（天津?qū)Ｓ茫?020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 3.1 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算精練.docx

3.1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算【真題典例】挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)1.導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義2017天津文,10導(dǎo)數(shù)的幾何意義直線方程與截距2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=C(C為常數(shù)),y=x,y=1x,y=x2,y=x3,y=x的導(dǎo)數(shù)2.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則2018天津文,102016天津文,10導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算指數(shù)函數(shù)分析解讀本節(jié)主要是對導(dǎo)數(shù)概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其運(yùn)算的考查,以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式和運(yùn)算法則為基礎(chǔ),以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為重點(diǎn).1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義最常見的是求過曲線上某點(diǎn)的切線的斜率、方程、斜率與傾斜角的關(guān)系、切點(diǎn)的坐標(biāo),或以平行、垂直直線的斜率間的關(guān)系為載體求字母的取值等.2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是每年必考的內(nèi)容,一般不單獨(dú)考查,而在考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用時(shí)與單調(diào)性、極值或最值綜合考查.3.本節(jié)內(nèi)容在高考中分值為5分左右,屬于容易題.破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義1.(2018課標(biāo),5,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x答案D2.(2017課標(biāo)文,14,5分)曲線y=x2+1x在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為.答案x-y+1=0考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算3.(2013江西,13,5分)設(shè)函數(shù)f(x)在(0,+)內(nèi)可導(dǎo),且f(ex)=x+ex,則f(1)=.答案2煉技法【方法集訓(xùn)】方法1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法1.曲線f(x)=x2+ax+1在點(diǎn)(1,f(1)處切線的傾斜角為34,則實(shí)數(shù)a=()A.1B.-1C.7D.-7答案C方法2利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程2.(2015陜西,15,5分)設(shè)曲線y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y=1x(x>0)上點(diǎn)P處的切線垂直,則P的坐標(biāo)為.答案(1,1)3.(2016北京,18,13分)設(shè)函數(shù)f(x)=xea-x+bx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程為y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.解析(1)因?yàn)閒(x)=xea-x+bx,所以f(x)=(1-x)ea-x+b.依題設(shè),知f(2)=2e+2,f (2)=e-1,即2ea-2+2b=2e+2,-ea-2+b=e-1.解得a=2,b=e.(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知,f(x)與1-x+ex-1同號.令g(x)=1-x+ex-1,則g(x)=-1+ex-1.所以,當(dāng)x(-,1)時(shí),g(x)<0,g(x)在區(qū)間(-,1)上單調(diào)遞減;當(dāng)x(1,+)時(shí),g(x)>0,g(x)在區(qū)間(1,+)上單調(diào)遞增.故g(1)=1是g(x)在區(qū)間(-,+)上的最小值,從而g(x)>0,x(-,+).綜上可知,f(x)>0,x(-,+).故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,+).方法總結(jié)(1)曲線在某點(diǎn)處的切線滿足兩個(gè)條件:一是過該點(diǎn),二是斜率(若斜率存在)等于函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值.(2)討論函數(shù)的單調(diào)性可轉(zhuǎn)化為討論導(dǎo)函數(shù)的符號變化,因此常將導(dǎo)函數(shù)作為一個(gè)新函數(shù)來研究其值域(最值),利用所得結(jié)果確定原函數(shù)的單調(diào)性.過專題【五年高考】A組自主命題天津卷題組考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義1.(2017天津文,10,5分)已知aR,設(shè)函數(shù)f(x)=ax-lnx的圖象在點(diǎn)(1,f(1)處的切線為l,則l在y軸上的截距為.答案12.(2017天津文,19,14分)設(shè)a,bR,|a|1.已知函數(shù)f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)已知函數(shù)y=g(x)和y=ex的圖象在公共點(diǎn)(x0,y0)處有相同的切線.(i)求證:f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于0;(ii)若關(guān)于x的不等式g(x)ex在區(qū)間x0-1,x0+1上恒成立,求b的取值范圍.解析(1)由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得f(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)x-(4-a).令f(x)=0,解得x=a,或x=4-a.由|a|1,得a<4-a.當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如表:x(-,a)(a,4-a)(4-a,+)f(x)+-+f(x)所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,a),(4-a,+),單調(diào)遞減區(qū)間為(a,4-a).(2)(i)證明:因?yàn)間(x)=exf(x)+f(x),由題意知g(x0)=ex0,g(x0)=ex0,所以f(x0)ex0=ex0,ex0f(x0)+f (x0)=ex0,解得f(x0)=1,f (x0)=0.所以,f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于0.(ii)因?yàn)間(x)ex,xx0-1,x0+1,g(x)=exf(x),所以由ex>0,可得f(x)1.又因?yàn)閒(x0)=1,f(x0)=0,故x0為f(x)的極大值點(diǎn),由(1)知x0=a.由于|a|1,故a+1<4-a,由(1)知f(x)在(a-1,a)內(nèi)單調(diào)遞增,在(a,a+1)內(nèi)單調(diào)遞減,故當(dāng)x0=a時(shí),f(x)f(a)=1在a-1,a+1上恒成立,從而g(x)ex在x0-1,x0+1上恒成立.由f(a)=a3-6a2-3a(a-4)a+b=1,得b=2a3-6a2+1,-1a1.令t(x)=2x3-6x2+1,x-1,1,所以t(x)=6x2-12x,令t(x)=0,解得x=2(舍去),或x=0.因?yàn)閠(-1)=-7,t(1)=-3,t(0)=1,因此,t(x)的值域?yàn)?7,1.所以,b的取值范圍是-7,1.思路分析(1)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)及極值點(diǎn),通過列表判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出單調(diào)區(qū)間即可.(2)(i)對函數(shù)y=g(x)和y=ex求導(dǎo),根據(jù)已知條件得方程組g(x0)=ex0,g(x0)=ex0.解方程組可得出f(x0)=0.(ii)不等式g(x)ex在區(qū)間x0-1,x0+1上恒成立,由ex>0,可得f(x)1.根據(jù)(1)可知f(x)f(a)=1在a-1,a+1上恒成立.由f(a)=1,得b=2a3-6a2+1,-1a1,利用導(dǎo)數(shù)即可求出b的取值范圍.評析本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和方法.考查用函數(shù)思想解決問題的能力.3.(2013天津文,20,14分)設(shè)a-2,0,已知函數(shù)f(x)=x3-(a+5)x,x0,x3-a+32x2+ax,x>0.(1)證明f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+)內(nèi)單調(diào)遞增;(2)設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)Pi(xi,f(xi)(i=1,2,3)處的切線相互平行,且x1x2x30.證明x1+x2+x3>-13.解析(1)設(shè)函數(shù)f1(x)=x3-(a+5)x(x0),f2(x)=x3-a+32x2+ax(x>0),f1(x)=3x2-(a+5),由a-2,0,從而當(dāng)-1<x0時(shí),f1(x)=3x2-(a+5)<3-a-50,所以函數(shù)f1(x)在區(qū)間(-1,0內(nèi)單調(diào)遞減.f2(x)=3x2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1),由于a-2,0,所以當(dāng)0<x<1時(shí),f2(x)<0;當(dāng)x>1時(shí),f2(x)>0.即函數(shù)f2(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+)內(nèi)單調(diào)遞增.綜合,及f1(0)=f2(0),可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)由(1)知f(x)在區(qū)間(-,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間0,a+36內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間a+36,+內(nèi)單調(diào)遞增.因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)Pi(xi,f(xi)(i=1,2,3)處的切線相互平行,從而x1,x2,x3互不相等,且f(x1)=f(x2)=f(x3).不妨設(shè)x1<0<x2<x3,由3x12-(a+5)=3x22-(a+3)x2+a=3x32-(a+3)x3+a,可得3x22-3x32-(a+3)(x2-x3)=0,解得x2+x3=a+33,從而0<x2<a+36<x3.設(shè)g(x)=3x2-(a+3)x+a,則ga+36<g(x2)<g(0)=a.由3x12-(a+5)=g(x2)<a,解得-2a+53<x1<0,所以x1+x2+x3>-2a+53+a+33,設(shè)t=2a+53,則a=3t2-52,因?yàn)閍-2,0,所以t33,153,故x1+x2+x3>-t+3t2+16=12(t-1)2-13-13,即x1+x2+x3>-13.評析本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查分類討論思想、化歸思想、函數(shù)思想.考查綜合分析問題和解決問題的能力.考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.(2018天津文,10,5分)已知函數(shù)f(x)=exlnx,f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f(1)的值為.答案e2.(2016天津文,10,5分)已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex,f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f(0)的值為.答案3B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組1.(2014課標(biāo),8,5分)設(shè)曲線y=ax-ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x,則a=()A.0B.1C.2D.3答案D2.(2018課標(biāo),13,5分)曲線y=2ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.答案y=2x3.(2018課標(biāo),14,5分)曲線y=(ax+1)ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為-2,則a=.答案-34.(2016課標(biāo),15,5分)已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=ln(-x)+3x,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,-3)處的切線方程是.答案y=-2x-15.(2016課標(biāo),16,5分)若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b=.答案1-ln26.(2014課標(biāo),21,12分)設(shè)函數(shù)f(x)=aexlnx+bex-1x,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)證明:f(x)>1.解析(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+),f(x)=aexlnx+axex-bx2ex-1+bxex-1.由題意可得f(1)=2,f(1)=e.故a=1,b=2.(2)由(1)知,f(x)=exlnx+2xex-1,從而f(x)>1等價(jià)于xlnx>xe-x-2e.設(shè)函數(shù)g(x)=xlnx,則g(x)=1+lnx.所以當(dāng)x0,1e時(shí),g(x)<0;當(dāng)x1e,+時(shí),g(x)>0.故g(x)在0,1e上單調(diào)遞減,在1e,+上單調(diào)遞增,從而g(x)在(0,+)上的最小值為g1e=-1e.設(shè)函數(shù)h(x)=xe-x-2e,則h(x)=e-x(1-x).所以當(dāng)x(0,1)時(shí),h(x)>0;當(dāng)x(1,+)時(shí),h(x)<0.故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+)上單調(diào)遞減,從而h(x)在(0,+)上的最大值為h(1)=-1e.綜上,當(dāng)x>0時(shí),g(x)>h(x),即f(x)>1.評析本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值問題,考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理能力.C組教師專用題組1.(2016山東,10,5分)若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點(diǎn),使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是()A.y=sinxB.y=lnxC.y=exD.y=x3答案A2.(2013課標(biāo),21,12分)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x-2時(shí),f(x)kg(x),求k的取值范圍.解析(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f(0)=4,g(0)=4.而f(x)=2x+a,g(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.從而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).設(shè)函數(shù)F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,則F(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由題設(shè)可得F(0)0,即k1.令F(x)=0,得x1=-lnk,x2=-2.(i)若1k<e2,則-2<x10.從而當(dāng)x(-2,x1)時(shí),F(x)<0;當(dāng)x(x1,+)時(shí),F(x)>0.即F(x)在(-2,x1)上單調(diào)遞減,在(x1,+)上單調(diào)遞增.故F(x)在-2,+)上的最小值為F(x1).而F(x1)=2x1+2-x12-4x1-2=-x1(x1+2)0.故當(dāng)x-2時(shí),F(x)0,即f(x)kg(x)恒成立.(ii)若k=e2,則F(x)=2e2(x+2)(ex-e-2).從而當(dāng)x>-2時(shí),F(x)>0,即F(x)在(-2,+)上單調(diào)遞增.而F(-2)=0,故當(dāng)x-2時(shí),F(x)0,即f(x)kg(x)恒成立.(iii)若k>e2,則F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.從而當(dāng)x-2時(shí),f(x)kg(x)不可能恒成立.綜上,k的取值范圍是1,e2.評析本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了分類與整合、函數(shù)與方程的思想;結(jié)合特值限定參數(shù)的范圍可減少分類的情況,有利于提高效率,利用兩根大小作為討論的分界點(diǎn)是解題關(guān)鍵.【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共5分)1.(2018天津靜海一中模擬,8)已知f(x)+f(x)=x+1,且f(0)=1,f(x)<ax+1有且僅有一個(gè)整數(shù)解,則正數(shù)a的取值范圍是()A.1e<a12+12e2B.12+12e2<a23+13e3C.1+1e2<a<2+1e2D.2e+12<a<2+1e2答案A二、填空題(每小題5分,共20分)2.(2017天津河西一模,12)設(shè)函數(shù)f(x)在(0,+)內(nèi)可導(dǎo),且f(ex)=x+ex,則f(1)=.答案23.(2017天津河北一模,12)已知f(x)=ex-e,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(x)處的切線方程是.答案y=ex-e4.(2017天津和平二模,14)已知f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=ln(-x)+2x,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程是.答案x-y+1=05.(2018天津一中3月月考,10)已知函數(shù)f(x)=2f(1)lnx-x,則f(x)的極大值為.答案2ln2-2三、解答題(共30分)6.(2017天津河西二模,20)設(shè)函數(shù)f(x)=13x3-ax(a>0),g(x)=bx2+2b-1.(1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線,求a,b的值;(2)當(dāng)a=1-2b時(shí),若函數(shù)f(x)+g(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍;(3)當(dāng)a=1-2b=1時(shí),求函數(shù)f(x)+g(x)在區(qū)間t,t+3上的最大值.解析(1)由已知得f(x)=x2-a,g(x)=2bx.因?yàn)榍€y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線,所以f(1)=g(1),且f(1)=g(1),即13-a=b+2b-1,且1-a=2b,解得a=13,b=13.(2)設(shè)h(x)=f(x)+g(x),當(dāng)a=1-2b時(shí),h(x)=13x3+1-a2x2-ax-a,h(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a),令h(x)=0,得x=-1或a(a>0).當(dāng)x變化時(shí),h(x),h(x)的變化情況如下表:x(-,-1)-1(-1,a)a(a,+)h(x)+0-0+h(x)極大值極小值所以函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,-1),(a,+);單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,a),因?yàn)閍>0,所以h(x)在區(qū)間(-2,-1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減,要使函數(shù)h(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),則h(-2)<0,h(-1)>0,h(0)<0,解得0<a<13,所以a的取值范圍是0,13.(3)設(shè)h(x)=f(x)+g(x),當(dāng)a=1-2b=1時(shí),h(x)=13x3-x-1.由(2)可知,當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,-1),(1,+);單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1).當(dāng)t+3<-1,即t<-4時(shí),h(x)在區(qū)間t,t+3上單調(diào)遞增,所以h(x)在區(qū)間t,t+3上的最大值為h(t+3)=13(t+3)3-(t+3)-1=13t3+3t2+8t+5;當(dāng)t<-1且-1t+3<1,即-4t<-2時(shí),h(x)在區(qū)間t,-1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間-1,t+3上單調(diào)遞減,所以h(x)在區(qū)間t,t+3上的最大值為h(-1)=-13;當(dāng)t<-1且t+31,即-2t<-1時(shí),t+3<2且h(2)=h(-1)=-13,所以h(x)在區(qū)間t,t+3上的最大值為h(-1)=-13;當(dāng)-1t<1時(shí),t+32>1,h(x)在區(qū)間t,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間1,t+3上單調(diào)遞增,所以h(x)在區(qū)間t,t+3上的最大值為h(t)與h(t+3)中的較大者.由h(t+3)-h(t)=3(t+1)(t+2)知,當(dāng)-1t<1時(shí),h(t+3)h(t),所以h(x)在區(qū)間t,t+3上的最大值為h(t+3)=13t3+3t2+8t+5;當(dāng)t1時(shí),h(x)在區(qū)間t,t+3上單調(diào)遞增,所以h(x)在區(qū)間t,t+3上的最大值為h(t+3)=13t3+3t2+8t+5.綜上,當(dāng)t<-4或t-1時(shí),f(x)+g(x)在區(qū)間t,t+3上的最大值為13t3+3t2+8t+5;當(dāng)-4t<-1時(shí),f(x)+g(x)在區(qū)間t,t+3上的最大值為-13.解題分析本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程、函數(shù)的零點(diǎn)及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想,考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識分析解決問題的能力,綜合性強(qiáng),難度大.7.(2018天津紅橋二模,20)已知函數(shù)f(x)=a2x2+ax-lnx.(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)g(x)=a2x2-f(x),且函數(shù)g(x)在x=1處的切線為l,直線ll,且l在y軸上的截距為1,求證:無論a取何實(shí)數(shù),函數(shù)g(x)的圖象恒在直線l的下方;(3)已知點(diǎn)A(1,g(1),Q(x0,g(x0),且當(dāng)x0>1時(shí),直線QA的斜率恒小于2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析(1)a=1時(shí),f(x)=x2+x-lnx,f(x)=2x+1-1x=(x+1)(2x-1)x(x>0),令f(x)=0,得x=12,x>0時(shí),f(x)與f(x)的變化情況如下表:x0,121212,+f(x)-0+f(x)極小值函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為12,+,單調(diào)遞減區(qū)間為0,12.(2)證明:g(x)=a2x2-f(x)=lnx-ax,g(x)=1x-a,x>0,g(1)=1-a,直線l的斜率kl=1-a.ll,且l在y軸上的截距為1,直線l的方程為y=(1-a)x+1.令h(x)=g(x)-(1-a)x+1=lnx-x-1(x>0),h(x)=1x-1=1-xx,當(dāng)x(0,1)時(shí),h(x)>0,當(dāng)x(1,+)時(shí),h(x)<0,函數(shù)h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+)上單調(diào)遞減,當(dāng)x=1時(shí),h(x)取得極大值,極大值為h(1)=-2,在(0,+)上,h(x)取得最大值h(1)=-2,h(x)-2<0(aR,x>0),無論a取何實(shí)數(shù),函數(shù)g(x)的圖象恒在直線l的下方.(3)A(1,-a),Q(x0,lnx0-ax0),kQA=lnx0-ax0+ax0-1=lnx0x0-1-a,當(dāng)x0>1時(shí),lnx0x0-1-a<2,即lnx0-(a+2)(x0-1)<0恒成立,令r(x)=lnx-(a+2)(x-1)(x>1),則r(x)=1x-(a+2),x>1,0<1x<1.當(dāng)a-2時(shí),a+20,此時(shí)r(x)>0,r(x)在(1,+)上單調(diào)遞增,有r(x)>r(1)=0,不滿足題意;當(dāng)-2<a<-1時(shí),0<a+2<1,當(dāng)x1,1a+2時(shí),r(x)>0,當(dāng)x1a+2,+時(shí),r(x)<0,至少存在t1,1a+2,使得r(t)>r(1)=0,不滿足題意;當(dāng)a-1時(shí),a+21,此時(shí)r(x)<0,r(x)在(1,+)上單調(diào)遞減,r(x)<r(1)=0,滿足題意.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是-1,+).8.(2018天津和平三模,20)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-12ax2-bx.(1)當(dāng)a=b=12時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值;(2)令F(x)=f(x)+12ax2+bx+ax(0<x3),若其圖象上的任意一點(diǎn)P(x0,y0)處切線的斜率k12恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)當(dāng)a=0,b=-1時(shí),方程x2=2mf(x)(其中m>0)有唯一實(shí)數(shù)解,求m的值.解析(1)依題意,知f(x)的定義域?yàn)?0,+),當(dāng)a=b=12時(shí),f(x)=lnx-14x2-12x,f(x)=1x-12x-12=-(x+2)(x-1)2x,令f(x)=0,得x=1或x=-2(舍).當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)>0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減.f(x)的最大值為f(1)=-34.(2)由題意知F(x)=lnx+ax,x(0,3,F(x)=1x-ax2=x-ax2,則有k=F(x0)=x0-ax0212在(0,3上恒成立,a-12x02+x0max,x0(0,3.當(dāng)x0=1時(shí),-12x02+x0取得最大值12,a12.(3)當(dāng)a=0,b=-1時(shí),f(x)=lnx+x,方程2mf(x)=x2有唯一實(shí)數(shù)解,x2-2mlnx-2mx=0有唯一實(shí)數(shù)解.設(shè)g(x)=x2-2mlnx-2mx,則g(x)=2x2-2mx-2mx(x>0).m>0,x>0,設(shè)g(x)=0,即x2-mx-m=0的兩根分別為x1,x2,x1=m-m2+4m2<0(舍去),x2=m+m2+4m2.當(dāng)x(0,x2)時(shí),g(x)<0,g(x)在(0,x2)上單調(diào)遞減;當(dāng)x(x2,+)時(shí),g(x)>0,g(x)在(x2,+)上單調(diào)遞增;當(dāng)x=x2時(shí),g(x2)=0,g(x)取到最小值g(x2).g(x)=0有唯一解,g(x2)=0.則g(x2)=0,g(x2)=0,即x22-2mlnx2-2mx2=0,x22-mx2-m=0.2mlnx2+mx2-m=0.m>0,2lnx2+x2-1=0(*),設(shè)h(x)=2lnx+x-1,x>0,則h(x)=2x+1,當(dāng)x>0時(shí),h(x)>0,h(x)在(0,+)上是增函數(shù),h(x)=0至多有一解.h(1)=0,方程(*)的解為x2=1,即m+m2+4m2=1,解得m=12.