（天津?qū)Ｓ茫?020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.1 直線方程與圓的方程精練.docx

9.1直線方程與圓的方程【真題典例】挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測(cè)熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)1.直線的傾斜角、斜率與方程1.理解直線的傾斜角和斜率的概念2.掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式3.掌握確定兩直線位置關(guān)系的幾何要素以及求直線方程的幾種形式4.了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系2017北京,14直線的斜率統(tǒng)計(jì)圖的理解2.直線與直線的位置關(guān)系1.能根據(jù)兩條直線的斜率判斷兩直線的位置關(guān)系2.能用解方程組的方法求兩相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式,會(huì)求兩平行直線間的距離2013天津文,5直線與直線的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系3.圓的方程1.掌握確定圓的幾何要素2.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程3.會(huì)用待定系數(shù)法和直接法求圓的方程2017天津文,12圓的方程拋物線2016天津文,12點(diǎn)到直線距離公式分析解讀從高考試題來(lái)看,本節(jié)主要考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法,一是考查直線的傾斜角與斜率的關(guān)系、斜率公式以及直線方程的求解;二是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程的互化以及利用待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法求圓的方程,考查形式以選擇題和填空題為主.同時(shí)圓的方程作為由直線方程向曲線方程的過(guò)渡,蘊(yùn)含著解析法的解題思路和解題方法,是解析法的基礎(chǔ),因此,以圓為載體考查解析法的基本思想和方法是歷年高考考查的重點(diǎn).破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一直線的傾斜角、斜率與方程1.已知直線l過(guò)定點(diǎn)(0,1),則“直線l與圓(x-2)2+y2=4相切”是“直線l的斜率為34”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案B2.過(guò)點(diǎn)M(1,2)的直線l將圓(x-2)2+y2=9分成兩段弧,當(dāng)其中的劣弧最短時(shí),直線l的方程是.答案x-2y+3=0考點(diǎn)二直線與直線的位置關(guān)系3.已知圓的方程為(x+1)2+y2=2,則圓心到直線y=x+3的距離為()A.1B.2C.2D.22答案B4.已知直線3x+(1-a)y+1=0與直線x-y+2=0平行,則a的值為()A.4B.-4C.2D.-2答案A5.已知aR,則“直線y=ax-1與y=-4ax+2垂直”是“a=12”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案B考點(diǎn)三圓的方程6.若直線x+y+a=0是圓x2+y2-2y=0的一條對(duì)稱軸,則a的值為()A.1B.-1C.2D.-2答案B7.(2015課標(biāo),14,5分)一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓x216+y24=1的三個(gè)頂點(diǎn),且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.答案x-322+y2=254煉技法【方法集訓(xùn)】方法1直線方程的求法1.已知直線l過(guò)圓x2+(y-3)2=4的圓心,且與直線x+y+1=0垂直,則l的方程是()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案D方法2兩直線平行與垂直問(wèn)題的解決策略2.已知直線3x+4y+3=0與直線6x+my-14=0平行,則它們之間的距離是()A.2B.8C.175D.1710答案A3.已知直線l1:ax+y-1=0,直線l2:x-y-3=0,若直線l1的傾斜角為4,則a=;若l1l2,則a=;若l1l2,則兩平行直線間的距離為.答案-1;1;22方法3關(guān)于對(duì)稱問(wèn)題的求解策略4.若圓C的半徑為1,其圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.(x-1)2+y2=1B.x2+(y+1)2=1C.x2+(y-1)2=1D.(x+1)2+y2=1答案C方法4圓的方程的求法5.(2018天津文,12,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為.答案x2+y2-2x=06.(2016江蘇改編,18,16分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點(diǎn)A(2,4).(1)設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點(diǎn),且BC=OA,求直線l的方程.解析圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-6)2+(y-7)2=25,所以圓心M(6,7),半徑為5.(1)由圓心N在直線x=6上,可設(shè)N(6,y0).因?yàn)閳AN與x軸相切,與圓M外切,所以0<y0<7,于是圓N的半徑為y0,從而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因?yàn)橹本€lOA,所以直線l的斜率為4-02-0=2.設(shè)直線l的方程為y=2x+m,即2x-y+m=0,則圓心M到直線l的距離d=|26-7+m|5=|m+5|5.因?yàn)锽C=OA=22+42=25,而MC2=d2+BC22,所以25=(m+5)25+5,解得m=5或m=-15.故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.評(píng)析本題主要考查直線方程、圓的方程、直線與直線、直線與圓的位置關(guān)系,考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及運(yùn)算求解能力.過(guò)專題【五年高考】A組自主命題天津卷題組1.(2013天津文,5,5分)已知過(guò)點(diǎn)P(2,2)的直線與圓(x-1)2+y2=5相切,且與直線ax-y+1=0垂直,則a=()A.-12B.1C.2D.12答案C2.(2016天津文,12,5分)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,點(diǎn)M(0,5)在圓C上,且圓心到直線2x-y=0的距離為455,則圓C的方程為.答案(x-2)2+y2=9B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組1.(2016課標(biāo),4,5分)圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=()A.-43B.-34C.3D.2答案A2.(2015課標(biāo),7,5分)過(guò)三點(diǎn)A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于M,N兩點(diǎn),則|MN|=()A.26B.8C.46D.10答案C3.(2014廣東,10,5分)曲線y=e-5x+2在點(diǎn)(0,3)處的切線方程為.答案5x+y-3=04.(2014江蘇,11,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若曲線y=ax2+bx(a,b為常數(shù))過(guò)點(diǎn)P(2,-5),且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線7x+2y+3=0平行,則a+b的值是.答案-35.(2018課標(biāo),19,12分)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求過(guò)點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.解析(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+16>0,故x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2.由題設(shè)知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),或k=1,因此l的方程為y=x-1.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0),則y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.方法總結(jié)有關(guān)拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題,常用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解,在求解過(guò)程中應(yīng)注重利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體運(yùn)算.一般地,求直線和圓的方程時(shí),利用待定系數(shù)法求解.6.(2017課標(biāo),20,12分)已知拋物線C:y2=2x,過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A,B兩點(diǎn),圓M是以線段AB為直徑的圓.(1)證明:坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上;(2)設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P(4,-2),求直線l與圓M的方程.解析(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由x=my+2,y2=2x可得y2-2my-4=0,則y1y2=-4.又x1=y122,x2=y222,故x1x2=(y1y2)24=4.因此OA的斜率與OB的斜率之積為y1x1y2x2=-44=-1,所以O(shè)AOB.故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圓心M的坐標(biāo)為(m2+2,m),圓M的半徑r=(m2+2)2+m2.由于圓M過(guò)點(diǎn)P(4,-2),因此APBP=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-12.當(dāng)m=1時(shí),直線l的方程為x-y-2=0,圓心M的坐標(biāo)為(3,1),圓M的半徑為10,圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10.當(dāng)m=-12時(shí),直線l的方程為2x+y-4=0,圓心M的坐標(biāo)為94,-12,圓M的半徑為854,圓M的方程為x-942+y+122=8516.解后反思解直線與圓錐曲線相交問(wèn)題時(shí),常聯(lián)立方程,消元得到一個(gè)一元二次方程,然后利用根與系數(shù)的關(guān)系處理.以某線段為直徑的圓的方程,也可以用該線段的兩端點(diǎn)坐標(biāo)(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.疑難突破將直徑所對(duì)的圓周角為90轉(zhuǎn)化為兩向量數(shù)量積等于0,進(jìn)而由根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體運(yùn)算求解.7.(2015課標(biāo),20,12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C:y=x24與直線l:y=kx+a(a>0)交于M,N兩點(diǎn).(1)當(dāng)k=0時(shí),分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程;(2)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有OPM=OPN?說(shuō)明理由.解析(1)由題設(shè)可得M(2a,a),N(-2a,a)或M(-2a,a),N(2a,a).又y=x2,故y=x24在x=2a處的導(dǎo)數(shù)值為a,C在點(diǎn)(2a,a)處的切線方程為y-a=a(x-2a),即ax-y-a=0.y=x24在x=-2a處的導(dǎo)數(shù)值為-a,C在點(diǎn)(-2a,a)處的切線方程為y-a=-a(x+2a),即ax+y+a=0.故所求切線方程為ax-y-a=0和ax+y+a=0.(5分)(2)存在符合題意的點(diǎn),證明如下:設(shè)P(0,b)為符合題意的點(diǎn),M(x1,y1),N(x2,y2),直線PM,PN的斜率分別為k1,k2.將y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.從而k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2+(a-b)(x1+x2)x1x2=k(a+b)a.當(dāng)b=-a時(shí),有k1+k2=0,則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ),故OPM=OPN,所以點(diǎn)P(0,-a)符合題意.(12分)C組教師專用題組1.(2016四川,8,5分)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn),M是線段PF上的點(diǎn),且|PM|=2|MF|,則直線OM的斜率的最大值為()A.33B.23C.22D.1答案C2.(2015北京,2,5分)圓心為(1,1)且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案D3.(2017江蘇,13,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-12,0),B(0,6),點(diǎn)P在圓O:x2+y2=50上.若PAPB20,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是.答案-52,14.(2015湖北文,16,5分)如圖,已知圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0),與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)圓C在點(diǎn)B處的切線在x軸上的截距為.答案(1)(x-1)2+(y-2)2=2(2)-2-1【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共10分)1.(2018天津河西三模,4)設(shè)aR,則“a=3”是“直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a-1)y=a-7平行”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案C2.(2018天津十二區(qū)縣二模,4)已知m為實(shí)數(shù),直線l1:mx+y-1=0,l2:(3m-2)x+my-2=0,則“m=1”是“l(fā)1l2”的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件答案A二、填空題(每小題5分,共20分)3.(2017天津和平四模,12)經(jīng)過(guò)圓x2+2x+y2=0的圓心,且與直線x+y-2=0垂直的直線方程是.答案x-y+1=04.(2017天津耀華中學(xué)二模,10)已知圓的方程為x2+y2-6x-8y=0,設(shè)該圓過(guò)點(diǎn)(3,5)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為.答案2065.(2017天津一中3月月考,12)圓心在直線x-2y+7=0上的圓C與x軸交于A(-2,0)、B(-4,0)兩點(diǎn),則圓C的方程為.答案(x+3)2+(y-2)2=56.(2018天津河?xùn)|一模,12)已知A(0,3),B(1,0),點(diǎn)P為圓x2+y2+2x=0上的任意一點(diǎn),則PAB面積的最大值為.答案3+1