廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)規(guī)范練44 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 文.docx

考點(diǎn)規(guī)范練44直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一、基礎(chǔ)鞏固1.已知圓:(x-1)2+y2=2,則過該圓上的點(diǎn)(2,1)作圓的切線方程為()A.x+y-3=0B.2x+y-5=0C.x=2D.x-y-1=0答案A解析由題意可得圓心坐標(biāo)為(1,0),根據(jù)斜率公式可得圓心(1,0)與(2,1)連線的斜率為1-02-1=1,故過該圓上的點(diǎn)(2,1)的切線斜率為-1,過該圓上的點(diǎn)(2,1)的切線方程為y-1=-(x-2),即x+y-3=0.2.已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是22,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離答案B解析圓M的方程可化為x2+(y-a)2=a2,故其圓心為M(0,a),半徑R=a.所以圓心到直線x+y=0的距離d=|0+a|12+12=22a.所以直線x+y=0被圓M所截弦長為2R2-d2=2a2-22a2=2a,由題意可得2a=22,故a=2.圓N的圓心N(1,1),半徑r=1.而|MN|=(1-0)2+(1-2)2=2,顯然R-r<|MN|<R+r,所以兩圓相交.3.已知直線l:x+ay-1=0(aR)是圓C:x2+y2-4x-2y+1=0 的對稱軸.過點(diǎn)A(-4,a)作圓C的一條切線,切點(diǎn)為B,則|AB|=()A.2B.42C.6D.210答案C解析依題意,直線l經(jīng)過圓C的圓心(2,1),因此2+a-1=0,所以a=-1,因此點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4,-1).又圓C的半徑r=2,由ABC為直角三角形可得|AB|=|AC|2-r2.又|AC|=210,所以|AB|=(210)2-22=6.4.在圓x2+y2-2x-6y=0內(nèi),過點(diǎn)E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為()A.52B.102C.152D.202答案B解析圓x2+y2-2x-6y=0變形為(x-1)2+(y-3)2=10.則圓心為P(1,3),半徑r=10.因?yàn)辄c(diǎn)E(0,1),所以|PE|=12+(3-1)2=5.過圓x2+y2-2x-6y=0內(nèi)點(diǎn)E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,所以|AC|=2r=210,|BD|=2r2-|PE|2=210-5=25,且ACBD,所以四邊形ABCD的面積為S=12|AC|BD|=1221025=102.5.過點(diǎn)P(-3,1),Q(a,0)的光線經(jīng)x軸反射后與圓x2+y2=1相切,則a的值為.答案-53解析因?yàn)镻(-3,1)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為P(-3,-1),所以直線PQ的方程為y=-1-3-a(x-a),即x-(3+a)y-a=0,圓心(0,0)到直線的距離d=|-a|1+(3+a)2=1,所以a=-53.6.設(shè)直線y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=23,則圓C的面積為.答案4解析因?yàn)閳AC的方程可化為x2+(y-a)2=2+a2,直線方程為x-y+2a=0,所以圓心坐標(biāo)為(0,a),r2=a2+2,圓心到直線的距離d=|a|2.由已知(3)2+a22=a2+2,解得a2=2,故圓C的面積為(2+a2)=4.7.若直線3x-4y+5=0與圓x2+y2=r2(r>0)相交于A,B兩點(diǎn),且AOB=120(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則r=.答案2解析如圖,由題意知,圓心O到直線3x-4y+5=0的距離|OC|=532+(-4)2=1,故圓的半徑r=1cos60=2.8.已知圓C:x2+(y-1)2=5,直線l:mx-y+1-m=0.(1)求證:對mR,直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn);(2)設(shè)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=17,求直線l的傾斜角.(1)證明將已知直線l化為y-1=m(x-1);故直線l恒過定點(diǎn)P(1,1).因?yàn)?2+(1-1)2=1<5,所以點(diǎn)P(1,1)在已知圓C內(nèi),從而直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn).(2)解圓的半徑r=5,圓心C到直線l的距離為d=r2-|AB|22=32.由點(diǎn)到直線的距離公式得|-m|m2+(-1)2=32,解得m=3,故直線的斜率為3,從而直線l的傾斜角為3或23.9.已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A,B.(1)求圓C1的圓心坐標(biāo);(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程;(3)是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線L:y=k(x-4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由.解(1)因?yàn)閳AC1:x2+y2-6x+5=0可化為(x-3)2+y2=4,所以圓C1的圓心坐標(biāo)為(3,0).(2)由題意可知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=mx,M(x0,y0).由x2+y2-6x+5=0,y=mx,得(1+m2)x2-6x+5=0,則=36-20(1+m2)>0,解得-255<m<255,故x0=31+m2,且53<x03.因?yàn)閙=y0x0,所以x0=31+y0x02,整理得x0-322+y02=94.所以M的軌跡C的方程為x-322+y2=9453<x3.(3)存在實(shí)數(shù)k,使得直線L:y=k(x-4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn).由(2)得M的軌跡C為一段圓弧,其兩個(gè)端點(diǎn)為P53,253,Q53,-253,直線L:y=k(x-4)過定點(diǎn)E(4,0),kPE=25353-4=-257,kQE=-25353-4=257,當(dāng)-257k257時(shí),直線L與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)直線L與曲線C相切時(shí),L的方程可化為kx-y-4k=0,則32k-4kk2+1=32,解得k=34.綜上所述,當(dāng)-257k257或k=34時(shí),直線L與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn).二、能力提升10.設(shè)圓x2+y2-2x-2y-2=0的圓心為C,直線l過(0,3)與圓C交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=23,則直線l的方程為()A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0B.3x+4y-12=0或x=0C.4x-3y+9=0或x=0D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0答案B解析當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),l的方程為x=0,代入圓的方程得y=13,|AB|=23,成立.當(dāng)l的斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為y=kx+3,圓半徑r=124+4+8=2,圓心C(1,1)到直線y=kx+3的距離d=|k-1+3|k2+1=|k+2|k2+1.d2+|AB|22=r2,(k+2)2k2+1+3=4,解得k=-34,l的方程為3x+4y-12=0.故選B.11.一束光線從點(diǎn)(-1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是.答案4解析作出已知圓C關(guān)于x軸對稱的圓C,如圖所示.則圓C的方程為(x-2)2+(y+3)2=1,所以圓C的圓心坐標(biāo)為(2,-3),半徑為1,則最短距離d=|AC|-r=(-1-2)2+(1+3)2-1=5-1=4.12.已知點(diǎn)P(x,y)是直線y=-kx-4(k>0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),PA,PB是圓C:x2+y2-2y=0的兩條切線,A,B是切點(diǎn),若四邊形PACB的面積的最小值為2,則實(shí)數(shù)k的值為.答案2解析根據(jù)題意畫出圖形如下圖所示.由題意得圓C:x2+y2-2y=0的圓心C(0,1),半徑為r=1,由圓的性質(zhì)可得S四邊形PACB=2SPBC,四邊形PACB的面積的最小值為2,SPBC的最小值S=1=12rd(d是切線長),dmin=2,此時(shí)|CP|min=5.圓心到直線的距離就是PC的最小值,51+k2=5,又k>0,k=2.13.已知圓C:x2+y2+2x-4y+3=0.若圓C的切線在x軸和y軸上的截距的絕對值相等,求此切線的方程.解因?yàn)榍芯€在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等,所以切線的斜率為1或切線過原點(diǎn).當(dāng)k=1時(shí),設(shè)切線方程為y=-x+b或y=x+c,分別代入圓C的方程得2x2-2(b-3)x+(b2-4b+3)=0或2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0.由于相切,則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,即b=3或b=-1,c=5或c=1.故所求切線方程為x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0.當(dāng)切線過原點(diǎn)時(shí),設(shè)切線方程為y=kx,即kx-y=0.由|-k-2|k2+1=2,得k=26.所以此時(shí)切線方程為y=(26)x.綜上可得切線方程為x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0,(2-6)x-y=0或(2+6)x-y=0.14.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點(diǎn)A(2,4).(1)設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點(diǎn),且BC=OA,求直線l的方程;(3)設(shè)點(diǎn)T(t,0)滿足:存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q,使得TA+TP=TQ,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解因?yàn)閳AM的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-6)2+(y-7)2=25,所以圓心M(6,7),半徑為5.(1)由圓心N在直線x=6上,可設(shè)N(6,y0).因?yàn)閳AN與x軸相切,與圓M外切,所以0<y0<7,于是圓N的半徑為y0,從而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因?yàn)橹本€lOA,所以直線l的斜率為4-02-0=2.設(shè)直線l的方程為y=2x+m,即2x-y+m=0,則圓心M到直線l的距離d=|26-7+m|5=|m+5|5.因?yàn)锽C=OA=22+42=25,而MC2=d2+BC22,所以25=(m+5)25+5,解得m=5或m=-15.故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2).因?yàn)锳(2,4),T(t,0),TA+TP=TQ,所以x2=x1+2-t,y2=y1+4.因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.將代入,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是點(diǎn)P(x1,y1)既在圓M上,又在圓x-(t+4)2+(y-3)2=25上,從而圓(x-6)2+(y-7)2=25與圓x-(t+4)2+(y-3)2=25有公共點(diǎn),所以5-5(t+4)-62+(3-7)25+5,解得2-221t2+221.因此,實(shí)數(shù)t的取值范圍是2-221,2+221.三、高考預(yù)測15.已知兩點(diǎn)A(a,0),B(-a,0)(a>0),若曲線x2+y2-23x-2y+3=0上存在點(diǎn)P,使得APB=90,則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(0,3B.1,3C.2,3D.1,2答案B解析把圓的方程x2+y2-23x-2y+3=0化為(x-3)2+(y-1)2=1,以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=a2,若曲線x2+y2-23x-2y+3=0上存在點(diǎn)P,使得APB=90,則兩圓有交點(diǎn),所以|a-1|2a+1,解得1a3.