2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 第2講 選修4-5 不等式選講學(xué)案.docx
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2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 第2講 選修4-5 不等式選講學(xué)案.docx
第2講選修4-5 不等式選講考向預(yù)測(cè)本部分主要考查絕對(duì)值不等式的解法求含絕對(duì)值的函數(shù)的最值及求含參數(shù)的絕對(duì)值不等式中的參數(shù)的取值范圍,不等式的證明等,結(jié)合集合的運(yùn)算、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、恒成立問(wèn)題及基本不等式,絕對(duì)值不等式的應(yīng)用成為命題的熱點(diǎn),主要考查基本運(yùn)算能力與推理論證能力及數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想1絕對(duì)值不等式的性質(zhì)定理1:如果a,b是實(shí)數(shù),則|ab|a|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí),等號(hào)成立定理2:如果a,b,c是實(shí)數(shù),那么|ac|ab|bc|,當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時(shí),等號(hào)成立2|axb|c,|axb|c(c>0)型不等式的解法(1)|axb|ccaxbc(2)|axb|caxbc或axbc3|xa|xb|c,|xa|xb|c(c>0)型不等式的解法(1)利用絕對(duì)值不等式的幾何意義直觀求解(2)利用零點(diǎn)分段法求解(3)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解4基本不等式定理1:設(shè)a,bR,則a2b22ab當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí),等號(hào)成立定理2:如果a,b為正數(shù),則,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí),等號(hào)成立定理3:如果a,b,c為正數(shù),則,當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí),等號(hào)成立定理4:(一般形式的算術(shù)幾何平均不等式)如果a1,a2,an為n個(gè)正數(shù),則,當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí),等號(hào)成立熱點(diǎn)一絕對(duì)值不等式的解法與最值問(wèn)題【例1】(2019肇慶一模)已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍解(1)不等式,即.可得,或或,解得,所以不等式的解集為.(2),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),兩處等號(hào)同時(shí)成立,所以,解得或,實(shí)數(shù)a的取值范圍是探究提高1解絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào),常用的零點(diǎn)分段法的一般步驟:求零點(diǎn);劃分區(qū)間,去絕對(duì)值符號(hào);分段解不等式;求各段的并集此外,還常用絕對(duì)值的幾何意義,結(jié)合數(shù)軸直觀求解2不等式恒成立問(wèn)題,存在性問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題解決【訓(xùn)練1】(2017鄭州三模)已知不等式|xm|<|x|的解集為(1,)(1)求實(shí)數(shù)m的值;(2)若不等式<<對(duì)x(0,)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)由|xm|<|x|,得|xm|2<|x|2,即2mx>m2,又不等式|xm|<|x|的解集為(1,),則1是方程2mxm2的解,解得m2(m0舍去)(2)m2,不等式<<對(duì)x(0,)恒成立等價(jià)于不等式a5<|x1|x2|<a2對(duì)x(0,)恒成立設(shè)f(x)|x1|x2|,當(dāng)0<x<2時(shí),f(x)在(0,2)上是增函數(shù),1<f(x)<3,當(dāng)x2時(shí),f(x)3因此函數(shù)f(x)的值域?yàn)?1,3從而原不等式等價(jià)于解得1<a4所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,4熱點(diǎn)二不等式的證明【例2】(2018雅禮中學(xué))已知定義在上的函數(shù)的最小值為(1)求的值;(2)若,是正實(shí)數(shù),且滿足,求證:解(1)因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,所以的最小值等于3,即;(2)證明:由(1)知,又因?yàn)?,是正?shí)數(shù),所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立探究提高當(dāng)要證的不等式較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí),可用分析法來(lái)尋找證明途徑,使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆如果待證命題是否定性命題、唯一性命題或以“至少”“至多”等方式給出的,則考慮用反證法【訓(xùn)練2】(2015全國(guó)卷)設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且abcd,證明:(1)若ab>cd,則>;(2)>是|ab|<|cd|的充要條件證明(1)a,b,c,d為正數(shù),且abcd,欲證>,只需證明()2>()2,也就是證明ab2>cd2,只需證明>,即證ab>cd由于ab>cd,因此>(2)若|ab|<|cd|,則(ab)2<(cd)2,即(ab)24ab<(cd)24cdabcd,所以ab>cd由(1)得>若>,則()2>()2,ab2>cd2abcd,所以ab>cd于是(ab)2(ab)24ab<(cd)24cd(cd)2因此|ab|<|cd|綜上,>是|ab|<|cd|的充要條件1(2018全國(guó)I卷)已知(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若時(shí)不等式成立,求的取值范圍2(2018全國(guó)II卷)設(shè)函數(shù)(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若,求的取值范圍1(2016全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x),M為不等式f(x)<2的解集(1)求M;(2)證明:當(dāng)a,bM時(shí),|ab|<|1ab|2(2017長(zhǎng)郡中學(xué)二模)設(shè)函數(shù)f(x)|2x1|x2|(1)解不等式f(x)>0;(2)若x0R,使得f(x0)2m2<4m,求實(shí)數(shù)m的取值范圍1(2017石家莊三模)在平面直角坐標(biāo)系中,定義點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)之間的“直角距離”為L(zhǎng)(P,Q)|x1x2|y1y2|,已知A(x,1),B(1,2),C(5,2)三點(diǎn)(1)若L(A,B)>L(A,C),求x的取值范圍;(2)當(dāng)xR時(shí),不等式L(A,B)tL(A,C)恒成立,求t的最小值2(2018福建聯(lián)考)已知不等式的解集為()求的值;()若,求證:參考答案1【解題思路】(1)將代入函數(shù)解析式,求得,利用零點(diǎn)分段將解析式化為,然后利用分段函數(shù),分情況討論求得不等式的解集為;(2)根據(jù)題中所給的,其中一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)可以去掉,不等式可以化為時(shí),分情況討論即可求得結(jié)果.【答案】(1)當(dāng)時(shí),的解集為(2)當(dāng)時(shí)成立等價(jià)于當(dāng)時(shí)成立若,則當(dāng)時(shí);若,的解集為,所以,故綜上所述,的取值范圍為2【解題思路】(1)先根據(jù)絕對(duì)值幾何意義將不等式化為三個(gè)不等式組,分別求解,最后求并集,(2)先化簡(jiǎn)不等式為,再根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得最小值,最后解不等式得的取值范圍【答案】(1)當(dāng)時(shí),可得的解集為(2)等價(jià)于,而,且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故等價(jià)于,由可得或,所以的取值范圍是點(diǎn)睛:含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法,一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論,二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解法一是運(yùn)用分類討論思想,法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動(dòng)向1【解題思路】(1)零點(diǎn)分段討論法得出f(x)的解析式,再分類討論求解f(x)<2(2)平方后利用作差比較法【答案】(1)解f(x)當(dāng)x時(shí),由f(x)<2得2x<2,解得x>1,所以1<x;當(dāng)<x<時(shí),f(x)<2恒成立當(dāng)x時(shí),由f(x)<2得2x<2,解得x<1,所以x<1所以f(x)<2的解集Mx|1<x<1(2)證明由(1)知,當(dāng)a,bM時(shí),1<a<1,1<b<1,從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)<0,所以(ab)2<(1ab)2,因此|ab|<|1ab|2【解題思路】(1) 零點(diǎn)分段討論法求解f(x) >0 (2) 存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題【答案】解(1)當(dāng)x<2時(shí),f(x)12xx2x3令x3>0,解得x<3,從而x<2當(dāng)2x時(shí),f(x)12xx23x1,令3x1>0,解得x<,又2x,2x<當(dāng)x>時(shí),f(x)2x1x2x3,令x3>0,解得x>3又x>,x>3綜上,不等式f(x)>0的解集為(3,)(2)由(1)得f(x),f(x)minf x0R,使得f(x0)2m2<4m,4m2m2>,整理得4m28m5<0,解得<m<,m的取值范圍是1【解題思路】(1)正確理解定義可得L(A,B)>L(A,C),進(jìn)一步解出x的范圍(2)由定義得出L(A,B)tL(A,C),再利用絕對(duì)值三角不等式求解即可【答案】解(1)由定義得|x1|1>|x5|1,則|x1|>|x5|,兩邊平方得8x>24,解得x>3故x的取值范圍為(3,)(2)當(dāng)xR時(shí),不等式|x1|x5|t恒成立,也就是t|x1|x5|恒成立,因?yàn)閨x1|x5|(x1)(x5)|4,所以t4,所以tmin4故t的最小值為42【解題思路】(1)根據(jù),進(jìn)行分類討論,求出不等式的解集,由此能求出(2)由,知,由此利用作商法和基本不等式的性質(zhì)能證明【答案】()原不等式等價(jià)于或或,解得或,即,.()由()知,即,且,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)取“”,