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3.1 導(dǎo)數(shù)的概念及運算
【真題典例】
挖命題
【考情探究】
考點
內(nèi)容解讀
5年考情
預(yù)測熱度
考題示例
考向
關(guān)聯(lián)考點
1.導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義
1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景
2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義
2017天津文,10
導(dǎo)數(shù)的幾何意義
直線方程與截距
★★★
2.導(dǎo)數(shù)的運算
1.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=C(C為常數(shù)),y=x,y=1x,y=x2,y=x3,y=x的導(dǎo)數(shù)
2.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
2018天津文,10
2016天津文,10
導(dǎo)數(shù)的運算
指數(shù)函數(shù)
★★★
分析解讀 本節(jié)主要是對導(dǎo)數(shù)概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其運算的考查,以導(dǎo)數(shù)的運算公式和運算法則為基礎(chǔ),以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為重點.
1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義最常見的是求過曲線上某點的切線的斜率、方程、斜率與傾斜角的關(guān)系、切點的坐標,或以平行、垂直直線的斜率間的關(guān)系為載體求字母的取值等.
2.導(dǎo)數(shù)的運算是每年必考的內(nèi)容,一般不單獨考查,而在考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用時與單調(diào)性、極值或最值綜合考查.
3.本節(jié)內(nèi)容在高考中分值為5分左右,屬于容易題.
破考點
【考點集訓(xùn)】
考點一 導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義
1.(2018課標Ⅰ,5,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為( )
A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x
答案 D
2.(2017課標Ⅰ文,14,5分)曲線y=x2+1x在點(1,2)處的切線方程為 .
答案 x-y+1=0
考點二 導(dǎo)數(shù)的運算
3.(2013江西,13,5分)設(shè)函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo),且f(ex)=x+ex,則f(1)= .
答案 2
煉技法
【方法集訓(xùn)】
方法1 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法
1.曲線f(x)=x2+ax+1在點(1,f(1))處切線的傾斜角為3π4,則實數(shù)a= ( )
A.1 B.-1 C.7 D.-7
答案 C
方法2 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程
2.(2015陜西,15,5分)設(shè)曲線y=ex在點(0,1)處的切線與曲線y=1x(x>0)上點P處的切線垂直,則P的坐標為 .
答案 (1,1)
3.(2016北京,18,13分)設(shè)函數(shù)f(x)=xea-x+bx,曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y=(e-1)x+4.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
解析 (1)因為f(x)=xea-x+bx,所以f(x)=(1-x)ea-x+b.
依題設(shè),知f(2)=2e+2,f (2)=e-1,
即2ea-2+2b=2e+2,-ea-2+b=e-1.
解得a=2,b=e.
(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.
由f(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知,f(x)與1-x+ex-1同號.
令g(x)=1-x+ex-1,則g(x)=-1+ex-1.
所以,當x∈(-∞,1)時,g(x)<0,g(x)在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞減;
當x∈(1,+∞)時,g(x)>0,g(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.
故g(1)=1是g(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上的最小值,
從而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).
綜上可知,f(x)>0,x∈(-∞,+∞).故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞).
方法總結(jié) (1)曲線在某點處的切線滿足兩個條件:一是過該點,二是斜率(若斜率存在)等于函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)值.(2)討論函數(shù)的單調(diào)性可轉(zhuǎn)化為討論導(dǎo)函數(shù)的符號變化,因此常將導(dǎo)函數(shù)作為一個新函數(shù)來研究其值域(最值),利用所得結(jié)果確定原函數(shù)的單調(diào)性.
過專題
【五年高考】
A組 自主命題天津卷題組
考點一 導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義
1.(2017天津文,10,5分)已知a∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=ax-lnx的圖象在點(1,f(1))處的切線為l,則l在y軸上的截距為 .
答案 1
2.(2017天津文,19,14分)設(shè)a,b∈R,|a|≤1.已知函數(shù)f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知函數(shù)y=g(x)和y=ex的圖象在公共點(x0,y0)處有相同的切線.
(i)求證:f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于0;
(ii)若關(guān)于x的不等式g(x)≤ex在區(qū)間[x0-1,x0+1]上恒成立,求b的取值范圍.
解析 (1)由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,
可得f(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)[x-(4-a)].
令f(x)=0,解得x=a,或x=4-a.
由|a|≤1,得a<4-a.
當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如表:
x
(-∞,a)
(a,4-a)
(4-a,+∞)
f(x)
+
-
+
f(x)
↗
↘
↗
所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,a),(4-a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(a,4-a).
(2)(i)證明:因為g(x)=ex[f(x)+f(x)],由題意知g(x0)=ex0,g(x0)=ex0,所以f(x0)ex0=ex0,ex0[f(x0)+f (x0)]=ex0,
解得f(x0)=1,f (x0)=0.
所以,f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于0.
(ii)因為g(x)≤ex,x∈[x0-1,x0+1],g(x)=exf(x),所以由ex>0,可得f(x)≤1.又因為f(x0)=1,f(x0)=0,故x0為f(x)的極大值點,
由(1)知x0=a.由于|a|≤1,故a+1<4-a,
由(1)知f(x)在(a-1,a)內(nèi)單調(diào)遞增,在(a,a+1)內(nèi)單調(diào)遞減,故當x0=a時,f(x)≤f(a)=1在[a-1,a+1]上恒成立,從而g(x)≤ex在[x0-1,x0+1]上恒成立.
由f(a)=a3-6a2-3a(a-4)a+b=1,
得b=2a3-6a2+1,-1≤a≤1.
令t(x)=2x3-6x2+1,x∈[-1,1],
所以t(x)=6x2-12x,
令t(x)=0,解得x=2(舍去),或x=0.
因為t(-1)=-7,t(1)=-3,t(0)=1,
因此,t(x)的值域為[-7,1].
所以,b的取值范圍是[-7,1].
思路分析 (1)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)及極值點,通過列表判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出單調(diào)區(qū)間即可.
(2)(i)對函數(shù)y=g(x)和y=ex求導(dǎo),根據(jù)已知條件得方程組g(x0)=ex0,g(x0)=ex0.解方程組可得出f(x0)=0.
(ii)不等式g(x)≤ex在區(qū)間[x0-1,x0+1]上恒成立,由ex>0,可得f(x)≤1.根據(jù)(1)可知f(x)≤f(a)=1在[a-1,a+1]上恒成立.由f(a)=1,得b=2a3-6a2+1,-1≤a≤1,利用導(dǎo)數(shù)即可求出b的取值范圍.
評析本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和方法.考查用函數(shù)思想解決問題的能力.
3.(2013天津文,20,14分)設(shè)a∈[-2,0],已知函數(shù)f(x)=x3-(a+5)x, x≤0,x3-a+32x2+ax, x>0.
(1)證明f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;
(2)設(shè)曲線y=f(x)在點Pi(xi,f(xi))(i=1,2,3)處的切線相互平行,且x1x2x3≠0.
證明x1+x2+x3>-13.
解析 (1)設(shè)函數(shù)f1(x)=x3-(a+5)x(x≤0),
f2(x)=x3-a+32x2+ax(x>0),
①f1(x)=3x2-(a+5),由a∈[-2,0],
從而當-1
1時,f2(x)>0.
即函數(shù)f2(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
綜合①,②及f1(0)=f2(0),可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
(2)由(1)知f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間0,a+36內(nèi)單調(diào)遞減,
在區(qū)間a+36,+∞內(nèi)單調(diào)遞增.
因為曲線y=f(x)在點Pi(xi,f(xi))(i=1,2,3)處的切線相互平行,從而x1,x2,x3互不相等,且f(x1)=f(x2)=
f(x3).不妨設(shè)x1<0-2a+53+a+33,
設(shè)t=2a+53,則a=3t2-52,
因為a∈[-2,0],
所以t∈33,153,
故x1+x2+x3>-t+3t2+16=12(t-1)2-13≥-13,
即x1+x2+x3>-13.
評析本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算及其幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查分類討論思想、化歸思想、函數(shù)思想.考查綜合分析問題和解決問題的能力.
考點二 導(dǎo)數(shù)的運算
1.(2018天津文,10,5分)已知函數(shù)f(x)=exlnx,f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f(1)的值為 .
答案 e
2.(2016天津文,10,5分)已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex,f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f(0)的值為 .
答案 3
B組 統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組
1.(2014課標Ⅱ,8,5分)設(shè)曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x,則a=( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 D
2.(2018課標Ⅱ,13,5分)曲線y=2ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為 .
答案 y=2x
3.(2018課標Ⅲ,14,5分)曲線y=(ax+1)ex在點(0,1)處的切線的斜率為-2,則a= .
答案 -3
4.(2016課標Ⅲ,15,5分)已知f(x)為偶函數(shù),當x<0時,f(x)=ln(-x)+3x,則曲線y=f(x)在點(1,-3)處的切線方程是 .
答案 y=-2x-1
5.(2016課標Ⅱ,16,5分)若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b= .
答案 1-ln2
6.(2014課標Ⅰ,21,12分)設(shè)函數(shù)f(x)=aexlnx+bex-1x,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=e(x-1)+2.
(1)求a,b;
(2)證明:f(x)>1.
解析 (1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f(x)=aexlnx+axex-bx2ex-1+bxex-1.
由題意可得f(1)=2,f(1)=e.
故a=1,b=2.
(2)由(1)知,f(x)=exlnx+2xex-1,從而f(x)>1等價于xlnx>xe-x-2e.
設(shè)函數(shù)g(x)=xlnx,則g(x)=1+lnx.
所以當x∈0,1e時,g(x)<0;當x∈1e,+∞時,
g(x)>0.
故g(x)在0,1e上單調(diào)遞減,在1e,+∞上單調(diào)遞增,從而g(x)在(0,+∞)上的最小值為g1e=-1e.
設(shè)函數(shù)h(x)=xe-x-2e,則h(x)=e-x(1-x).
所以當x∈(0,1)時,h(x)>0;當x∈(1,+∞)時,h(x)<0.
故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,從而h(x)在(0,+∞)上的最大值為h(1)=-1e.
綜上,當x>0時,g(x)>h(x),即f(x)>1.
評析本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值問題,考查等價轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理能力.
C組 教師專用題組
1.(2016山東,10,5分)若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點,使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是( )
A.y=sinx B.y=lnx C.y=ex D.y=x3
答案 A
2.(2013課標Ⅰ,21,12分)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2.
(1)求a,b,c,d的值;
(2)若x≥-2時,f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.
解析 (1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f(0)=4,g(0)=4.
而f(x)=2x+a,g(x)=ex(cx+d+c),
故b=2,d=2,a=4,d+c=4.
從而a=4,b=2,c=2,d=2.
(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).
設(shè)函數(shù)F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,則
F(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).
由題設(shè)可得F(0)≥0,即k≥1.
令F(x)=0,得x1=-lnk,x2=-2.
(i)若1≤k0.即F(x)在(-2,x1)上單調(diào)遞減,在(x1,+∞)上單調(diào)遞增.故F(x)在[-2,+∞)上的最小值為F(x1).而F(x1)=2x1+2-x12-4x1-2=-x1(x1+2)≥0.
故當x≥-2時,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.
(ii)若k=e2,則F(x)=2e2(x+2)(ex-e-2).
從而當x>-2時,F(x)>0,
即F(x)在(-2,+∞)上單調(diào)遞增.
而F(-2)=0,故當x≥-2時,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.
(iii)若k>e2,則F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.從而當x≥-2時,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.
綜上,k的取值范圍是[1,e2].
評析本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了分類與整合、函數(shù)與方程的思想;結(jié)合特值限定參數(shù)的范圍可減少分類的情況,有利于提高效率,利用兩根大小作為討論的分界點是解題關(guān)鍵.
【三年模擬】
一、選擇題(每小題5分,共5分)
1.(2018天津靜海一中模擬,8)已知f(x)+f(x)=x+1,且f(0)=1,f(x)0),g(x)=bx2+2b-1.
(1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(1,c)處具有公共切線,求a,b的值;
(2)當a=1-2b時,若函數(shù)f(x)+g(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個零點,求a的取值范圍;
(3)當a=1-2b=1時,求函數(shù)f(x)+g(x)在區(qū)間[t,t+3]上的最大值.
解析 (1)由已知得f(x)=x2-a,g(x)=2bx.
因為曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(1,c)處具有公共切線,
所以f(1)=g(1),且f(1)=g(1),
即13-a=b+2b-1,且1-a=2b,
解得a=13,b=13.
(2)設(shè)h(x)=f(x)+g(x),
當a=1-2b時,h(x)=13x3+1-a2x2-ax-a,
h(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a),
令h(x)=0,得x=-1或a(a>0).
當x變化時,h(x),h(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,a)
a
(a,+∞)
h(x)
+
0
-
0
+
h(x)
↗
極大值
↘
極小值
↗
所以函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),(a,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,a),
因為a>0,
所以h(x)在區(qū)間(-2,-1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減,
要使函數(shù)h(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個零點,則
h(-2)<0,h(-1)>0,h(0)<0,解得01,h(x)在區(qū)間[t,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間[1,t+3]上單調(diào)遞增,
所以h(x)在區(qū)間[t,t+3]上的最大值為h(t)與h(t+3)中的較大者.
由h(t+3)-h(t)=3(t+1)(t+2)知,當-1≤t<1時,h(t+3)≥h(t),
所以h(x)在區(qū)間[t,t+3]上的最大值為h(t+3)=13t3+3t2+8t+5;
④當t≥1時,h(x)在區(qū)間[t,t+3]上單調(diào)遞增,
所以h(x)在區(qū)間[t,t+3]上的最大值為h(t+3)=13t3+3t2+8t+5.
綜上,當t<-4或t≥-1時,f(x)+g(x)在區(qū)間[t,t+3]上的最大值為13t3+3t2+8t+5;當-4≤t<-1時,f(x)+g(x)在區(qū)間[t,t+3]上的最大值為-13.
解題分析 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程、函數(shù)的零點及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想,考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力,綜合性強,難度大.
7.(2018天津紅橋二模,20)已知函數(shù)f(x)=a2x2+ax-lnx.
(1)當a=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)g(x)=a2x2-f(x),且函數(shù)g(x)在x=1處的切線為l,直線l∥l,且l在y軸上的截距為1,求證:無論a取何實數(shù),函數(shù)g(x)的圖象恒在直線l的下方;
(3)已知點A(1,g(1)),Q(x0,g(x0)),且當x0>1時,直線QA的斜率恒小于2,求實數(shù)a的取值范圍.
解析 (1)a=1時,f(x)=x2+x-lnx,
f(x)=2x+1-1x=(x+1)(2x-1)x(x>0),令f(x)=0,得x=12,
∴x>0時,f(x)與f(x)的變化情況如下表:
x
0,12
12
12,+∞
f(x)
-
0
+
f(x)
↘
極小值
↗
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為12,+∞,單調(diào)遞減區(qū)間為0,12.
(2)證明:∵g(x)=a2x2-f(x)=lnx-ax,∴g(x)=1x-a,x>0,
∴g(1)=1-a,∴直線l的斜率kl=1-a.
∵l∥l,且l在y軸上的截距為1,
∴直線l的方程為y=(1-a)x+1.
令h(x)=g(x)-[(1-a)x+1]=lnx-x-1(x>0),
h(x)=1x-1=1-xx,
當x∈(0,1)時,h(x)>0,當x∈(1,+∞)時,h(x)<0,
∴函數(shù)h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴當x=1時,h(x)取得極大值,極大值為h(1)=-2,
∴在(0,+∞)上,h(x)取得最大值h(1)=-2,
∴h(x)≤-2<0(?a∈R,?x>0),
∴無論a取何實數(shù),函數(shù)g(x)的圖象恒在直線l的下方.
(3)∵A(1,-a),Q(x0,lnx0-ax0),
∴kQA=lnx0-ax0+ax0-1=lnx0x0-1-a,
∴當x0>1時,lnx0x0-1-a<2,即lnx0-(a+2)(x0-1)<0恒成立,
令r(x)=lnx-(a+2)(x-1)(x>1),
則r(x)=1x-(a+2),
∵x>1,∴0<1x<1.
①當a≤-2時,a+2≤0,此時r(x)>0,
∴r(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,有r(x)>r(1)=0,不滿足題意;
②當-20,當x∈1a+2,+∞時,r(x)<0,
∴至少存在t∈1,1a+2,使得r(t)>r(1)=0,不滿足題意;
③當a≥-1時,a+2≥1,此時r(x)<0,
∴r(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,r(x)0)有唯一實數(shù)解,求m的值.
解析 (1)依題意,知f(x)的定義域為(0,+∞),當a=b=12時,f(x)=lnx-14x2-12x,
f(x)=1x-12x-12=-(x+2)(x-1)2x,
令f(x)=0,得x=1或x=-2(舍).
當00,此時f(x)單調(diào)遞增;
當x>1時,f(x)<0,此時f(x)單調(diào)遞減.
∴f(x)的最大值為f(1)=-34.
(2)由題意知F(x)=lnx+ax,x∈(0,3],F(x)=1x-ax2=x-ax2,則有k=F(x0)=x0-ax02≤12在(0,3]上恒成立,
∴a≥-12x02+x0max,x0∈(0,3].
當x0=1時,-12x02+x0取得最大值12,
∴a≥12.
(3)當a=0,b=-1時,f(x)=lnx+x,
∵方程2mf(x)=x2有唯一實數(shù)解,
∴x2-2mlnx-2mx=0有唯一實數(shù)解.
設(shè)g(x)=x2-2mlnx-2mx,
則g(x)=2x2-2mx-2mx(x>0).
∵m>0,x>0,設(shè)g(x)=0,
即x2-mx-m=0的兩根分別為x1,x2,
∴x1=m-m2+4m2<0(舍去),x2=m+m2+4m2.
當x∈(0,x2)時,g(x)<0,g(x)在(0,x2)上單調(diào)遞減;
當x∈(x2,+∞)時,g(x)>0,g(x)在(x2,+∞)上單調(diào)遞增;
當x=x2時,g(x2)=0,g(x)取到最小值g(x2).
∵g(x)=0有唯一解,∴g(x2)=0.
則g(x2)=0,g(x2)=0,即x22-2mlnx2-2mx2=0,x22-mx2-m=0.
∴2mlnx2+mx2-m=0.∵m>0,∴2lnx2+x2-1=0(*),
設(shè)h(x)=2lnx+x-1,x>0,則h(x)=2x+1,∵當x>0時,h(x)>0,∴h(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),∴h(x)=0至多有一解.
∵h(1)=0,∴方程(*)的解為x2=1,即m+m2+4m2=1,解得m=12.
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