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函數(shù)的概念及其性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)的基本概念
1、函數(shù)與映射的概念
函數(shù)
映射
兩集合A,B
設(shè)A,B是非空的數(shù)集
設(shè)A,B是非空的集合
對(duì)應(yīng)關(guān)系f:A→B
如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)與之對(duì)應(yīng)
如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)
名稱
稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)
稱對(duì)應(yīng)f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射
記法
y=f(x),x∈A
對(duì)應(yīng)f:A→B
2、函數(shù)的定義域、值域
(1)在函數(shù)y=f(x),x∈A中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.
(2)函數(shù)的三要素是:定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系.
3、表示函數(shù)的常用方法
列表法、圖象法和解析法.
4、分段函數(shù)
在函數(shù)的定義域內(nèi),對(duì)于自變量x的不同取值區(qū)間,有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系,這種函數(shù)稱為分段函數(shù).
分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集.
小題速通
1、若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镸={x|-2≤x≤2},值域?yàn)镹={y|0≤y≤2},則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是( )
2、下列函數(shù)中,與函數(shù)y=x相同的函數(shù)是( )
A.y= B.y=() C.y=lg 10x D.y=2log2x
3、已知函數(shù)f(x)=則f=( )
A.-2 B.4 C.2 D.-1
4、已知f=2x-5,且f(a)=6,則a等于( )
A. B.- C. D.-
易錯(cuò)點(diǎn)
1、解決函數(shù)有關(guān)問(wèn)題時(shí),易忽視“定義域優(yōu)先”的原則.
2、易混“函數(shù)”與“映射”的概念:函數(shù)是特殊的映射,映射不一定是函數(shù),從A到B的一個(gè)映射,A,B若不是數(shù)集,則這個(gè)映射便不是函數(shù).
1、(2018合肥八中模擬)已知函數(shù)f(x)=2x+1(1≤x≤3),則( )
A.f(x-1)=2x+2(0≤x≤2)
B.f(x-1)=2x-1(2≤x≤4)
C.f(x-1)=2x-2(0≤x≤2)
D.f(x-1)=-2x+1(2≤x≤4)
2、下列對(duì)應(yīng)關(guān)系:
①A={1,4,9},B={-3,-2,-1,1,2,3},f:x→x的平方根;
②A=R,B=R,f:x→x的倒數(shù);
③A=R,B=R,f:x→x2-2;
④A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:A中的數(shù)平方.
其中是A到B的映射的是( )
A.①③ B.②④
C.③④ D.②③
知識(shí)點(diǎn)二、函數(shù)定義域的求法
函數(shù)y=f(x)的定義域
小題速通
1、函數(shù)f(x)=(a>0且a≠1)的定義域?yàn)開(kāi)_______.
2、函數(shù)y=lg(1-2x)+的定義域?yàn)開(kāi)_______.
易錯(cuò)點(diǎn)
1、求復(fù)合型函數(shù)的定義域時(shí),易忽視其滿足內(nèi)層函數(shù)有意義的條件.
2、求抽象函數(shù)的定義域時(shí),易忽視同一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系后的整體范圍.
1、(2018遼寧錦州模擬)已知函數(shù)f(x2-3)=lg,則f(x)的定義域?yàn)開(kāi)_______.
2、已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,2],則函數(shù)g(x)=f(2x)+的定義域?yàn)開(kāi)_______.
知識(shí)點(diǎn)三、函數(shù)的單調(diào)性與最值
1、函數(shù)的單調(diào)性
(1)單調(diào)函數(shù)的定義
增函數(shù)
減函數(shù)
定義
一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮:如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2
當(dāng)x1
f(x2),那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)
圖象描述
自左向右看圖象是上升的
自左向右看圖象是下降的
(2)單調(diào)區(qū)間的定義
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.
2、函數(shù)的最值
前提
設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足
條件
(1)對(duì)于任意的x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
(3)對(duì)于任意的x∈I,都有f(x)≥M;
(4)存在x0∈I,使得f(x0)=M
結(jié)論
M為最大值
M為最小值
小題速通
1、(2018珠海摸底)下列函數(shù)中,定義域是R且為增函數(shù)的是( )
A.y=2-x B.y=x C.y=log2x D.y=-
2、函數(shù)f(x)=|x-2|x的單調(diào)減區(qū)間是( )
A.[1,2] B.[-1,0] C.[0,2] D.[2,+∞)
3、(2018長(zhǎng)春質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是單調(diào)函數(shù),則a的取值范圍是( )
A.(-∞,1] B.(-∞,-1] C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
4、已知定義在R上的函數(shù)f(x)為增函數(shù),當(dāng)x1+x2=1時(shí),不等式f(x1)+f(0)>f(x2)+f(1)恒成立,則實(shí)數(shù)x1的取值范圍是( )
A.(-∞,0) B. C. D.(1,+∞)
5、函數(shù)f(x)=的最大值為_(kāi)_______.
易錯(cuò)點(diǎn)
1、易混淆兩個(gè)概念:“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”和“函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)”,前者指函數(shù)具備單調(diào)性的“最大”的區(qū)間,后者是前者“最大”區(qū)間的子集.
2、若函數(shù)在兩個(gè)不同的區(qū)間上單調(diào)性相同,則這兩個(gè)區(qū)間要分開(kāi)寫(xiě),不能寫(xiě)成并集.例如,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,0)上是減函數(shù),在(0,1)上是減函數(shù),但在(-1,0)∪(0,1)上卻不一定是減函數(shù),如函數(shù)f(x)=.
1、函數(shù)f(x)=在( )
A.(-∞,1)∪(1,+∞)上是增函數(shù) B.(-∞,1)∪(1,+∞)上是減函數(shù)
C.(-∞,1)和(1,+∞)上是增函數(shù) D.(-∞,1)和(1,+∞)上是減函數(shù)
2、設(shè)定義在[-1,7]上的函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的增區(qū)間為_(kāi)_______.
知識(shí)點(diǎn)四、函數(shù)的奇偶性
1、定義及圖象特征
奇偶性
定義
圖象特點(diǎn)
偶函數(shù)
如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)
關(guān)于y軸對(duì)稱
奇函數(shù)
如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
2、函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論
(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義,即f(0)有意義,那么一定有f(0)=0.
(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).
(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類(lèi)型,即f(x)=0,x∈D,其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集.
(4)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.
小題速通
1、下列函數(shù)中的偶函數(shù)是( )
A.y=2x- B.y=xsin x C.y=excos x D.y=x2+sin x
2、定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-2)=f(x+2),且當(dāng)x∈[-2,0]時(shí),f(x)=3x-1,則f(9)=( )
A.-2 B.2 C.- D.
3、(2018綿陽(yáng)診斷)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,則滿足f(2x-1)f(1) C.f(m)=f(1) D.f(m)與f(1)大小不能確定
2、函數(shù)f(x)=的奇偶性為_(kāi)_______.
知識(shí)點(diǎn)五、函數(shù)的周期性
1、周期函數(shù)
對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.
2、最小正周期
如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期.
3、重要結(jié)論
周期函數(shù)的定義式f(x+T)=f(x)對(duì)定義域內(nèi)的x是恒成立的,若f(x+a)=f(x+b),則函數(shù)f(x)的周期為T(mén)=|a-b|.
若在定義域內(nèi)滿足f(x+a)=-f(x),f(x+a)=,f(x+a)=-(a>0).則f(x)為周期函數(shù),且T=2a為它的一個(gè)周期.
4、對(duì)稱性與周期的關(guān)系
(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a和直線x=b對(duì)稱,則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),2|a-b|是它的一個(gè)周期.
(2)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b,0)對(duì)稱,則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),2|a-b|是它的一個(gè)周期.
(3)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和直線x=b對(duì)稱,則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),4|a-b|是它的一個(gè)周期.
小題速通
1、已知函數(shù)f(x)=則f(-5)的值為( )
A.0 B. C.1 D.
2、已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x),f(x+1)=f(1-x),且當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=log2(x+1),則f(31)=( )
A.0 B.1 C.-1 D.2
3、(2018晉中模擬)已知f(x)是R上的奇函數(shù),f(1)=2,且對(duì)任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,則f(2017)=________.
易錯(cuò)點(diǎn)
在利用周期性定義求解問(wèn)題時(shí),易忽視定義式f(x+T)=f(x)(T≠0)的使用而致誤.
已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),并且f(x+2)=-,當(dāng)2≤x≤3時(shí),f(x)=x,則f(105.5)=________.
過(guò)關(guān)檢測(cè)練習(xí)
一、選擇題
1.函數(shù)f(x)=lg(x-1)-的定義域?yàn)? )
A.(-∞,4] B.(1,2)∪(2,4] C.(1,4] D.(2,4]
2.(2017唐山期末)已知f(x)=x+-1,f(a)=2,則f(-a)=( )
A.-4 B.-2 C.-1 D.-3
3.設(shè)函數(shù)f(x)=若f(a)+f(-1)=2,則a的值為( )
A.-3 B.3 C.-1 D.1
4.下列幾個(gè)命題正確的個(gè)數(shù)是( )
(1)若方程x2+(a-3)x+a=0有一個(gè)正根,一個(gè)負(fù)根,則a<0;
(2)函數(shù)y=+是偶函數(shù),但不是奇函數(shù);
(3)函數(shù)f(x+1)的定義域是[-1,3],則f(x2)的定義域是[0,2];
(4)若曲線y=|3-x2|和直線y=a(a∈R)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是m,則m的值不可能是1.
A.1 B.2 C.3 D.4
5.如果二次函數(shù)f(x)=3x2+2(a-1)x+b在區(qū)間(-∞,1)上是減函數(shù),則( )
A.a(chǎn)=-2 B.a(chǎn)=2 C.a(chǎn)≤-2 D.a(chǎn)≥2
6.若函數(shù)f(x)滿足“對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞),當(dāng)x1f(x2)”,則f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)=(x-1)2 B.f(x)=ex C.f(x)= D.f(x)=ln(x+1)
7.已知函數(shù)f(x)=log(x2-ax+3a)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞) C. D.
8.(2018長(zhǎng)春調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=,若f(a)=,則f(-a)=( )
A. B.- C. D.-
二、填空題
9.f(x)=asin x-blog3(-x)+1(a,b∈R),若f(lg(log310))=5,則f(lg(lg 3))=________.
10.設(shè)a為實(shí)常數(shù),y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=9x++7,若f(x)≥a+1對(duì)一切x≥0成立,則a的取值范圍為_(kāi)_______.
11.設(shè)f(x)=x3+log2(x+),則對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,a+b≥0是f(a)+f(b)≥0的________條件(填“充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要).
12.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足以下條件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③當(dāng)0≤x<1時(shí),f(x)=2x-1,則f+f(1)+f+f(2)+f=________.
三、解答題
13.設(shè)函數(shù)f(x)=且f(-2)=3,f(-1)=f(1).
(1)求f(x)的解析式;(2)畫(huà)出f(x)的圖象.
14.設(shè)f(x)是(-∞,+∞)上的奇函數(shù),f(x+2)=-f(x),當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x.
(1)求f(π)的值;(2)當(dāng)-4≤x≤4時(shí),求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積.
高考研究課:一)函數(shù)的定義域、解析式及分段函數(shù)
全國(guó)卷5年命題分析
考點(diǎn)
考查頻度
考查角度
函數(shù)的概念
5年1考
函數(shù)定義問(wèn)題
分段函數(shù)
5年3考
分段函數(shù)求值及不等式恒成立問(wèn)題
題型一、函數(shù)的定義域問(wèn)題
[典例] (1)(2018長(zhǎng)沙模擬)函數(shù)y=的定義域是( )
A.(-1,+∞) B.[-1,+∞) C.(-1,2)∪(2,+∞) D.[-1,2)∪(2,+∞)
(2)若函數(shù)f(x)= 的定義域?yàn)镽,則a的取值范圍為_(kāi)_______.
方法技巧
函數(shù)定義域問(wèn)題的3種??碱?lèi)型及求解策略
(1)已知函數(shù)的解析式:構(gòu)建使解析式有意義的不等式(組)求解.
(2)抽象函數(shù):
①若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a,b],則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出.
②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a,b],則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a,b]時(shí)的值域.
(3)實(shí)際問(wèn)題:既要使構(gòu)建的函數(shù)解析式有意義,又要考慮實(shí)際問(wèn)題的要求.
即時(shí)演練
1、函數(shù)f(x)=+lg 的定義域?yàn)? )
A.(2,3) B.(2,4] C.(2,3)∪(3,4] D.(-1,3)∪(3,6]
2、已知函數(shù)f(2-x)=,則函數(shù)f()的定義域?yàn)? )
A.[0,+∞) B.[0,16] C.[0,4] D.[0,2]
題型二、函數(shù)解析式的求法
函數(shù)的解析式是函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí),高考中重視對(duì)待定系數(shù)法、換元法、利用函數(shù)性質(zhì)求解析式的考查.題目難度不大,以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).
[典例](1)如圖,修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切).已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分,則該函數(shù)的解析式為( )
A.y=x3-x2-x B.y=x3+x2-3x C.y=x3-x D.y=x3+x2-2x
(2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=2f(x).若當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x(1-x),則當(dāng)-1≤x≤0時(shí),f(x)=________.
(3)(2018合肥模擬)已知f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0},滿足3f(x)+5f=+1,則函數(shù)f(x)的解析式為_(kāi)_______.
方法技巧
求函數(shù)解析式的常見(jiàn)方法
待定系數(shù)法
若已知函數(shù)的類(lèi)型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)),根據(jù)函數(shù)類(lèi)型設(shè)出函數(shù)解析式,根據(jù)題設(shè)條件,列出方程組,解出待定系數(shù)即可
換元法
已知f(h(x))=g(x),求f(x)時(shí),往往可設(shè)h(x)=t,從中解出x,代入g(x)進(jìn)行換元,求出f(t)的解析式,再將t替換為x即可
構(gòu)造法
已知f(h(x))=g(x),求f(x)的問(wèn)題,往往把右邊的g(x)整理構(gòu)造成只含h(x)的式子,用x將h(x)替換
函數(shù)方程法
已知f(x)滿足某個(gè)等式,這個(gè)等式除f(x)是未知量外,還有其他未知量,如f(-x),f,則可根據(jù)已知等式再構(gòu)造其他等式組成方程組,通過(guò)解方程組求出f(x)
即時(shí)演練
1.如果f=,則當(dāng)x≠0且x≠1時(shí),f(x)等于( )
A. B. C. D.-1
2.已知f(x)是一次函數(shù),且滿足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,則f(x)=________.
題型三、分段函數(shù)
分段函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù),是高考的命題熱點(diǎn),多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn),試題難度不大,多為低檔題或中檔題.
常見(jiàn)的命題角度有:
(1)分段函數(shù)求值問(wèn)題;
(2)求參數(shù)值或自變量的取值范圍;
(3)研究分段函數(shù)的性質(zhì).
角度一:分段函數(shù)求值問(wèn)題
1、已知函數(shù)f(x)=則f[f(ln 2)]=________.
角度二:求參數(shù)或自變量的取值范圍
2、設(shè)函數(shù)f(x)=則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是________.
3、已知函數(shù)f(x)=若f(f(m))≥0,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.[-2,2] B.[-2,2]∪[4,+∞) C.[-2,2+] D.[-2,2+]∪[4,+∞)
角度三:研究分段函數(shù)的性質(zhì)
4、已知函數(shù)f(x)=則下列結(jié)論正確的是( )
A.f(x)是偶函數(shù) B.f(x)是增函數(shù) C.f(x)是周期函數(shù) D.f(x)的值域?yàn)閇-1,+∞)
5、已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)=若方程f(x)=x+a有兩個(gè)不同實(shí)根,則a的取值范圍為( )
A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(0,1) D.(-∞,+∞)
方法技巧
分段函數(shù)問(wèn)題的3種類(lèi)型及求解策略
(1)根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值
首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間,其次選定相應(yīng)的解析式代入求解.
(2)已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍
應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解,但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.
(3)研究分段函數(shù)的性質(zhì)
可根據(jù)分段函數(shù)逐段研究其性質(zhì),也可根據(jù)選項(xiàng)利用特殊值法作出判斷.
高考真題演練
1.(2016全國(guó)卷Ⅱ)下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)y=10lg x的定義域和值域相同的是( )
A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y=
2.(2015全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)=則f(-2)+f(log212)=( )
A.3 B.6 C.9 D.12
3.(2015全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=且f(a)=-3,則f(6-a)=( )
A.- B.- C.- D.-
4.(2013全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=若|f(x)|≥ax,則a的取值范圍是( )
A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0]
高考達(dá)標(biāo)檢測(cè)
一、選擇題
1.(2018廣東模擬)設(shè)函數(shù)f(x)滿足f=1+x,則f(x)的表達(dá)式為( )
A. B. C. D.
2.函數(shù)f(x)=的定義域是( )
A. B.∪(0,+∞) C. D.[0,+∞)
3.設(shè)函數(shù)f:R→R滿足f(0)=1,且對(duì)任意x,y∈R都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,則f(2 017)=( )
A.0 B.1 C.2 017 D.2 018
4.若f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,則f(1)=( )
A.2 B.0 C.1 D.-1
5.若二次函數(shù)g(x)滿足g(1)=1,g(-1)=5,且圖象過(guò)原點(diǎn),則g(x)的解析式為( )
A.g(x)=2x2-3x B.g(x)=3x2-2x C.g(x)=3x2+2x D.g(x)=-3x2-2x
6.(2018青島模擬)已知函數(shù)f(x)=則使f(x)=2的x的集合是( )
A. B. C. D.
7.(2018萊蕪模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇3,6],則函數(shù)y=的定義域?yàn)? )
A. B. C. D.
8.(2018武漢調(diào)研)函數(shù)f(x)=滿足f(1)+f(a)=2,則a的所有可能取值為( )
A.1或- B.- C.1 D.1或
二、填空題
9.已知函數(shù)y=f(x2-1)的定義域?yàn)閇-,],則函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)開(kāi)_______.
10.已知函數(shù)y=lg(kx2+4x+k+3)的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.
11.具有性質(zhì):f=-f(x)的函數(shù),我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù).下列函數(shù):
①f(x)=x-;②f(x)=x+;③f(x)=其中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是________.(填序號(hào))
12.(2016北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)=
①若a=0,則f(x)的最大值為_(kāi)_______;
②若f(x)無(wú)最大值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
三、解答題
13.已知f(x)=x2-1,g(x)=(1)求f(g(2))與g(f(2));(2)求f(g(x))與g(f(x))的表達(dá)式.
14.水庫(kù)的儲(chǔ)水量隨時(shí)間而變化,現(xiàn)用t表示時(shí)間,以月為單位,以年初為起點(diǎn),根據(jù)歷年數(shù)據(jù),某水庫(kù)的儲(chǔ)水量(單位:億立方米)關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為:v(t)=
(1)該水庫(kù)的儲(chǔ)水量小于50的時(shí)期稱為枯水期,問(wèn):一年內(nèi)哪幾個(gè)月份是枯水期?
(2)求一年內(nèi)該水庫(kù)的最大儲(chǔ)水量.(取的值為4.6計(jì)算,e3的值為20計(jì)算)
能力提高訓(xùn)練題
1.已知函數(shù)f(x)=在定義域[0,+∞)上單調(diào)遞增,且對(duì)于任意a≥0,方程f(x)=a有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,則函數(shù)g(x)=f(x)-x在區(qū)間[0,2n](n∈N*)上的所有零點(diǎn)的和為( )
A. B.22n-1+2n-1 C. D.2n-1
2.設(shè)函數(shù)f(x)=其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如[-1.5]=-2,[2.5]=2,若直線y=k(x-1)(k<0)與函數(shù)y=f(x)的圖象只有三個(gè)不同的交點(diǎn),則k的取值范圍為( )
A. B. C. D.
高考研究課(二)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及周期性
全國(guó)卷5年命題分析
考點(diǎn)
考查頻度
考查角度
函數(shù)的單調(diào)性
5年4考
利用單調(diào)性解不等式、比較大小、求最值
函數(shù)的奇偶性
5年5考
奇偶性的判斷及應(yīng)用求值
函數(shù)的周期性
未考查
題型一、函數(shù)的單調(diào)性
高考對(duì)函數(shù)單調(diào)性的考查多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),有時(shí)也應(yīng)用于解答題中的某一問(wèn)中.,常見(jiàn)的命題角度有:
(1)確定函數(shù)的單調(diào)性;
(2)求函數(shù)的值域或最值;
(3)比較兩個(gè)函數(shù)值;
(4)解函數(shù)不等式;
(5)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍.
角度一:確定函數(shù)的單調(diào)性
1.(2018昆明調(diào)研)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減的是( )
A.y=-x B.y=x2-x
C.y=ln x-x D.y=ex-x
2.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù)的是( )
A.y= B.y=(x-1)2
C.y=2-x D.y=log0.5x
3.(2018廣東佛山聯(lián)考)討論函數(shù)f(x)=(a>0)在(-1,1)上的單調(diào)性.
方法技巧
確定函數(shù)單調(diào)性的常用方法
定義法
先確定定義域,再根據(jù)取值、作差、變形、定號(hào)的順序得結(jié)論
圖象法
若函數(shù)是以圖象形式給出的,或者函數(shù)的圖象可作出,可由圖象的升、降寫(xiě)出它的單調(diào)性
導(dǎo)數(shù)法
先求導(dǎo),再確定導(dǎo)數(shù)值的正負(fù),由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得函數(shù)的單調(diào)性
[提醒] 復(fù)合函數(shù)y=f(φ(x))的單調(diào)性可以利用口訣——“同增異減”來(lái)判斷,即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí),為增函數(shù);單調(diào)性不同時(shí)為減函數(shù).
角度二:求函數(shù)的值域或最值
4.函數(shù)y=2x2+2x的值域?yàn)? )
A. B.[2,+∞) C. D.(0,2]
5.(2016北京高考)函數(shù)f(x)=(x≥2)的最大值為_(kāi)_______.
方法技巧
利用單調(diào)性求函數(shù)的最值的關(guān)鍵是準(zhǔn)確判斷其單調(diào)性,而判斷方法常用定義法及導(dǎo)數(shù)法.
角度三:比較兩個(gè)函數(shù)值
6.(2017天津高考)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為( )
A.a(chǎn)x1>1時(shí),[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,設(shè)a=f,b=f(2),c=f(e),則a,b,c的大小關(guān)系為( )
A.c>a>b B.c>b>a C.a(chǎn)>c>b D.b>a>c
方法技巧
比較函數(shù)值的大小,應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.
角度四:解函數(shù)不等式
8.已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減,則滿足f(2x-1)f(2-a),則a的取值范圍是________.
方法技巧
在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí),往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉,使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.
角度五:利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
10.(2018濟(jì)寧模擬)函數(shù)f(x)=滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1≠x2都有>0成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)___________.
方法技巧
利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的策略
(1)視參數(shù)為已知數(shù),依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù);
(2)需注意若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的,則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.
題型二、函數(shù)的奇偶性
[典例] (1)(2018重慶適應(yīng)性測(cè)試)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是( )
A.y=x3+3x2 B.y= C.y=xsin x D.y=log2
(2)(2018湖北武漢十校聯(lián)考)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=ex,則g(x)=( )
A.ex-e-x B.(ex+e-x) C.(e-x-ex) D.(ex-e-x)
(3)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函數(shù),則a=________.
方法技巧
應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的4類(lèi)問(wèn)題
(1)判定函數(shù)奇偶性
①定義法:
②圖象法:
③性質(zhì)法:
設(shè)f(x),g(x)的定義域分別是D1,D2,那么在它們的公共定義域上:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.
(2)求解析式
先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組),從而得到f(x)的解析式.
(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值
利用待定系數(shù)法求解,根據(jù)f(x)f(-x)=0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值或方程(組),進(jìn)而得出參數(shù)的值.
(4)利用函數(shù)的奇偶性求值
首先判斷函數(shù)解析式或解析式的一部分的奇偶性,然后結(jié)合已知條件通過(guò)化簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)換求值.
即時(shí)演練
1.若函數(shù)f(x)=是奇函數(shù),則使f(x)>3成立的x的取值范圍為( )
A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,+∞)
2.已知函數(shù)f(x)=asin x-btan x+4cos ,且f(-1)=1,則f(1)=( )
A.3 B.-3 C.0 D.4-1
3.已知f(x)=3ax2+bx-5a+b是偶函數(shù),且其定義域?yàn)閇6a-1,a],則a+b=( )
A. B.-1 C.1 D.7
題型三、函數(shù)的周期性
[典例] (1)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且當(dāng)x∈[0,2)時(shí),f(x)=2x-x2,則f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 018)=________.
(2)(2018煙臺(tái)模擬)若函數(shù)f(x)(x∈R)是周期為4的奇函數(shù),且在[0,2]上的解析式為f(x)=則f+f=________.
方法技巧
函數(shù)周期性問(wèn)題的求解策略
(1)判斷函數(shù)的周期只需證明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù),且周期為T(mén),函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題.
(2)根據(jù)函數(shù)的周期性,可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì),在解決具體問(wèn)題時(shí),要注意結(jié)論:若T是函數(shù)的周期,則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期.
即時(shí)演練
1.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足f(x-1)=f(x+1)=f(1-x),當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),f(x)=e-x,設(shè)a=f(-),b=f(3),c=f(8),則a,b,c的大小關(guān)系為( )
A.a(chǎn)>b>c B.a(chǎn)>c>b C.b>a>c D.c>b>a
2.(2016江蘇高考)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù),在區(qū)間[-1,1)上,f(x)=其中a∈R.若f=f,則f(5a)的值是________.
題型四、函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
高考對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的考查,一般不會(huì)單純地考查某一個(gè)性質(zhì),而是對(duì)奇偶性、周期性、單調(diào)性的綜合考查.
常見(jiàn)的命題角度有:
(1)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合;
(2)周期性與奇偶性結(jié)合;
(3)單調(diào)性、奇偶性與周期性結(jié)合.
角度一:?jiǎn)握{(diào)性與奇偶性結(jié)合
1.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-2)=-f(x),且在[0,1]上是增函數(shù),則有( )
A.f0,則x的取值范圍是________.
5.(2014全國(guó)卷Ⅱ)偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,f(3)=3,則f(-1)=________.
高考達(dá)標(biāo)檢測(cè)
一、選擇題
1.(2017北京高考)已知函數(shù)f(x)=3x-x,則f(x)( )
A.是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù) B.是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù)
C.是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù) D.是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù)
2.(2018遼寧階段測(cè)試)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)+mln (1-x)是偶函數(shù),則( )
A.m=1,且f(x)在(0,1)上是增函數(shù) B.m=1,且f(x)在(0,1)上是減函數(shù)
C.m=-1,且f(x)在(0,1)上是增函數(shù) D.m=-1,且f(x)在(0,1)上是減函數(shù)
3.已知x,y∈R,且x>y>0,則( )
A.->0 B.sin x-sin y>0 C.x-y<0 D.ln x+ln y>0
4.(2016山東高考)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x3-1;當(dāng)-1≤x≤1時(shí),f(-x)=-f(x);當(dāng)x>時(shí),f=f,則f(6)=( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
5.(2018湖南聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),且在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,若a=f,b=f,c=f,則a,b,c的大小關(guān)系為( )
A.bf(2x-1)成立的x的取值范圍是( )
A. B.∪(1,+∞) C. D.∪
8.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x),f(x)=f(x+4),且當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f(x)=2x+,則f(log220)=( )
A.1 B. C.-1 D.-
二、填空題
9.(2016天津高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足f(2|a-1|)>f(-),則a的取值范圍是________.
10.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)=4x,則f+f(1)=________.
11.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),且對(duì)于任意x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,均有>0.若f=,2f<1,則x的取值范圍為_(kāi)_______.
12.(2017江蘇高考)已知函數(shù)f(x)=x3-2x+ex-,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若f(a-1)+f(2a2)≤0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
三、解答題
13.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),f(0)=0,當(dāng)x>0時(shí),f(x)=logx.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)解不等式f(x2-1)>-2.
14.(2018湖南長(zhǎng)郡中學(xué)測(cè)試)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2,且當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)=.
(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式;(2)證明:f(x)在(0,1)上是減函數(shù).
能力提高訓(xùn)練題
1.已知奇函數(shù)f(x)(x∈D),當(dāng)x>0時(shí),f(x)≤f(1)=2.給出下列命題:
①D=[-1,1];②對(duì)?x∈D,|f(x)|≤2;③?x0∈D,使得f(x0)=0;④?x1∈D,使得f(x1)=1.
其中所有正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2),若?x∈R,f(x-1)≤f(x),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A. B. C. D.
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