng)m=-1時,焦距2c取得最小值,則雙曲線的方程為x2-y24=1,其漸近線方程為y=2x.3.(2018湖南湘潭模擬)若雙曲線y2a2-x29=1(a>0)的一條漸近線與直線y=13x垂直,則此雙曲線的實軸長為()A.2B.4C.18D.36答案C解析雙曲線的一條漸近線的方程為y=-a3x,所以-a313=-1,解得a=9,所以雙曲線的實軸長為2a=18.故選C.4.設(shè)橢圓C1的離心率為513,焦點在x軸上且長軸長為26,若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8,則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x242-y232=1B.x2132-y252=1C.x232-y242=1D.x2132-y2122=1答案A解析由題意知橢圓C1的焦點坐標(biāo)為F1(-5,0),F2(5,0),設(shè)曲線C2上的一點P,則|PF1|-|PF2|=8.由雙曲線的定義知a=4,b=3.故曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x242-y232=1.5.設(shè)F1,F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,雙曲線上存在一點P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,則該雙曲線的離心率為()A.2B.15C.4D.17答案D解析由雙曲線的定義知,(|PF1|-|PF2|)2=4a2,所以4a2=b2-3ab,即b2a2-3ba=4,解得ba=4ba=-1舍去.因為雙曲線的離心率e=ca=1+b2a2,所以e=17.故選D.6.已知雙曲線x2a2-y2b2=1的一個焦點為F(2,0),且雙曲線與圓(x-2)2+y2=1相切,則雙曲線的離心率為()A.32B.2C.3D.4答案B解析因為雙曲線x2a2-y2b2=1的一個焦點為F(2,0),所以c=2,因為雙曲線與圓(x-2)2+y2=1相切,所以圓心為F(2,0),半徑r=1.所以c-a=1,即a=1,所以雙曲線的離心率e=ca=2.7.(2018江蘇,8)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點F(c,0)到一條漸近線的距離為32c,則其離心率的值是.答案2解析雙曲線的漸近線為y=bax,即bxay=0.所以雙曲線的焦點F(c,0)到漸近線的距離為|bc0|a2+b2=bcc=b,解得b=32c,因此a2=c2-b2=c2-34c2=14c2,a=12c,e=2.8.(2018江西六校聯(lián)考)雙曲線C:x24-y2=1的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線交雙曲線左支于A,B兩點,則|AF2|+|BF2|的最小值為.答案9解析由雙曲線的定義,得|AF2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a2b2a+4a=212+8=9.9.設(shè)A,B分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右頂點,雙曲線的實軸長為43,焦點到漸近線的距離為3.(1)求雙曲線的方程;(2)已知直線y=33x-2與雙曲線的右支交于M,N兩點,且在雙曲線的右支上存在點D,使OM+ON=tOD,求t的值及點D的坐標(biāo).解(1)由題意知a=23,故可得一條漸近線方程為y=b23x,即bx-23y=0,所以|bc|b2+12=3.所以b2=3,所以雙曲線的方程為x212-y23=1.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),則x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.將直線方程代入雙曲線方程得x2-163x+84=0,則x1+x2=163,y1+y2=12.故x0y0=433,x0212-y023=1,解得x0=43,y0=3.由OM+ON=tOD,得(163,12)=(43t,3t),故t=4,點D的坐標(biāo)為(43,3).10.已知點M(-2,0),N(2,0),動點P滿足條件|PM|-|PN|=22,記動點P的軌跡為W.(1)求W的方程;(2)若A和B是W上的不同兩點,O是坐標(biāo)原點,求OAOB的最小值.解(1)由|PM|-|PN|=22知動點P的軌跡是以M,N為焦點的雙曲線的右支,實半軸長a=2.又焦距2c=4,所以虛半軸長b=c2-a2=2.所以W的方程為x22-y22=1(x2).(2)設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).當(dāng)ABx軸時,x1=x2,y1=-y2,從而OAOB=x1x2+y1y2=x12-y12=2.當(dāng)AB與x軸不垂直時,設(shè)直線AB的方程為y=kx+m(k1),與W的方程聯(lián)立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,則x1+x2=2km1-k2,x1x2=m2+2k2-1,所以O(shè)AOB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)(m2+2)k2-1+2k2m21-k2+m2=2k2+2k2-1=2+4k2-1.又因為x1x2>0,所以k2-1>0.所以O(shè)AOB>2.綜上所述,當(dāng)ABx軸時,OAOB取得最小值2.二、能力提升11.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F,點A在雙曲線的漸近線上,OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點),則雙曲線的方程為()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y2=1D.x2-y23=1答案D解析雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F(c,0),點A在雙曲線的漸近線上,且OAF是邊長為2的等邊三角形,不妨設(shè)點A在漸近線y=bax上,c=2,ba=tan60,a2+b2=c2,解得a=1,b=3.雙曲線的方程為x2-y23=1.故選D.12.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F,以F為圓心和雙曲線的漸近線相切的圓與雙曲線的一個交點為M,且MF與雙曲線的實軸垂直,則雙曲線C的離心率為()A.52B.5C.2D.2答案C解析設(shè)F(c,0),漸近線方程為y=bax,可得點F到漸近線的距離為bca2+b2=b,即有圓F的半徑為b.令x=c,可得y=bc2a2-1=b2a.由題意可得b2a=b,即a=b,則c=a2+b2=2a.即離心率e=ca=2.13.已知定點F1(-2,0),F2(2,0),N是圓O:x2+y2=1上任意一點,點F1關(guān)于點N的對稱點為M,線段F1M的垂直平分線與直線F2M相交于點P,則點P的軌跡是()A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓答案B解析如圖,連接ON,由題意可得|ON|=1,且N為MF1的中點,又O為F1F2的中點,|MF2|=2.點F1關(guān)于點N的對稱點為M,線段F1M的垂直平分線與直線F2M相交于點P,由垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|=|PF1|,|PF2|-|PF1|=|PF2|-|PM|=|MF2|=2<|F1F2|,由雙曲線的定義可得,點P的軌跡是以F1,F2為焦點的雙曲線.14.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線的右支上,且|PF1|=4|PF2|,則此雙曲線的離心率e的最大值為.答案53解析由定義,知|PF1|-|PF2|=2a.又|PF1|=4|PF2|,|PF1|=83a,|PF2|=23a.在PF1F2中,由余弦定理,得cosF1PF2=649a2+49a2-4c2283a23a=178-98e2.要求e的最大值,即求cosF1PF2的最小值,當(dāng)cosF1PF2=-1時,得e=53,即e的最大值為53.15.已知雙曲線C:x2-y2=1及直線l:y=kx-1.(1)若l與C有兩個不同的交點,求實數(shù)k的取值范圍;(2)若l與C交于A,B兩點,O是坐標(biāo)原點,且AOB的面積為2,求實數(shù)k的值.解(1)雙曲線C與直線l有兩個不同的交點,則方程組x2-y2=1,y=kx-1有兩個不同的實數(shù)根,整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.故1-k20,=4k2+8(1-k2)>0,解得-2<k<2,且k1.雙曲線C與直線l有兩個不同的交點時,k的取值范圍是(-2,-1)(-1,1)(1,2).(2)設(shè)交點A(x1,y1),B(x2,y2),直線l與y軸交于點D(0,-1),由(1)知,C與l聯(lián)立的方程組可化簡為(1-k2)x2+2kx-2=0.故x1+x2=-2k1-k2,x1x2=-21-k2.當(dāng)A,B在雙曲線的一支上且|x1|>|x2|時,SOAB=SOAD-SOBD=12(|x1|-|x2|)=12|x1-x2|;當(dāng)A,B在雙曲線的兩支上且x1>x2時,SOAB=SODA+SOBD=12(|x1|+|x2|)=12|x1-x2|.故SOAB=12|x1-x2|=2,即(x1-x2)2=(22)2,即-2k1-k22+81-k2=8,解得k=0或k=62.又-2<k<2,且k1,所以當(dāng)k=0或k=62時,AOB的面積為2.16.如圖所示的曲線是由兩個關(guān)于x軸對稱的半圓和一個雙曲線的一部分組成的圖形,其中上半個圓所在圓的方程是x2+y2-4y-4=0,雙曲線的左、右頂點A,B是該圓與x軸的交點,雙曲線與半圓相交于與x軸平行的直徑的兩端點.(1)試求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)記雙曲線的左、右焦點分別為F1,F2,試在曲線上求點P,使得F1PF2是直角.解(1)上半圓所在圓的方程是x2+y2-4y-4=0,則圓心為(0,2),半徑為22.則下半圓所在圓的圓心為(0,-2),半徑為22.雙曲線的左、右頂點A,B是該圓與x軸的交點,即為(-2,0),(2,0),即a=2.由于雙曲線與半圓相交于與x軸平行的直徑的兩端點,則令y=2,解得x=22.即交點為(22,2).設(shè)雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),則8a2-4b2=1,且a=2,解得b=2.則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24-y24=1.(2)由(1)知雙曲線的左、右焦點分別為F1(-22,0),F2(22,0).若F1PF2是直角,則設(shè)P(x,y),則有x2+y2=8.由x2+y2=8,x2-y2=4,解得x2=6,y2=2.由x2+y2=8,x2+(y2)2=8,解得y=1,不滿足題意,舍去.故在曲線上所求點P的坐標(biāo)為(6,2),(-6,2),(-6,-2),(6,-2).三、高考預(yù)測17.已知雙曲線x2a2-y2b2=1的左焦點為F,右頂點為A,虛軸的一個端點為B,若ABF為等腰三角形,則該雙曲線的離心率為()A.1+3B.5C.3D.2答案A解析由題意得F(-c,0),A(a,0),不妨設(shè)B(0,b),則|BF|=b2+c2>c,|AF|=a+c>c,|AB|=a2+b2=c,因為ABF為等腰三角形,所以只能是|AF|=|BF|,a+c=c2+b2.a2+c2+2ac=c2+c2-a2.c2-2a2-2ac=0,即e2-2e-2=0,e=1+3(舍去負(fù)值),選A.