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第七章 平面解析幾何
考點(diǎn)測(cè)試45 直線的方程
高考概覽
考綱研讀
1．理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式
2．能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直
3．掌握確定直線位置的幾何要素
4．掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式等)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系
一、基礎(chǔ)小題
1．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一條直線，則參數(shù)m滿足的條件是( )
A．m≠－ B．m≠0
C．m≠0且m≠1 D．m≠1
答案 D
解析 由解得m＝1，故m≠1時(shí)方程表示一條直線．
2．直線xsin＋ycos＝0的傾斜角α是( )
A．－ B． C． D．
答案 D
解析 ∵tanα＝－＝－tan＝tan，α∈[0，π)，∴α＝．
3．過點(diǎn)(－1,2)且傾斜角為30的直線方程為( )
A．x－3y＋6＋＝0 B．x－3y－6＋＝0
C．x＋3y＋6＋＝0 D．x＋3y－6＋＝0
答案 A
解析 ∵k＝tan30＝，∴直線方程為y－2＝(x＋1)．即x－3y＋6＋＝0．故選A．
4．已知直線l1：(k－3)x＋(5－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0垂直，則k的值為( )
A．1或3 B．1或5 C．1或4 D．1或2
答案 C
解析 由題意可得，(k－3)2(k－3)＋(5－k)(－2)＝0，整理得k2－5k＋4＝0，解得k＝1或k＝4．故選C．
5．如圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則( )
A．k1
α3，所以00，在y軸上的截距－>0，故直線經(jīng)過一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限．故選C．
7．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與直線x＋y－＝0關(guān)于x軸對(duì)稱，則直線l的傾斜角為( )
A． B． C． D．
答案 B
解析 直線的斜截式方程為y＝－x＋，即直線的斜率k＝tanα＝－，即α＝，所以直線l的傾斜角為，故選B．
8．在下列四個(gè)命題中，正確的有( )
①坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率；
②直線的傾斜角的取值范圍為[0，180]；
③若一直線的斜率為tanα，則此直線的傾斜角為α；
④若一直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanα．
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
答案 A
解析 當(dāng)傾斜角α＝90時(shí)，其斜率不存在，故①④不正確；直線的傾斜角α的取值范圍為[0，180)，故②不正確；直線的斜率k＝tan210這是可以的，此時(shí)傾斜角α＝30而不是210，故③不正確．故選A．
9．直線x＋(a2＋1)y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是( )
A．0， B．，π
C．0，∪，π D．，∪，π
答案 B
解析 ∵直線的斜率k＝－，∴－1≤k<0，則傾斜角的取值范圍是，π．
10．直線2x－my＋1－3m＝0，當(dāng)m變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過定點(diǎn)( )
A． B．
C． D．
答案 D
解析 ∵當(dāng)m變動(dòng)時(shí)，(2x＋1)－m(y＋3)＝0恒成立，∴2x＋1＝0，y＋3＝0，∴x＝－，y＝－3，定點(diǎn)為．故選D．
11．設(shè)點(diǎn)A(－2,3)，B(3,2)，若直線ax＋y＋2＝0與線段AB沒有交點(diǎn)，則a的取值范圍是( )
A．∪
B．
C．
D．∪
答案 B
解析 直線ax＋y＋2＝0恒過點(diǎn)M(0，－2)，且斜率為－a，∵kMA＝＝－，kMB＝＝，
畫圖可知－a>－且－a<，∴a∈．
12．已知直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)a＝________．
答案 1或－2
解析 顯然a＝0不符合題意，當(dāng)a≠0時(shí)，令x＝0，則直線l在y軸上的截距為2＋a；令y＝0，得直線l在x軸上的截距為1＋．依題意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2．
二、高考小題
13．(2013四川高考)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是________．
答案 (2,4)
解析 由已知得kAC＝＝2，kBD＝＝－1，所以直線AC的方程為y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0，①
直線BD的方程為y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0，②
聯(lián)立①②解得
所以直線AC與直線BD的交點(diǎn)為P(2,4)，此點(diǎn)即為所求點(diǎn)．
因?yàn)閨PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AC|＋|BD|，
取異于P點(diǎn)的任一點(diǎn)P′．
則|P′A|＋|P′B|＋|P′C|＋|P′D|
＝(|P′A|＋|P′C|)＋(|P′B|＋|P′D|)
>|AC|＋|BD|＝|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|．
故P點(diǎn)就是到點(diǎn)A，B，C，D的距離之和最小的點(diǎn)．故應(yīng)填(2,4)．
14．(2014四川高考)設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x＋my＝0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx－y－m＋3＝0交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA||PB|的最大值是________．
答案 5
解析 易知A(0,0)，B(1,3)，且PA⊥PB，∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，∴|PA||PB|≤＝5(當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|＝時(shí)取“＝”)．
三、模擬小題
15．(2018重慶一診)若過點(diǎn)P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－2,1) B．(－1,2)
C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 ∵過點(diǎn)P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角，∴直線的斜率小于0，即<0，即<0，解得－20，cosθ<0，
∴sinθ－cosθ＝，?、?
由①②解得∴tanθ＝－2，即l的斜率為－2，故選D．
21．(2018江蘇調(diào)研)已知經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程為________．
答案 2x－3y＝0或x＋y－5＝0
解析 設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，若a＝0，即l過點(diǎn)(0,0)和(3,2)，
∴l(xiāng)的方程為y＝x，即2x－3y＝0．
若a≠0，則設(shè)l的方程為＋＝1，
∵l過點(diǎn)(3,2)，∴＋＝1，∴a＝5，
∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0，
綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0．
22．(2019滄州月考)已知直線y＝x＋k與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積不小于1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析 令y＝0，則x＝－2k．令x＝0，則y＝k．故直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S＝|k||－2k|＝k2．由題意知，三角形的面積不小于1，可得k2≥1，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是k≥1或k≤－1．
一、高考大題
本考點(diǎn)在近三年高考中未涉及此題型．
二、模擬大題
1．(2018山西長治月考)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC邊的中點(diǎn)N在x軸上，求：
(1)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)直線MN的方程．
解 (1)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)，則有
＝0，＝0．
∴x＝－5，y＝－3，
即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－5，－3)．
(2)由題意知，M，N(1,0)，
∴直線MN的方程為x－＝1，
即5x－2y－5＝0．
2．(2018四川達(dá)州月考)直線l過點(diǎn)P(1,4)，分別交x軸的正方向和y軸的正方向于A，B兩點(diǎn)．
(1)當(dāng)|PA||PB|最小時(shí)，求l的方程；
(2)當(dāng)|OA|＋|OB|最小時(shí)，求l的方程．
解 依題意，l的斜率存在，且斜率為負(fù)．
設(shè)l：y－4＝k(x－1)(k<0)．
令y＝0，可得A；
令x＝0，可得B(0,4－k)．
(1)|PA||PB|＝
＝－(1＋k2)＝－4≥8．(注意k<0)
∴當(dāng)且僅當(dāng)＝k且k<0，
即k＝－1時(shí)，|PA||PB|取最小值．
這時(shí)l的方程為x＋y－5＝0．
(2)|OA|＋|OB|＝＋(4－k)＝5－≥9．
∴當(dāng)且僅當(dāng)k＝且k<0，即k＝－2時(shí)，|OA|＋|OB|取最小值．這時(shí)l的方程為2x＋y－6＝0．
3．(2018福建華安月考)設(shè)直線l的方程為(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．
(1)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程；
(2)若a>－1，直線l與x，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OMN面積取最小值時(shí)直線l的方程．
解 (1)當(dāng)直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，該直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0，此時(shí)a＋2＝0，解得a＝－2，此時(shí)直線l的方程為－x＋y＝0，即x－y＝0；當(dāng)直線l不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，即a≠－2且a≠－1時(shí)，由直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等可得＝2＋a，解得a＝0，此時(shí)直線l的方程為x＋y－2＝0．
所以直線l的方程為x－y＝0或x＋y－2＝0．
(2)由直線方程可得M，N(0,2＋a)，
因?yàn)閍>－1，
所以S△OMN＝(2＋a)
＝＝
≥＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)a＋1＝，即a＝0時(shí)等號(hào)成立．
此時(shí)直線l的方程為x＋y－2＝0．
4．(2018福建漳州月考)在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)．光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P(如圖)．若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，求AP的長？
解 以AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，
由題意可知B(4,0)，C(0，4)，A(0，0)，則直線BC的方程為x＋y－4＝0，
設(shè)P(t,0)(0
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平面解析幾何
考點(diǎn)測(cè)試45
直線的方程
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